【正文】 00321321xxxkkkkkkkxxxmmm??????主振動 : )si n (321321???????????????????????????txxxeee(a) (b) 代入式（ a）得 ??????????????????????????????????????00030203321222eeemkkkmkkkmk??????2??km? ，式（ c）改寫成 令 ??????????????????????????????????????000310121013321eee??????令特征矩陣的行列式等于零，得特征方程 0)45)(3( 2 ???? ???（ c） (d) (e) 解之得 : ， ， 11 ?? 32 ?? 43 ??系統(tǒng)的固有頻率為 mk?1? mk32 ?? mk23 ??由特征矩陣的伴隨矩陣得到 223 1 0 ( 3 ) ( 2 ) 1 3 1( ) 1 2 1 3 ( 3 ) 30 1 3 1 3 ( 3 ) ( 2 ) 1a d j K M a d j? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?若選擇上式右端矩陣的第 1列，分別將 的值代入，得到三個主振型為 1? 2?3?（ f） 振型圖（圖 28（ b） ~（ d）） ，顯然第二階主振型中有一個節(jié)點，而第三階主振型中有兩個節(jié)點，這由主振型內(nèi)元素符號的變化次數(shù)也可以判斷。 ],[ 21 n????? ?Tn ],[ 21 ???? ??正則坐標 ： iii c ?? ?(297) (298) 正則振型 ： 1?iTi M ?? (299) 將式（ 298）代入式（ 299），得 122 ??? piiiTiiiTi McMcM ????pii Mc1?ipii M ??1?21ipipiiTipiiTi MKKMK ????? ???相應(yīng)于 的主剛度為 i?(2100) (2101) 以正則振型作為列的振型矩陣 稱為正則振型矩陣。因此，振型矩陣 φ就是要尋找的 D陣 ,η就是主坐標。 第 i階主振型 φi對系統(tǒng)運動 x的貢獻的度量。 振型矩陣與譜矩陣 引入振型矩陣 ，也稱之為模態(tài)矩陣，且定義為 ?pT MM ???pT KK ???1200ppppn nnMMMM??????????1200ppppn nnKKKK????????????（ 283） （ 284） （ 285） 主質(zhì)量矩陣 主剛度矩陣 在式（ 270）中依次取 ，所得到的 n個方程合并寫成矩陣形式 ni ,2,1 ?????? MKnnn ?????????????????22221?????? pp MK對式（ 286）兩邊左乘 ，由式（ 284）和式（ 285）得 T?(286) (287) (288) 譜矩陣 譜矩陣 的表達式可寫成 pp KM 1???(289) 主坐標及解耦 Dyx ?)( tFKxxM ????)( tFDK D yDyMDD TTT ????(290) (291) (292) 假設(shè)對同一系統(tǒng)所選擇的兩種不同坐標 x與 y之間的變換關(guān)系有 K陣， M陣都是對稱的 MM T ? KK T ?MDDDMDMDD TTTTT ??)(任意一個 n維向量 x都能唯一的被表示成 n個主振型的線性組合，即： η是新坐標 : Tn ],[ 21 ???? ??（ 293） 而主振型是 的坐標架。 ji? ， 式（ 273）總成立，令 顯然，主質(zhì)量 總是正實數(shù)，主剛度 在正定系統(tǒng)中是正實數(shù)，而在半正定系統(tǒng)中 除正實數(shù)外還可以是零。 1 1 1 1 2 2 2 21( ) s in ( ) s in ( ) s in ( )s in ( )n n n nni i i iix t a t a t a tat? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ????把式（ 257） 所描述的特征方程 改寫為 0)( 2 ?? ??MK??? MK 2?（ 266） （ 267） ??? 21 )( ?? KM121()KM ???? ?（ 268） （ 269） 式 （ 268） 中的矩陣 的最大特征值是 ， 而式 （ 269） 中的矩陣 )( 1 KM ? 2n? 的最大特征值是 。 主振型是多自由度系統(tǒng)中的一個重要概念，在單自由度系統(tǒng)中是沒有的。主振型也稱作固有振型或主模態(tài)。 半正定系統(tǒng)除了能出現(xiàn)簡諧振動之外， 還能出現(xiàn)剛體運動（ 這是一種可以無限遠離原平衡位置的剛體運動，系統(tǒng)不發(fā)生彈性變形 ）。 系統(tǒng)在各個坐標上都以相同的頻率及初始相位作簡諧運 動 。它是求解多自由度線性系統(tǒng)的振動問題中的一個十分重要的概念， 而單自由度線性系統(tǒng)中是沒有的。 ? 耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標的選擇，若選用主坐標，可使得多自由度線性系統(tǒng)的運動微分方程完全解耦。 耦合的物理意義可以簡單地用兩自由度系統(tǒng)為例說明。 （ 3） 阻尼影響系數(shù)計算 慣性耦合及彈性耦合 對式 （ 244） 所描述的 n自由度線性系統(tǒng)的運動微分方程，若矩陣中非對角元素非零則稱之為 耦合項 。 