立體幾何解題技巧例說(存儲(chǔ)版)
【正文】 M = CN = a MN = 2 a ∴△ MCN是一個(gè)等腰直角三角形 ，∠ MCN=90176。．Rt B E F EF = BF GF BF = BC FC = 34 a GF = 14 aEF = 34 a a EF = 34 a ta n D E F = DFEF = 1 D E F = 4522 14 故二面角α為 45176。 ∶ 176。 ，∴ ．∴ ∠ ∴∠ 176。所以△ PMN是一個(gè)等邊三角形． ∴在△ 中，由于 ， ∠ ∠－ ＋ － ，∴?( )2 23 3 2 23 83 62 在△ 中，有 ＋B D C CD BD = ( 23 3 ) = 2 = ( 2 ) = BC2 2 2 2 2? ? ?( )13 6 43 232 ∴∠ CDB=90176。 ?！嗨远娼堑亩葦?shù)為 60176。在 △ 中，SA = 1 AB = 1 SB = 2 BC = 2 SC = 2 = 2Rt S A C AC = SC 222 1 32 2 2? ? ? ?SA ∵ EB是 Rt△ SBC斜邊 SC上的中線， ∴ EB=1，連結(jié) SD，則 SD平分∠ ASC，∠ ASD=∠ DSE=30176。那么二面角α－ AB－β的大小是多少？ 點(diǎn)撥： 圖 1，是一個(gè)形狀確定的圖形，這是因?yàn)椤?BPM=45176。x A O O A O = A O 2 22 2 2 22 6012 2 12 12 3 36 144 3 6 36? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?O O A O O Ox x x x x x xc os( ) ( ) ( ) ∴當(dāng) x=6時(shí)， A′ O取得最小值 6．即當(dāng) DE恰為△ ABC的中位線時(shí)， A′到 BC的距離最小，其值為 6． (五 )立體幾何綜合問題 【例 6】 已知如圖， ABC－ A1B1C1是正三棱柱， D是 AC的中點(diǎn)， (1)求證 AB1∥ 面 DBC1；(2)若 AB1⊥BC 1，求以 BC1 為棱 DBC1與 CBC1為面的二面角的度數(shù)． 點(diǎn)撥： (1)欲證 AB1∥ 平面 DBC1，只需在平面 DBC1內(nèi)找出一條與 AB1 平行的直線即可．由于 D是 AC的中點(diǎn)，就自然要考慮取 BC1的中點(diǎn) E，顯然 DE∥ AB1，問題即可解決． (2)欲求二面角 D－ BC1－ C即二面角α的度數(shù)，則需找出它的平面角，由已知，平面ABC⊥面 B1BCC1，則過 D作 DF⊥ BC，則 DF⊥面 B1BCC1，連接 EF，由條件 AB1⊥BC 1，可證明 DE⊥ BC，再利用三垂線定理 (或內(nèi)定理 )可證出 BC1⊥CF ，即可得二面角α的平面角∠DEF．通過計(jì)算，問題可解決． 解 ： (1)∵ A1B1C1－ ABC 是正三棱柱，∴四邊形 B1BCC1是矩形．連接 B1C交 BC1于 E，則 B1E=EC，連結(jié) DE．在△ AB1C中，∵ AD=DC， ∴ ∥ ，又∵ 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面DE AB AB D B C DE D B C AB1 1 1 1? ?DBC1． (2)在面 ABC內(nèi)，過 D 作 DF⊥ BC于 F，則 DF⊥平面 B1BCC1，連接 EF，則 EF是 ED在平面 B1BCC1內(nèi)的射影． ∵ AB1⊥BC 1， ∴ 由 (1)知 AB1∥DE ，∴ DE⊥ BC1，由三垂線逆定理可知 BC1⊥EF ．∴∠DEF 是二面角α的平面角，設(shè)為θ，設(shè) AC=a， 則 ，∵△ 是正三角形．CD = 12 a A B C ∴在 △ 中， ，∴ ．故 到面 的距離為 ．Rt GC K GK h =GC GKh =211B GE F21GK??
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