【正文】 現(xiàn)對(duì)式 （ 2178） 補(bǔ)充一個(gè)方程 則式 （ 2180） 與式 （ 2178） 可以合。 φ有非零解的充要條件（克萊姆法則）是 式 （ 2179） 描述了一般粘性阻尼系統(tǒng)的特性方程，它是關(guān)于 λ 的 2n次代數(shù)多項(xiàng)式方程 。 0 0Ts F? ?s?(3) 傳遞函數(shù)矩陣與 幅頻 響應(yīng)函數(shù)矩陣 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 2( ) ( ) ( )M s C s K X s F s? ? ?Laplace變換， 假設(shè)零初始條件 (2170) (2171) ( ) ( ) ( )X s G s F s?(2172) 系統(tǒng)的輸出與 輸入關(guān)系： 故傳遞函數(shù)矩陣只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量、剛度及阻尼物理性質(zhì)（參數(shù)），且 令 由式（ 2171）、式（ 2173）得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函 數(shù)矩陣 1 2 1 1 2 12121( ) ( ) ( ) [ ( ) ]()T T T TTnT iip p pi p i p i p iG s M s Cs K M s Cs KM s C s KM s C s K??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????si??2121211( ) ( )( 1 2 )iTniii p i p p iiTnnTi i iiiiip i i i i p iH K M i CK M i ceK i K???? ? ???? ? ???? ? ??????? ? ? ??????????（ 2173） （ 2174） 頻率域內(nèi)輸出與輸入的關(guān)系： ( ) ( ) ( )X H F? ? ??21() ( 1 2 )nr i s irsi p i i i iH Ki ??? ? ? ??? ???（ 2175） （ 2176） 幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣 只取決于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)，它在計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)以及確定系統(tǒng)的動(dòng)力特性學(xué)方面都很有用處。 若計(jì)算有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 主坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解 sinpi i pi i pi i oiM C K Q t? ? ? ?? ? ?22 s inoii i i i i ipiQ tM? ? ? ? ? ? ?? ? ?1( ) ( ) sin ( )n oii i i ii piQx t t tK? ? ? ? ??? ? ??2221( 1 ) ( 2 )21ii i iiiiiarc t g?? ? ????????????? ?? ??(2163) (2164) (2165) (2166) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生第 s階共振， 1,22sss??????0( ) s i n ( )22Tsss p sFx t tK? ??????（ 2168） （ 2169） 當(dāng)振型阻尼比較小時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)接近第 s階主振型，即 因此，可以用一般的共振實(shí)驗(yàn)方法近似測(cè)定系統(tǒng)的各階固有頻率及相應(yīng)的主振型。 i? ?(2) 有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng) 利用上述對(duì)阻尼矩陣的幾種近似處理方法所得到的矩陣 都是對(duì)角矩陣，稱(chēng)為主阻尼矩陣，此時(shí)主坐標(biāo)下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程已全部解耦。矩陣 可由式 （ 2156） 及式 （ 2161） 得到。 由于各種阻尼的機(jī)理很復(fù)雜，實(shí)際的阻尼矩陣 C不容易精確測(cè)定或計(jì)算。忽略矩陣 中的全部非對(duì)角元素，取 TpCC? ? ?1200ppppnCCCC???????????式 （ 2154） 已經(jīng)解耦 , 第 i個(gè)方程： （ 2156） （ 2157） 2 12 ( )i i i i i i ipiQtM? ? ? ? ? ?? ? ?（ 2158） 22 pi iipiCM ???方法 2： 比例阻尼法 。為了能沿用無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)中的主坐標(biāo)方法，工程上常對(duì)阻尼矩陣采用 近似處理方法 。 tFHtx jiji ?? si n)()( 0? (2151) (2152) 10( ) s in , 1 . 7kF t F tm????解：已知系統(tǒng)的固有頻率為 正則振型矩陣： 1 2 33, , 2k k km m m? ? ?? ? ? 激振力向量： ? ?0( ) sin 0 0TF t F t?? 正則坐標(biāo)下的激振力向量： 第一個(gè)正則方程是 2 01 1 1 s i n6F tm? ? ? ???相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 010221( ) s i n 0 . 2 1 6 s i n6iF mt t F tkm? ? ???? ? ?? 同樣可解出第 2個(gè)、第 3個(gè)正則方程的穩(wěn)態(tài)解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 30( ) 0 . 5 2 0 s i nmt F tk???系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 由于激振頻率接近第二階固有頻率，在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中第二階振型 占主要成分。