阻尼矩陣 C中的元素 Cij稱為阻尼影響系數(shù) ，其物理意義是：使系統(tǒng)僅在第 j個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i個坐標上所需施加的力。因此，質(zhì)量矩陣 M中的元素 mij是使系統(tǒng)在第 j個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i個坐標上所需施加的力。 kij稱為剛度影響系數(shù) 。 ()M x C x K x F t? ? ? 因此，所施加的這組外力在數(shù)值上正好是剛度矩陣的第 j列，kij 是在第 i個坐標上所施加的力。 ? 振型疊加法 適用于比例阻尼或振型阻尼系統(tǒng)。 對于特殊選取的 n個廣義坐標 ，使得系統(tǒng)運動微分方程的全部耦合項都不出現(xiàn)，這樣的坐標稱為 主坐標 。系統(tǒng)作主振動時所具有的振動形態(tài)稱為 主振型 ，或稱為 模態(tài) 。 一個具有 n個自由度的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的運動微分方程一般是 n個相互耦合的二階常微分方程組成的方程組。在時刻 t=τ的脈沖力的沖量為 ，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為： ?? dfU )(???? dthfdx )()( ??(236) ? ?? t dthftx 0 )()()( ???Duhamel積分， 如果系統(tǒng)在 t=0 時有初始位移 x0、初始速度 ，則系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)為 0x?000()0( ) ( c o s sin )1( ) sin ( )nnt ndddttddxxx t e x t tf e t dm??? ? ??????? ? ? ???????????(237) (238) (239) 卷積 或 由于 Duhamel積分是系統(tǒng)在零初始條件下的響應(yīng)， 故當激 勵為簡諧激勵時， Duhamel積分即自由伴隨振動和穩(wěn)態(tài)強迫振動兩部分。 記 0， 0+分別為單位脈沖力作用瞬間的前后時刻，則系統(tǒng)的運動微分方程（ 28）與零初始條件可寫成 ： （ 227） 1U?)()( ttf ??動量定理： 故在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這 一瞬間位移沒有改變， 。 單位脈沖響應(yīng)（也稱脈沖響應(yīng)） 沖量為 U 的脈沖力可借助 δ函數(shù)表示為 ，當 時就成為單位脈沖力，即 。 周期激振力： 12( ) ( ) ,f t f n T tT??? ? ?若 f(t)滿足狄利克雷條件，則采用傅里葉級數(shù)將 f(t)展開： 0111011( ) ( c os sin )22()2( ) c os2( ) sinnnnTttTtntTtntaf t a n t b n ta x t dtTa x t n tdtTb x t n tdtT??????????? ? ????????????? ???????（ 223） 把式（ 223）代入方程（ 28），得系統(tǒng)的運動微分方程為 00 1 1 11122( c o s sin ) sin( )22n n n nnnn n nnnnaam x c x k x a n t b n t A n tA a baa rc tgb? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ????????? ?????（ 224） 由疊加原理得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 0 1 12 2 2 2112c os( ) si n( )()2 ( 1 ) ( 2 )21 ( )n n n nnnna a n t b n txtk k n nnarc t gn? ? ? ?? ? ??????????? ? ????????????????????當 ξ=0時， （ 225） （ 226） 三、任意激勵下的系統(tǒng)響應(yīng) 工程實際中，一般情況下的激振力 既不是簡諧波，也不是周期性函數(shù)，而是非周期性任意激勵。 UTE ??UTE ??1??1??)(tx)(st1?? （一周期內(nèi)）阻尼耗能： （一周期內(nèi)）激振力作功： ????? 2022220)(co s])([)(cBdttcBdttxcdxtxcWTTc???????? ??000( ) ( ) ( ) c o s ( )c o s [ ( ) ] ( ) s inTTfTW f t d x f t x t d t A k t x t d tA k t x t d t B A k?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ??tkAkxxcxm ?c o s??? ??? tAty ?s in)( ?)c o s ()( ?? ?? tBtx m k c 0s i n ????? tkAkxxcxm ????0][)()2()(2??????????