【正文】 amp。 即 當 n=k 時， )(xk?在 hxxx ???00也就是滿足不等式 byxk ?? 0)(????? xx kk dfyx 0 ))(,()( 01 ?????)(1 x? 在 hxxx ??? 00 上有定義 ,連續(xù) ???? xx kk dfyx 0 ))(,()( 01 ????? ??? )( 0xxM bMh ?上有定義，連續(xù)， 而當 n=k+1 時， )(1 xk ?? hxxx ??? 00 上有定義，連續(xù)。 Progressive Method x y o x0 x0+a x0a y0 y0b y0+b x0h x0+h ?? xx dfy 0 00 ???? ))(,(00 )( yx ?? ?)(1 x?)(1 x?)(1 x?167。 Progressive Method 反之，如果 )( xy ?? 是 () 的連續(xù)解，則有： hxxxdxxxfyx xx ????? ? 0000))(,()( ??……… () 微分之，得到 : ))(,()( xxfdx xd ?? ?又把 0xx ? 代入 ()，得到 : 00 )( yx ??因此， )( xy ?? 是方程 ()定義于 hxxx ???00上，且滿足初始條件 ()的解。 證明 : ?微分方程的初值問題的解滿足積分方程（ ）。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method/ ?概念和定義 ???利普希茲條件一階方程的初值問題?存在唯一性定理 ??????????????????????????25432111定理逐步逼近法的思想附注命題命題命題命題命題的證明定理定理內容提要 /Constant Abstract/ 167。 Existence amp。 Progressive Method 0 0 0 0( , , 39。 Progressive Method 二 、存在唯一性定理 定理 1 如果 f(x,y) 在 R 上連續(xù)且 關于 y 滿足利普希茲條件 , 則方程 ()存在唯一的連續(xù)解 )( xy ??定義在區(qū)間 hxx ??0, 且滿足初始條件 00 )( yx ??這里 ),(m a x),m i n(),(yxfMMbahRyx ???byyaxxR ???? 00 ,:)().... .....,( yxfdxdy ?167。 ?積分方程（ ）的連續(xù)解是微分方程的初值問題的解。 命題 1證畢 . 同理，可證在 00 xxhx ???也成立。 Existence amp。 在 167。 Uniqueness Theorem amp。 hxxx ???00命題 3證畢 167。 命題 4 證畢 167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Existence amp。 Progressive Method 0 0 0 0( , , 39。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 1)!1()()(????nnn hnMLxx ?? 1)()!1(1 ???nLhnLM)!1( 1 ??? n 3?n0)(0 ?x? ? ?? x dxxxx02021 )]([)( ??33x?? ?? x dxxxx 0 2122 )]([)( ?? ? ?? x dxxx0 262 ]3[ 63373 xx??? ?? x dxxxx 0 2223 )]([)( ?? ? ???? x dxxxxx01410262 ]396 918923[5953520792633151173 xxxx????167。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。( ) 39。 Progressive Method 4) 一階隱式方程的解的存在唯一性 定理 2 如果在點 的某一鄰域中， 對所有的變元 連續(xù)，且 存在連續(xù)的偏導數； ),( 000 yyx ?)39。 Progressive Method dxyydy ?lndxyyd?lnln1lnln cxy ??xecy2ln ?????????02yeyxecx y 167。 例 2 當連續(xù)條件不滿足時，解也可能存在唯一。 Progressive Method 這條件是充分條件，而非必要條件。 ????????0022)(yyxdxdy0