16731解的存在唯一性定理和逐步逼近法existence-全文預(yù)覽
【正文】 導(dǎo)數(shù)； ),( 000 yyx ?)39。 3） 若 f (x,y)在帶域 中連續(xù)， 且對 y 滿足 Lipschitz條件，則在整個區(qū)間 中存在唯一滿足條件 的方程 的解 。 Progressive Method dxyydy ?lndxyyd?lnln1lnln cxy ??xecy2ln ?????????02yeyxecx y 167。 Progressive Method 例 3 當(dāng) Lipscitz 條件不滿足時，解也可能存在唯一。 例 2 當(dāng)連續(xù)條件不滿足時，解也可能存在唯一。 167。 Progressive Method 這條件是充分條件，而非必要條件。 證 yf?? 在 R 上連續(xù)，則在 R 上有界，記為 L 2,1 ),( ??? iRyx i 由中值定理 2121 ),(),(),( yyxfyxfyxf y ????? ?之間，在 21 yy?21 yyL ??),(),( 21 yxfyxf ?故 f(x,y) 在 R 上關(guān)于 y 滿足利普希茲條件。 ????????0022)(yyxdxdy0)(0 ?x? ? ?? x dxxxx02021 )]([)( ??? ?? x dxxxx 0 2122 )]([)( ?? ? ?? x dxxx0 262 ]3[ 63373 xx??? ?? x dxxxx 0 2223 )]([)( ?? ? ???? x dxxxxx0 1410262 ]396 918923[5953520792633151173 xxxx????33x?167。 ??????nkkkn xxxx110 )]()([)()( ????167。 Progressive Method 有 ????????? dffxx xx nn ? ??? ?0 ))(,())(,()()( 1????? dL xx n? ?? ?0)()(1? ?? xx nndxnML0)(! 0 ??10 )()!1(????nnxxnML故由數(shù)學(xué)歸納法得知對于所有的正整數(shù) n ，有下面的估計式 )( )()!1()()( 10 ????? nnn xxnMLxx ??167。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 命題２證畢 函數(shù)序列 考慮級數(shù) : )( )]()([)(10010 ???? ?????kkk hxxxxxx ???它的部分和為： ?? ? ???nknkk xxxx110 )()]()([)( ????167。 Uniqueness Theorem amp。 現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任何正整數(shù) n ，命題 2都成立。 Progressive Method 命題 2 對于所有的 () 中函數(shù) )(xn?在 hxxx ??? 00上有定義、連續(xù)，即滿足不等式 : )( )( 0 byxn ???證 明 : （只在正半?yún)^(qū)間來證明，另半?yún)^(qū)間的證明類似） ???????????? ?xx nnhxxxdfyxyx0001000))(,()()(??????當(dāng) n =1 時 , ??? xx dyfyx 0 ),()( 001 ???01 )( yx ??)( 0xxM ???? xx dyf0 ),( 0 ??bMh ???? xx dyf0 ),( 0 ??167。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Progressive Method 定理 1的證明 命題 1 設(shè) )( xy ?? 是初值問題 ???????).. .(.. .. .. .. ..)()() .. .. .. .. .,(00 yxyxfdxdy?的解的充要條件是 )( xy ?? 是積分方程 ? ????? xx hxxxdxyxfyy 0 000 ),(…… () 的定義于 hxxx ??? 00 上的連續(xù)解。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。( ) 39。 Existence amp。 Progressive Method ?本節(jié)要求 /Requirements/ ? 掌握 逐步逼近 方法的本思想 ? 深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論 167。 Uniquen
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