高考數(shù)學(xué)立體幾何大題30題(參考版)
2025-04-20 13:17本頁面
【正文】 ＝０得ａ－ｂ－ｃ＝０；ｂ＋ｃ＝０．可取ｎ＝（，－１，）． ……………8＇又底面ABC的法向量為ｍ＝（０，０，１）， ……………9′設(shè)平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為，則cos＝＝, ∴＝arccos. ……………… 12’29．已知三棱錐P—ABC中PB⊥底面ABC，PB=BC=CA=a，E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且3PF=FA. （1）求證：平面PAC⊥PBC； （2）求平面BEF與底面ABC所成角（用一個反三角函數(shù)值表示）.（1）證明：∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC…………1分，又∠BCA=90176。E是線段BC1上一點(diǎn)，且BE=BC1 ．（１）求證： GE∥側(cè)面AA1B1B ；（２）求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小 解法1：(1)延長B1E交BC于F, ∵ΔB1EC∽ΔFEB, BE＝ＥＣ１∴ＢＦ＝Ｂ１Ｃ１＝ＢＣ，從而Ｆ為ＢＣ的中點(diǎn)． …………… ……………２′∵Ｇ為ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三點(diǎn)共線，且＝＝，∴GE∥AB1，又GE側(cè)面AA1B1B， ∴GE∥側(cè)面AA1B1B ……………… ………６＇（２）在側(cè)面AA1B1B內(nèi)，過B1作B1Ｈ⊥ＡＢ，垂足為Ｈ，∵側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC，∴B1Ｈ⊥底面ABC．又側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角， AA1= 2，∴∠B1ＢＨ＝６００，ＢＨ＝１，B1Ｈ＝．在底面ABC內(nèi)，過Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足為Ｔ，連B1Ｔ．由三垂線定理有B1Ｔ⊥ＡＦ，又平面B1GE與底面ABC的交線為ＡＦ，∴∠B1ＴＨ為所求二面角的平面角．……９＇∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００， ∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝，在ＲｔΔB1ＨＴ中，ｔａｎ∠B1ＴＨ＝＝ ，從而平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan ……………… 12′ 解法2：（１）∵側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC，側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角， ∴∠A1AB＝６００，又AA1= ＡＢ= 2，?。粒碌闹悬c(diǎn)Ｏ,則ＡＯ⊥底面ABC．以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－ｘｙｚ如圖，則Ａ（０，－１，０），Ｂ（０，１，０），Ｃ（，０，０），Ａ１（０，０，）Ｂ１（０，２，），Ｃ１（，１，）． ……３＇ ∵Ｇ為ΔＡＢＣ的重心，∴Ｇ（，０，０）， ∵＝ ∴Ｅ（，１，）∴＝（０，１，）＝，又GE側(cè)面AA1B1B， ∴GE∥側(cè)面AA1B1B …………… ……６＇（２）設(shè)平面B1GE的法向量為ｎ＝（ａ，ｂ，ｃ），則由ｎ（1）證明：在RtABC中，C=30，D為AC的中點(diǎn)，則ABD是等邊三角形又因E是BD的中 點(diǎn)， BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E， BD面AEF BD面BCD，面AEF 面BCD。27．在RtABC中，ACB=30，B=90，D為AC中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F， 將ABD沿BD折起，二面角A－BD－C大小記為。（1） 設(shè)，依題意有： 因?yàn)镸、N分別為的重心．所以 ∵ ∴（2） 因?yàn)槠矫鍭BC的法向量， 設(shè)平面ABD的法 向量 令，設(shè)二面角C—AB—D為，則由因此 設(shè)平面A1B1D的法向量為，則設(shè)C1到平面A1B1D的距離為，則（3）若點(diǎn)C在平面ABD上的射影正好為M，則d＝而SBCEM＝BM=…………………………10′…………12′24．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AABB1的中點(diǎn)，求：（I）CM與D1N所成角的余弦值；（II）異面直線CM與D1N的距離．解：（I）如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，……………1′則C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N （2，2，1），∴＝（2，－2，1），＝（2， 2，－1），……………………3′設(shè)CM與D1N所成的角為α，則cosα＝＝－＜0∴α為鈍角，∴CM與D1N所成的角為θ＝π－α，即cosθ＝（解法2：設(shè)CM與D1N所成的角為θ，則cosθ＝＝）…………………………………6′（II）取DD1的中點(diǎn)E，分別連接EM、EB，則EM∥BC，EB∥D1N，∴B、C、E、M共面且D1N∥平面BCEM，∴D1到平面BCEM的距離d等于異面直線CM與D1N的距離， ……………………∵＝（――）=∴點(diǎn)D到平面PBG的距離為……………………………………8′（III）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，又因?yàn)镈F⊥GC∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG由GM⊥MD得：GM=GD. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中點(diǎn)分別為H、N，連結(jié)HC1，連結(jié)FN，交HC1于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為HC1的中點(diǎn)，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點(diǎn)BC=AB=2，則KN=，∴則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM分∴AF//EM，∵AF平在PCE，∴AF∥平面PCE.……4分（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，根據(jù)三垂線定理知，CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，則∠PDA=45176。（1）連結(jié)AC 取AD中點(diǎn)G，連CG，則ABCG為正方形 又 …………………………（4分） VA⊥平面ABCD，DC⊥AC 由三垂線定理：VC⊥CD………………（6分） （2）連VG，由面VAD 是CV與平面VAD所成的角………………（9分） ∴CV與平面VAD所成角為………………………（12分）19．如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1，B，M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N. （Ⅰ）求證：EM∥平面A1B1C1D1； （Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.（A）（Ⅰ）證明：取A1B1的中點(diǎn)F，連EF，C1F∵E為A1B中點(diǎn)∴EF∥ BB1…………2分又∵M(jìn)為CC1中點(diǎn) ∴EF∥ C1M∴四邊形EFC1M為平行四邊形 ∴EM∥FC1 ……4分而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1 ∴N為C1D1 中點(diǎn)過B1作B1H⊥A1N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理 BH⊥A1N∠BHB1即為二面角B—A1N—B1的平面角……8分設(shè)AA1=a， 則AB=2a， ∵A1B1C1D1為正方形
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