[理學(xué)]概率論與數(shù)率統(tǒng)計(jì)第4章-資料下載頁
2024-10-19 00:45本頁面
【正文】 ,Y) ] 2 ≤ DX DY 。 (2) | ?XY | = 1 的充分必要條件是 存在 常數(shù) a、 b ， 使得 P(Y = a+bX ) = 1 。 證明 (1)由于 e ≥0，所以 (1?2XY ） D(Y) ≥0，所以 1?2XY ≥ | ?XY | ≤ 1 (2) 若 | ?XY | = 1 ，則 E{[Y(a0+b0X)]2}=0。從而 20020 0 0 00 { [ ( ) ] }[ ( ) ] { [ ( ) ] }E Y a b XD Y a b X E Y a b X? ? ?? ? ? ? ? ?00[ ( ) ] 0D Y a b X? ? ?00[ ( ) ] 0E Y a b X? ? ?故有 00{ ( ) 0 } 1P Y a b X? ? ? ?由方差的性質(zhì)知 反之，若存在 a*， b*使 P{Y= a*+ b*X}=1即 P{Y(a*+ b*X)=0}=1。 所以 P{[Y(a*+ b*X)]2=0}=1,故 E{[Y(a*+ b*X)]2}=0,所以 22,22000 { [ ( ) ] } m i n { [ ( ) ] }{ [ ( ) ] } ( 1 ) ( ) 0abXYE Y a b X E Y a b XE Y a b X D Y???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?所以 | ?XY | = 1 4. 隨機(jī)變量的不相關(guān) 按照定義即 它們之間的相關(guān)系數(shù)為 0， 等價于協(xié)方差為 0，因此“不相關(guān)”是比 “獨(dú)立”弱的關(guān)系。即：獨(dú)立一定不相關(guān)， 但不相關(guān)不一定獨(dú)立。 “不相關(guān)”的等價形式 ?XY = 0 ? Cov (X,Y) = 0 ? E(XY) = (EX)(EY) ? D(X+Y) = DX + DY 例 第三章討論的隨機(jī)取數(shù)的問題 計(jì)算 X、 Y 的相關(guān)系數(shù)。 X Y 1 2 3 4 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16 p? j 25/48 13/48 7/48 3/48 pi ? 1/4 1/4 1/4 1/4 E(XY) = 1 1 1/4 + 2 1 1/8 + 2 2 1/8 + … = 39/8 = 因此，協(xié)方差 Cov (X,Y) = 4/8 = ， 相關(guān)系數(shù) ?X Y = 。 □ 解 . X、 Y 的期望與方差計(jì)算比較簡單， EX=， DX=； EY=， DY=41/48。 對于 E(XY)沒有必要去求 XY 的分布律。 利用隨機(jī)向量函數(shù)的期望公式，有 例 二維正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù) (X,Y) ~ N ( ?1,?2 。?12,?22 。? ) 其中參數(shù) – ∞ ＜ ?1,?2 ＜ + ∞ 。 ?1,?2 ＞ 0 。 1 ＜ ? ＜ 1 已經(jīng)知道兩個邊緣分布 X ~ N (?1,?12 )， Y ~ N (?2,?22 ) ， 可以證明 X、 Y 的協(xié)方差 Cov (X,Y) = ??1?2 ， 因此 X、 Y 的相關(guān)系數(shù)就是參數(shù) ? 。 正態(tài)分布 的“ 不相關(guān)性 ” 與 “ 獨(dú)立性 ” 等價 □ 習(xí)題 12. 教材 141 頁 第 2 2 2 229 題 。 矩 定義 設(shè) X， Y是隨機(jī)變量，若E(Xk),k=1,2,… 存在，稱其為 X的 k階原點(diǎn)矩，簡稱 k階矩。 若 E{[XE(X)]k}， k=2,3,… 存在，稱它為 X的 k階中心矩。 若 E{[XkYl]}， k,l=1,2,3,….. 存在，稱它為 X和 Y的 k+l階混合矩。 若 E{[XE(X)]k [YE(Y)]l} k,l=1,2,3,….. 存在，稱它為 X和 Y的 k+l階混合中心矩。 練習(xí) 相互獨(dú)立，它們的概率密度函數(shù)分別為 ,??1 , 0 1()0xfx???????()E ???,0()0yeyfy??? ?? ??求 ， 。 ()D ??? 3個白球，兩個紅球隨機(jī)放入 4個盒子中 (假設(shè)每個盒子可放任意多個球 )。用 X表示有一個白球的盒子數(shù)， Y表示有一個紅球的盒子數(shù)，求 (X,Y)的聯(lián)合分布及 Cov(X,4X). X服從正態(tài)分布，其概率密度為 22( ) ( )x Bxf x Ae x??? ? ? ? ? ? ?且 E(X)=D(X)，求 (1)A， B的值 。(2)E(X22x+3)。(3)D(2X+3)。 X,Y相互獨(dú)立，且都服從均值為 0、方差為 1/2的正態(tài)分布，求 |XY|的方差。 1()2E ? ?( ) 1E ? ?13( ) ( ) ( )12D D D? ? ? ?? ? ? ? 顯見 分別服從均勻分布和指數(shù)分布 1( ) ( ) ( )2E E E? ? ? ?? ? ? ? ?( ) 1D ? ?1()12D ? ?,??,Y相互獨(dú)立 P{X=0}=C41/43=1/16 0 1 3 0 4/256 36/256 24/256 4/16 2 12/256 108/256 72/256 12/16 1/16 9/16 6/16 Y X P{X=3}=A43/43=6/16 P{X=0}=11/166/16=9/16 P{Y=0}=C41/42=4/16 P{Y=2}=A42/42=12/16 Cov(X,4X)=4D(X)=279/64 三個白球放入同一個盒子中 2222()/222()2()x x BBxBxf x Ae Ae e1 = e2????? ? ?????3.(1)比較正態(tài)分布的概率密度函數(shù)與 f(x)有 故 D(X)=1, E(X)= B=D(X)=1, 2 /2 12BAe??(2) 由 (1)知 X~N(1,1)所以 E(X22X+3)=E(X2)2E(X)+3 =D(X)+[E(X)]2+3=3 D(2X+3)=4D(X)=4 由于 X,Y相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，所以其線性組合也服從正態(tài)分布。令 Z=XY。 則 E(Z)=E(X)E(Y)=0 D(Z)=D(X)+D(Y)=1即 Z~N(,01)因?yàn)? D(|XY|)=D(|Z|)=E(|Z|2)[E(|Z|)]2 E(|Z|2)= E(Z2)=D(Z)+ [E(Z)]2=1 ???22221)(02222??? ??? ??????dzzedzezZEzz所以 ?21)( ??? YXD選擇 1 若 X,Y都服從正態(tài)分布，且它們不相關(guān)，則 A X， Y一定獨(dú)立 B (X， Y)服從二維正態(tài)分布 C X， Y未必獨(dú)立 D X+Y服從正態(tài)分布 2 若 (X,Y)服從二維正態(tài)分布，則在 (1)X,Y都服從一維正態(tài)分布 (2)X,Y獨(dú)立 (3)2X+3Y服從一維正態(tài)分布 (4)X,Y不相關(guān)，則獨(dú)立中正確的有 A (1)(3)(4) B(2)(3)(4) C (1)(2)(4) D (1)(2)(3)
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