16731解的存在唯一性定理和逐步逼近法existence-資料下載頁(yè)
2024-09-29 19:12本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】掌握逐步逼近方法的本思想。深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論。L稱為利普希茲常數(shù)。則方程()存在唯一的連續(xù)解)(xy??命題1求解微分方程的初值問(wèn)題等價(jià)于。命題3證明此逐步逼近序列一致收斂。命題4證明此收斂的極限函數(shù)為所求。微分方程的初值問(wèn)題的解滿足積分方程（）。是方程()定義于hxxx???
【正文】 ( , )dy f x ydx ?)(x?0( [ , ] )m a x ( , )xM f x y????167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 4) 一階隱式方程的解的存在唯一性 定理 2 如果在點(diǎn) 的某一鄰域中， 對(duì)所有的變?cè)? 連續(xù)，且 存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)； ),( 000 yyx ?)39。,( ) yyxFa )39。,( yyx0),( ) 000 ??yyxFb0),( ) 000 ??? ?? y yyxFc則上述初值問(wèn)題的解在 的某一鄰域存在。 0x167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 0 0 0 0( , , 39。) 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 3 )( ) , 39。( ) 39。 . . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 4 )F x y yy x y y x y??? ???事實(shí)上，由條件知 所確定的隱函數(shù) 在 鄰域內(nèi)存在且連續(xù)，且 0)39。,( ?yyxF),( yxfy ?? ),(00 yxyyFFyf??????? 在 鄰域內(nèi)連續(xù)，在以 ),(00 yx ),( 00 yx為中心的某一閉矩形區(qū)域 D 中有界，所以 f(x,y) 在 D 中關(guān)于 y 滿足 Lipschitz條件。 由解的存在唯一性定理， ???????00 )(),(yxyyxfdxdy 的解 y(x) 存在唯一， 存在區(qū)間中的 h 可足夠小。同時(shí)，有 00 )( yxy ? ),()( 0000 yxfyxy ????167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 三 、 近似計(jì)算和誤差估計(jì) 第 n 次近似解 第 n 次近似解的誤差公式 ???????????? ?xxnn hxxxdfyxyx0001000))(,()()(??????1)!1()()( ???? nnn hnMLxx ??167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 例 4 方程 定義在矩形域 , 11 ,11 : ?????? yxR22 yxdxdy ??試確定經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0,0) 的解的存在區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真 正解的誤差不超過(guò) 的近似解的表達(dá)式。 解 2m a x 22),( ??? ? yxM Ryx 21)21,1m i n(),m i n( ??? Mbah滿足解的存在唯一性定理的條件 Lipschitz 常數(shù)取為 L=2 ， 因?yàn)? Lyyf ????? 22167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 1)!1()()(????nnn hnMLxx ?? 1)()!1(1 ???nLhnLM)!1( 1 ??? n 3?n0)(0 ?x? ? ?? x dxxxx02021 )]([)( ??33x?? ?? x dxxxx 0 2122 )]([)( ?? ? ?? x dxxx0 262 ]3[ 63373 xx??? ?? x dxxxx 0 2223 )]([)( ?? ? ???? x dxxxxx01410262 ]396 918923[5953520792633151173 xxxx????167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 思考： 求方程 ，滿足條件 22 yxdxdy ?? 00 ?)(y的解的最大存在區(qū)間，即 h 的最大值。 證明下列初值問(wèn)題的解在指定的區(qū)間上存在且唯一： 210 00 1 22 ?????? xyxyy ,)(,c os)(32210 00 2 2 ???????????? xyyxy ,)(,)(???????? ? xyyey x 0 00 1 3 2 ,)(),l n ()(作業(yè) 第 1, 3, 4 ， 7題
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