立體幾何解題技巧例說(shuō)-資料下載頁(yè)
2025-01-06 20:06本頁(yè)面
【正文】 ∠ MCN=90176。． ∴二面角α－ AB－β =90176。 【例 8】 如圖 1，在三棱錐 S－ ABC中， SA⊥底面 ABC， AB⊥ BC． DE垂直平分 SC，且分別交 AC， SC于 D， E．又 SA=AB， SB=BC，求以 BD 為棱，以 BDE與 BDC為面的二面角的度數(shù)． 點(diǎn)撥： 先來(lái)考慮三棱錐 S－ ABC的形狀大小問(wèn)題． 根據(jù) SA⊥底面 ABC， SA=AB，可知△ SAB是等腰直角三角形，其形狀確定，現(xiàn)在不防假設(shè)這個(gè)等腰直角三角形的位置也固定． 由于 AB⊥ BC，并且 SB=BC，則線段 BC的位置也是固定的， 從而點(diǎn) C的位置以及線段SC 和線段 AC的位置也確定． 這就是說(shuō)，當(dāng)任意一個(gè)等腰直角三角形的位置確定以后，點(diǎn) C的位置就隨之而定．事實(shí)上，△ SBC也是一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)?shù)妊苯侨切?SAB的位置確定以后，等腰直角三角形 SBC的位置也隨之確定．可見(jiàn)，三棱錐 S－ ABC是一個(gè)形狀確定大小不定的幾何體． 又，由于 E是 SC中點(diǎn)，且 ED⊥ SC交 AC于 D，所以點(diǎn) D的位置也是確定的． 根據(jù)以上分析，可以斷定，從已知條件可以推算出圖 1中任意兩條線段所成的角以及任意兩條線段所成比． 解法 1： 連接 DE(圖 2)． 設(shè) ，則 ， ， ， 在 △ 中，SA = 1 AB = 1 SB = 2 BC = 2 SC = 2 = 2Rt S A C AC = SC 222 1 32 2 2? ? ? ?SA ∵ EB是 Rt△ SBC斜邊 SC上的中線， ∴ EB=1，連結(jié) SD，則 SD平分∠ ASC，∠ ASD=∠ DSE=30176。． 在 △ 中， 176。 ，∴ ，從而－ ．現(xiàn)在，在 △ 中，我們來(lái)計(jì)算 的長(zhǎng)．Rt D E S DE = SE ta n 3 0 = 1 AD = DE = 13CD = AC AD = 3 Rt A B C BD1313 3 313 323 3?? ? 設(shè) BD=x(圖 3)． 在△ BDC中有 x = CD BC 2C D BC c os B C D( c os BCD = BCAC ) = ( 23 3 )2 = 43 2 = 23 x = 132 2 2 2＋ － ∠ ∠－ ＋ － ，∴?( )2 23 3 2 23 83 62 在△ 中，有 ＋B D C CD BD = ( 23 3 ) = 2 = ( 2 ) = BC2 2 2 2 2? ? ?( )13 6 43 232 ∴∠ CDB=90176。，從而 CD⊥ BD． 在△ BDE中，有 BD DE = ( 13 6 ) = 1 = BE2 2 2 2＋ ? ( )33 2 ∴∠ BDE=90176。，從而 ED⊥ DB． ∴∠ EDC是所求二面角的平面角． 在 Rt△ DEC中，∵∠ DCE=30176。，∴∠ EDC=60176?！嗨远娼堑亩葦?shù)為 60176。． 解法 2： ∵ SA⊥底面 ABC，且 AB⊥ BC，∴根據(jù)三垂線定理有 SB⊥ BC， 從而△ SBC為等腰直角三角形，又因 E為 SC的中點(diǎn)，∴ BE⊥ SC． 由已知， ED⊥ SC，∴ SC⊥平面 DBE，∴ BD⊥ SC，又 BD⊥ SA， ∴ BD⊥平面 SAC，即平面 SAC垂直于二面角 E－ BD－ C的棱 BD， ∴∠ EDC是所求二面角的平面角． 設(shè) ，則根據(jù)已知條件有 ， ， ， ，SA = 1 AB = 1 SB = 2 BC = 2 SC = 2 = 22 ∵在 Rt△ SAC中，∠ ACS=30176。，在 Rt△ DEC中，∠ EDC=60176。 。
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1