若采用正則模態(tài)取代主模態(tài)，式 （ 2148） 、式 （ 2149） 可以改寫(xiě)成 2221( ) ( )TnT iii iHI ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??（ 2148） （ 2149） （ 2150） 的物理意義 : 把上式代入式 （ 2147） 得 ()ijH ?00( ) s i n 0 0 s i n 0 0TjF t F t F t?????? ??101 11 12 1202 21 22 2030220sin()0sin()() sin0sin()0jjnjjnjjjn n n nnH F tx t H H HH F tx t H H Hxt FtH F tx t H H H?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ???????? 僅在系統(tǒng)第 j個(gè)坐標(biāo)上有簡(jiǎn)諧激勵(lì)而相應(yīng)于第 i個(gè)坐標(biāo)的幅頻響 應(yīng)函數(shù)。 （ 2123） （ 2124） （ 2125） )()()(1tttx inii??? ?????如果以一般的振型矩陣 取代正則振型矩陣 ?x ???()T T TM K F t??? ? ? ? ? ? ?()PPM K Q t????（ 2126） （ 2127） （ 2128） 或 式（ 2128）所描述的 n個(gè)方程都幾經(jīng)解耦，第 i個(gè)方程為 ()iiP i P i iM K Q t????2 1 ()ii i i iPQtM? ? ???或 式 （ 2126） 11 TpMM??? ? ?11 Tpx M M x? ??? ? ? ?（ 2129） （ 2130） （ 2131） 初始條件： 根據(jù)單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)可寫(xiě)出 n自由度系統(tǒng)在 第 i個(gè)坐標(biāo)的響應(yīng) 000( 0) 1( ) ( 0) c os sin ( ) sin ( )1( 0)1( 0)iiitii i i i i ii P iTiPTiPt t t Q t dMMxMMxM?? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ??????????? ?????1100( 0 ) , ( 0 )TTppM M x M M x?? ??? ? ? ?（ 2132） （ 2133） 物理坐標(biāo)下的系統(tǒng)響應(yīng)： 假設(shè) F(t)是同一頻率的簡(jiǎn)諧激振力向量，即 1( ) ( )n iiix t t? ? ??? ? ? ?0( ) si nF t F t??00TQF??式（ 2129） 002211iii i iiP i P P iAK M K??????siniiAt???（ 2134） （ 2135） （ 2136） （ 2137） （ 2138） 把各個(gè)坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)代入式 （ 2139） 得到系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 ii????tkQtipiii ??? s in)11()(20??0211021( ) ( ) ( ) sin( 1 )sin( 1 )iiinni i iii PiTniii piQx t t t tKFtk? ? ? ? ?????????? ? ? ???????（ 2139） （ 2140） （ 2141） 當(dāng) 時(shí)，第 s階主振動(dòng)的振幅會(huì)變得很大，稱(chēng)系統(tǒng)發(fā)生了第 s階共振，式 （ 2141） 可以寫(xiě)成 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)除了采用振型疊加法之外，還可采用 直接解法 求得。 對(duì)于主坐標(biāo) ，則有 。譜矩陣（作為檢驗(yàn)）為 pK 2 2 21 2 334,k k km m m? ? ?? ? ?即 1 2 33121 1 16 2 3 1 3 22 1 10 2 0 26 3 61 3 21 1 16 2 3p p pm m mM M M m m mm m m???????????? ??????? ? ? ? ? ? ?????????????????T K? ? ? ? T MI? ? ?二、多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng) ? 無(wú)阻尼多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)（自由振動(dòng)） ? 無(wú)阻尼多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)（強(qiáng)迫振動(dòng)） ? 有阻尼多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng) 無(wú)阻尼多自由度線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)（自由振動(dòng)） n自由度無(wú)阻尼線(xiàn)性系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程： 設(shè)初始條件 00(0 ) , (0 )x x x x??(2108) (2109) ? ?0 1 2( 0) ( 0) ( 0) Tnx x x x?? ?0 1 2( 0) ( 0) ( 0) Tnx x x x?0?? KxxM ?? 則在正則坐標(biāo) ξ下的自由振動(dòng)方程為 x ???0TTMK? ? ? ? ? ???（ 2110） （ 2111） 0I ??? ? ?或 （ 2112） 該方程已經(jīng)全部解耦。 pK?采用正則坐標(biāo)描述 n自由度位移的運(yùn)動(dòng)， 能獲得形式最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)方程??！ 1x 2x3x2k 2k k k m m m (a) 1 1 2 1 0 1 1 1 1 (b) (c) (d) 圖 28 解：系統(tǒng)的固有振動(dòng)方程（或自由振動(dòng)方程）為 ????????????????????????????????????????????????????????000302030000