立體幾何解題技巧例說(參考版)
2025-01-09 20:06本頁面
【正文】 。在 Rt△ DEC中，∠ EDC=60176。． 解法 2： ∵ SA⊥底面 ABC，且 AB⊥ BC，∴根據(jù)三垂線定理有 SB⊥ BC， 從而△ SBC為等腰直角三角形，又因 E為 SC的中點，∴ BE⊥ SC． 由已知， ED⊥ SC，∴ SC⊥平面 DBE，∴ BD⊥ SC，又 BD⊥ SA， ∴ BD⊥平面 SAC，即平面 SAC垂直于二面角 E－ BD－ C的棱 BD， ∴∠ EDC是所求二面角的平面角． 設(shè) ，則根據(jù)已知條件有 ， ， ， ∴∠ EDC=60176。從而 CD⊥ BD． 在△ BDE中，有 BD DE = ( 13 6 ) = 1 = BE2 2 2 2＋ ? ( )33 2 ∴∠ BDE=90176。 ． 在 △ 中， 176。 【例 8】 如圖 1，在三棱錐 S－ ABC中， SA⊥底面 ABC， AB⊥ BC． DE垂直平分 SC，且分別交 AC， SC于 D， E．又 SA=AB， SB=BC，求以 BD 為棱，以 BDE與 BDC為面的二面角的度數(shù)． 點撥： 先來考慮三棱錐 S－ ABC的形狀大小問題． 根據(jù) SA⊥底面 ABC， SA=AB，可知△ SAB是等腰直角三角形，其形狀確定，現(xiàn)在不防假設(shè)這個等腰直角三角形的位置也固定． 由于 AB⊥ BC，并且 SB=BC，則線段 BC的位置也是固定的， 從而點 C的位置以及線段SC 和線段 AC的位置也確定． 這就是說，當(dāng)任意一個等腰直角三角形的位置確定以后，點 C的位置就隨之而定．事實上，△ SBC也是一個等腰直角三角形，當(dāng)?shù)妊苯侨切?SAB的位置確定以后，等腰直角三角形 SBC的位置也隨之確定．可見，三棱錐 S－ ABC是一個形狀確定大小不定的幾何體． 又，由于 E是 SC中點，且 ED⊥ SC交 AC于 D，所以點 D的位置也是確定的． 根據(jù)以上分析，可以斷定，從已知條件可以推算出圖 1中任意兩條線段所成的角以及任意兩條線段所成比． 解法 1： 連接 DE(圖 2)． 設(shè) ，則 ， ， ， ，MN = 2 aM C N CM = CN = a MN = 2 a ∴△ MCN是一個等腰直角三角形 ，∠ MCN=90176。 ， ， 在△ PMN中，由于∠ MPN=60176。所以射線 PM在α內(nèi)的位置是確定的，同理 PN在β內(nèi)的位置也是確定的． 若角 MPN的大小不定，即 PM與 PN的相互位置關(guān)系不定，則由 AB， PM 所決定的平面α和由 AB， PN所決定的平面β的相互位置關(guān)系不可能確定，從而二面角α－ AB－β的大小也就不能確定了，但在已知條件有∠ MPN=60176?！?MPN=60176。．Rt B E F EF = BF GF BF = BC FC = 34 a GF = 14 aEF = 34 a a EF = 34 a ta n D E F = DFEF = 1 D E F = 4522 14 故二面角α為 45176。 ，又 － ， ，∴ ∠ ， ′ 二面角．求 A′到直線 BC的最小距離． 點撥： 首先應(yīng)作出 A′到 BC的距離．顯然 A′到 BC的距離的大小與 DE 的位置有關(guān)，而 DE的位置又可由 A 點到 DE的距離表示，由此， A′到 BC的距離可表示為 A到 DE的距離的函數(shù)，進而可解決問題． 解 ： 取 BC的中點 O，連 AO交 DE于 O′． ∵ AB=AC，∴ AO⊥ BC， ∴ AO′⊥ DE，連 A′ O′，則 A′ O′⊥ DE， ∴ DE⊥面 A′ O′ O，∵ DE∥ BC， ∴ BC⊥面 A′ O′ O， ∴ BC⊥ A′ O，故 A′ O 為 A′到 BC的距離，
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