【正文】 第 10講 │ 主干知識(shí)整合 主干知識(shí)整合 例 1 [ 201 1 安徽卷 ] 在數(shù) 1 和 100 之間插入 n 個(gè)實(shí)數(shù)，使得這 n＋ 2 個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這 n ＋ 2 個(gè)數(shù)的乘積記作 Tn，再令 an＝ lg Tn， n ≥ 1. (1) 求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè) bn＝ tan an tan an ＋ 1，求數(shù)列 { bn} 的前 n 項(xiàng)和 Sn. 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 數(shù)列求和及其應(yīng)用 【分析】 ( 1 ) 只要根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì) aman＝ apaq? m ＋ n＝ p ＋ q ， m ， n ， p ， q ∈ N*， 即可把插入的 n 個(gè)數(shù)的乘積轉(zhuǎn)化為 1 與 100 的乘積 ； ( 2 ) 根據(jù) 差角的正切公式進(jìn)行裂項(xiàng) ． 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1 ) 設(shè) t1， t2， ? ， tn ＋ 2構(gòu)成等比數(shù)列，其中 t1＝ 1 ， tn ＋ 2＝ 100 ，則 Tn＝ t1 t2? tn ＋ 1 tn ＋ 2， ① Tn＝ tn ＋ 2 tn ＋ 1? t2 t1， ② ① ② 并利用 titn ＋ 3 － i＝ t1tn ＋ 2＝ 102(1 ≤ i ≤ n ＋ 2) ，得 T2n＝ ( t1tn ＋ 2) ( t2tn ＋ 1) ? ( tn ＋ 1t2) ( tn ＋ 2t1) ＝ 102( n ＋ 2) ．∴ an＝ lg Tn＝ n ＋ 2 ，n ≥ 1. (2 ) 由題意和 (1 ) 中計(jì)算結(jié)果，知 bn＝ ta n( n ＋ 2) ta n( n ＋ 3) ， n ≥ 1 ， 另一方面 ，利用 ta n1 ＝ ta n[( k ＋ 1) － k ] ＝ta n ? k ＋ 1 ? － ta n k1 ＋ ta n ? k ＋ 1 ? ta n k， 得 ta n( k ＋ 1) ta n k ＝ta n ? k ＋ 1 ? － ta n kta n1－ 1. 所以 Sn＝ ?k ＝ 1nbk＝ ?k ＝ 3n ＋ 2t an ( k＋ 1) ta n k ＝ ?k ＝ 3n ＋ 2 ??????ta n ? k ＋ 1 ? － ta n kta n1－ 1 ＝ta n ? n ＋ 3 ? － t an 3ta n1－ n . 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì) 、 三角函數(shù)等知識(shí) ． 本題兩問中的方法都是值得注意的 ， 在第一問中采用的是倒序相乘法 ， 這類似于等差數(shù)列求和中的倒序相加法 ； 第二問采用的裂項(xiàng)法和兩角差的正切公式結(jié)合在一起 ， 這在近年來的高考試題中是不多見的 ， 這與我們平時(shí)見到的裂項(xiàng)法有較大的不同 ， 但基本思想是把不能使用公式直接求和的問題轉(zhuǎn)化為可以逐項(xiàng)相消的問題 ， 基本思想就是裂項(xiàng) ． 設(shè)數(shù)列 { an} 的各項(xiàng)都為正數(shù) ， 其前 n 項(xiàng)和為 Sn， 已知對(duì)任意 n ∈ N*， Sn是 a2n和 an的等差中項(xiàng) ． ( 1 ) 證明 ： 數(shù)列 { an} 為等差數(shù)列 ， 并求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 證明 ：1S1＋1S2＋ ? ＋1Sn2 ； ( 3 ) 設(shè)集合 M ＝ { m | m ＝ 2 k ， k ∈ Z ， 且 1000 ≤ k 1500} ， 若存在m ∈ M ， 使對(duì)滿足 n m 的一切正整數(shù) n ， 不等式 Sn－ 1005a2n2恒成立 ， 求這樣的正整數(shù) m 共有多少個(gè) ？ 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 由已知， 2 Sn＝ a2n＋ an，且 an0 ，當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， 2 a1＝ a21＋ a1，解得 a1＝ 1.當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，有 2 Sn－1＝ a2n－1＋ an－1，于是 2 Sn－ 2 Sn－1＝ a2n－ a2n－1＋ an－ an－1，即 2 an＝ a2n－a2n－1＋ an－ an－1，于是 a2n－ a2n－1＝ an＋ an－1，即 ( an＋ an－1)( an－ an－1) ＝ an＋ an－1. 因?yàn)?an＋ an－10 ，所以 an－ an－1＝ 1( n ≥ 2) ．故數(shù)列 { an} 是首項(xiàng)為 1 ，公差為 1 的等差數(shù)列，且 an＝ n . (2) 因?yàn)?an＝ n ，則 Sn＝2n ? n ＋ 1 ?＝ 2????????1n－1n ＋ 1， 所以1S1＋1S2＋ ? ＋1Sn＝ 2????????????????1 －12＋????????12－13＋ ? ＋????????1n－1n ＋ 1＝ 2????????1 －1n ＋ 1 2. (3) 由 Sn－ 1005 a2n2，得n ? n ＋ 1 ?2－ 1005n22，即n2 1005 ，所以 n 2022. 由題設(shè)， M ＝{2022,2022 ， ? ， 2022, 2022, 20 12 ， ? ， 2998} ，因?yàn)?m ∈ M ，所以 m ＝ 201 0, 2022 ， ? ，2998 均滿足條件，且這些數(shù)組成首項(xiàng)為 201 0 ，公差為 2 的等差數(shù)列．設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有 k 項(xiàng)，則 2022 ＋ 2( k － 1) ＝ 2 998 ，解得 k ＝ 495. 