【走向高考】(20xx春季發(fā)行)高三數(shù)學第一輪總復習5-1平面向量的概念與線性運算新人教a版-資料下載頁
2025-01-07 20:53本頁面
【正文】 2)， b＝ (2，－ 2)． (1)當 x、 y 為何值時， a 與 b 共線？ (2)是否存在實數(shù) x、 y，使得 a⊥ b，且 |a|＝ |b|？若存在，求出 xy 的值；若不存在，說明理由． [解析 ] (1)∵ a 與 b 共線， ∴ 存在非零實數(shù) λ 使得 a＝ λ b， ∴????? 2x－ y＋ 1＝ 2λ ，x＋ y－ 2＝－ 2λ ， ?????? x＝ 13，y∈ R. (2)由 a⊥ b?(2x－ y＋ 1)2 ＋ (x＋ y－ 2)( － 2)＝ 0?x－ 2y＋ 3＝ 0.① 由 |a|＝ |b|?(2x－ y＋ 1)2＋ (x＋ y－ 2)2＝ 8.② 由 ①② 解得????? x＝－ 1，y＝ 1， 或 ????? x＝ 53，y＝ 73. ∴ xy＝－ 1 或 xy＝ 359. 15 1．設平面內有四邊形 ABCD 和點 O，若 OA→＝ a， OB→＝ b， OC→＝ c， OD→＝ d，且 a＋ c＝ b＋ d，則四邊形 ABCD 為 ( ) A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四邊形 [答案 ] D [解析 ] 解法一：設 AC 的中點為 G，則 OB→＋ OD→＝ b＋ d＝ a＋ c＝ OA→＋ OC→＝ 2OG→， ∴ G 為 BD的中點， ∴ 四邊形 ABCD 的兩對角線互相平分， ∴ 四邊形 ABCD 為平行四邊形． 解法二： AB→＝ OB→－ OA→＝ b－ a， CD→＝ OD→－ OC→＝ d－ c＝－ (b－ a)＝－ AB→， ∴ AB 綊 CD， ∴ 四邊形 ABCD 為平行四邊形． 2． (2022 銀川模擬 )已知 a、 b 是兩個不共線的向量， AB→＝ λ a＋ b， AC→＝ a＋ μ b(λ ，μ ∈ R)，那么 A、 B、 C 三點共線的充要條件是 ( ) A． λ ＋ μ ＝ 2 B． λ － μ ＝ 1 C． λμ ＝－ 1 D． λμ ＝ 1 [答案 ] D [解析 ] ∵ A、 B、 C 三點共線， ∴ AB→與 AC→共線， ∴ 存在 t∈ R，使 AB→＝ tAC→， ∴ λ a＋ b＝ t(a＋ μ b)＝ ta＋ tμ b， ∵ a， b 不共線， ∴????? λ ＝ t，1＝ tμ ， 即 λμ ＝ 1. 3．設兩個非零向量 a 與 b 不共線， (1)若 AB→＝ a＋ b， BC→＝ 2a＋ 8b， CD→＝ 3(a－ b)．求證： A、 B、 D 三點共線； (2)試確 定實數(shù) k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 共線． [解析 ] (1)證明： ∵ AB→＝ a＋ b， BC→＝ 2a＋ 8b， CD→＝ 3(a－ b)， 16 ∴ BD→＝ BC→＋ CD→＝ 2a＋ 8b＋ 3(a－ b) ＝ 5(a＋ b)＝ 5AB→. ∴ AB→、 BD→共線， 又它們有公共點 B， ∴ A、 B、 D 三點共線． (2)∵ ka＋ b 與 a＋ kb 共線， ∴ 存在實數(shù) λ ，使 ka＋ b＝ λ (a＋ kb)， ∴ (k－ λ )a＝ (λk － 1)b. ∵ a、 b 是不共線的兩個非零向量， ∴ k－ λ ＝ λk － 1＝ 0， ∴ k2－ 1＝ 0.∴ k＝ 177。1. 4．已知點 O(0,0)、 A(1,2)、 B(4,5)，向量 OP→＝ OA→＋ tAB→. (1)t 為何值時 ，點 P 在 x 軸上？ (2)t 為何值時，點 P 在第二象限？ (3)四邊形 ABPO 能否為平行四邊形？若能，求出 t 的值；若不能，說明理由； (4)求點 P 的軌跡方程． [解析 ] ∵ OP→＝ OA→＋ tAB→＝ (1,2)＋ t(3,3) ＝ (1＋ 3t,2＋ 3t)， ∴ P(1＋ 3t,2＋ 3t)． (1)∵ P 在 x 軸上， ∴ 2＋ 3t＝ 0 即 t＝－ 23. (2)由題意得????? 1＋ 3t0，2＋ 3t0， ∴ －23t－13. (3)∵ AB→＝ (3,3)， OP→＝ (1＋ 3t,2＋ 3t)． 若四邊形 ABPO 為平行四邊形，則 AB→＝ OP→， ∴????? 1＋ 3t＝ 3，2＋ 3t＝ 3， 而上述方程組無解， ∴ 四邊形 ABPO 不可能為平行四邊形． (4)∵ OP→＝ (1＋ 3t,2＋ 3t)， 17 設 OP→＝ (x， y)，則????? x＝ 1＋ 3t，y＝ 2＋ 3t， ∴ x－ y＋ 1＝ 0 為所求點 P 的軌跡方程．
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