立體幾何解題技巧及高考類(lèi)型題—老師專(zhuān)用(參考版)
2025-04-20 08:01本頁(yè)面
【正文】 26 。利用建立空間直角坐標(biāo)系，避開(kāi)了“作、證”兩個(gè)基本步驟，通過(guò)求兩個(gè)平面法向量的夾角來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的，解題過(guò)程實(shí)現(xiàn)了程序化，是一種有效方法。解法3：（向量法）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(0，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量為=(0，0)；設(shè)平面SDC的法向量為=(x，y，z)，而=(1，0)，=(0， 1)，∵⊥面SDC，∴⊥，⊥，n1⊥.∴得令得：。總之，在運(yùn)用三垂線(xiàn)找平面角時(shí)，找垂線(xiàn)注意應(yīng)用已知的條件和有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理，按三垂線(xiàn)的條件，一垂線(xiàn)垂直二面角的一個(gè)面，還有垂直于棱的一條垂線(xiàn)。這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線(xiàn)。解法2：（三垂線(xiàn)定理法）解：延長(zhǎng)CD、BA交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線(xiàn).又∵DA⊥平面SAB，∴.∵AD＝BC且AD∥BC ∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE ∴△SAE為等腰直角三角形，F(xiàn)為中點(diǎn)， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE∴由三垂線(xiàn)定理得DF⊥SE∴∠DFA為二面角的平面角,∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.評(píng)注：常規(guī)法求解步驟：一作：作出或找出相應(yīng)空間角；二證：通過(guò)簡(jiǎn)單的判斷或推理得到相應(yīng)角；三求：通過(guò)計(jì)算求出相應(yīng)的角。解法1：可用射影面積法來(lái)求，這里只要求出S△SCD與S△SAB即可，故所求的二面角θ應(yīng)滿(mǎn)足= == 。分析：本題采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）設(shè)過(guò) ABC的平面交平面于BD,交平面于CDAB,AB平面ABC 平面ABC,同理平面ABCD（2）ABABEF同理ACEFEF平面ABDCBDEF, CD EF=BC=cm有正弦定理得點(diǎn)A到EF的距離為：d=cm過(guò)程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法.以錐體為載體，對(duì)求角的問(wèn)題進(jìn)行研究典型例題如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐SABCD中， AD∥BC,∠ABC=90176。典型例題二面角的大小為，A是它內(nèi)部的一點(diǎn)，AB，AC,B、C為垂足。 [思維]二面角的大小是由二面角的平面角來(lái)度量的，本題可利用三垂線(xiàn)定理（逆）來(lái)作平面角，還可以用射影面積公式或異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離公式求二面角的平面角。分析：由于這兩個(gè)三角形是全等的三角形，故采用定義法解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE、PE AC=AB，PB=PC AE BC，PE BC為二面角PBCA的平面角在中AE=PE=，PA==900二面角PBCA的平面角為900。投影法：利用s投影面=s被投影面這個(gè)公式對(duì)于斜面三角形，任意多邊形都成立，是求二面角的好方法。斜足與面上一點(diǎn)連線(xiàn)，和斜足與垂足連線(xiàn)所夾的角即為二面角的平面角。定義法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別引棱的垂線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角。②以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角。 解法1：平移法 設(shè)A1C1與B1D1交于O，取B1B中點(diǎn)E，連接OE，因?yàn)镺E//D1B，所以∠C1OE或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)A1C1與BD1所成的角△C1OE中 ，所以異面直線(xiàn)所成的角為解法2：補(bǔ)形法 在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3， 所以異面直線(xiàn)A1C1與BD1所成的角為 圖2 解法3：利用公式 設(shè)OA是平面α的一條斜線(xiàn)，OB是OA在α內(nèi)的射影，OC是平面α內(nèi)過(guò)O的任意一條直線(xiàn)，設(shè)OA與OC、OA
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