故集合 M 中滿足條件的正整數(shù) m 共有495 個(gè)． 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 2 設(shè)數(shù)列 { a n } 滿足： a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ ? ＋ na n ＝ 2n( n ∈N*) ． (1) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè) b n ＝ n2a n ，求數(shù)列 { b n } 的前 n 項(xiàng)和 S n . 【分析】 第 ( 1 ) 問直接利用遞推式求通項(xiàng)公式 ； 第 ( 2 )問是一類典型的錯(cuò)位相減法來求和的問題 ． 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) ∵ a1＋ 2 a2＋ 3 a3＋ ? ＋ nan＝ 2n， ① ∴ n ≥ 2 時(shí)， a1＋ 2 a2＋ 3 a3＋ ? ＋ ( n － 1) an － 1＝ 2n － 1. ② ① － ② ，得 nan＝ 2n － 1， an＝2n － 1n( n ≥ 2) ， 在 ① 中令 n ＝ 1 得 a1＝ 2 ， ∴ an＝????? 2 ? n ＝ 1 ? ，2n － 1n? n ≥ 2 ? . 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) ∵ b n ＝????? 2 ? n ＝ 1 ? ，n 2n － 1? n ≥ 2 ? .則當(dāng) n ＝ 1 時(shí) ， S 1 ＝ 2. ∴ 當(dāng) n ≥ 2 時(shí) ， S n ＝ 2 ＋ 2 2 ＋ 3 22＋ ? ＋ n 2n － 1， 則 2 S n ＝ 4 ＋ 2 22＋ 3 23＋ ? ＋ ( n － 1 ) 2n － 1＋ n 2n. 相減得 S n ＝ n 2n－ ( 2 ＋ 22＋ 23＋ ? ＋ 2n － 1) ＝ ( n － 1 ) 2n＋ 2 ( n ≥ 2 ) ． 又 S 1 ＝ 2 ， ∴ S n ＝ ( n － 1 ) 2n＋ 2 ( n ∈ N*) ． 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題是一類比較 典型的數(shù)列解答題 ， 第( 1 ) 問求通項(xiàng) ， 第 ( 2 ) 問求和 ， 求和時(shí)利用錯(cuò)位相減法實(shí)現(xiàn) ． 設(shè) { an} 為等差數(shù)列 ， { bn} 為等比數(shù)列 ， 求數(shù)列 { anbn}的前 n 項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法 ． 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知等差數(shù)列 { a n } 和正項(xiàng)等比數(shù)列 { b n } ， a 1＝ b 1 ＝ 1 ， a 3 ＋ a 7 ＝ 10 ， b 3 ＝ a 4 . ( 1 ) 求數(shù)列 { a n } 、 { b n } 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 若 c n ＝ a n b n ， 求數(shù)列 { c n } 的前 n 項(xiàng)和 T n . 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) 依題意 ， { an} 為等差數(shù)列 ， 設(shè)其公差為 d ； { bn} 為正項(xiàng)等比數(shù)列 ， 設(shè)其公比為 q ， 即可知 q 0. ∵ a3＋ a7＝ 10 ， ∴ 2 a5＝ 10 ， 即 a5＝ 5. 又 a1＝ 1 ， ∴ a5－ a1＝ 4 d ＝ 4 ， 解得 d ＝ 1. 故 an＝ a1＋ ( n － 1 ) d ＝ n . 由已知 b3＝ a4＝ 4 ， ∴ q2＝b3b1＝ 4 ， 即 q ＝ 2. ∴ bn＝ b1qn － 1＝ 2n － 1. 所以 an＝ n ， bn＝ 2n － 1. ( 2 ) ∵ cn＝ an bn＝ n 2n － 1， ∴ Tn＝ 1 20＋ 2 21＋ 3 22＋ ? ＋ n 2n － 1， 2 Tn＝ 1 21＋ 2 22＋ 3 23＋ ? ＋ ( n － 1 ) 2n － 1＋ n 2n. 以上兩式相減 ， 得 － Tn＝ 20＋ 21＋ 22＋ ? ＋ 2n － 1－ n 2n＝1 ? 1 － 2n?1 － 2－ n 2n＝ ( 1 － n ) 2n－ 1 ， ∴ Tn＝ ( n － 1 ) 2n＋ 1. 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 數(shù)列應(yīng)用題的解法 例 3 [ 201 1 湖南卷 ] 某企業(yè)在第 1 年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120 萬元的設(shè)備 M ， M 的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2 年到第 6 年，每年初 M 的價(jià)值比上年初減少 10 萬元；從第 7 年開始，每年初 M 的價(jià)值為上年初的 7 5% . (1) 求第 n 年初 M 的價(jià)值 an的表達(dá)式； (2) 設(shè) An＝a1＋ a2＋ ? ＋ ann. 若 An大于 80 萬元，則 M 繼續(xù)使用，否則須在第 n 年初對(duì) M 更新．證明：須在第 9 年初對(duì) M 更新． 第 10講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 當(dāng) n ≤ 6 時(shí)，數(shù)列 { an} 是首項(xiàng)為 120 ，公差為－ 10 的等差數(shù)列． an＝ 120 － 1 0( n － 1) ＝ 1 30 － 10 n ； 當(dāng) n ≥ 6 時(shí)，數(shù)列 { an} 是以 a6為首項(xiàng)，公比為34的等比數(shù)列， 又 a6＝ 70 ，所以 an＝ 70