16731解的存在唯一性定理和逐步逼近法existence-wenkub
2022-10-10 19:12:38 本頁(yè)面
【正文】 一致收斂。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Progressive Method 即命題２在 n=k＋１時(shí) 也成立。 即 當(dāng) n=k 時(shí)， )(xk?在 hxxx ???00也就是滿足不等式 byxk ?? 0)(????? xx kk dfyx 0 ))(,()( 01 ?????)(1 x? 在 hxxx ??? 00 上有定義 ,連續(xù) ???? xx kk dfyx 0 ))(,()( 01 ????? ??? )( 0xxM bMh ?上有定義，連續(xù)， 而當(dāng) n=k+1 時(shí)， )(1 xk ?? hxxx ??? 00 上有定義，連續(xù)。 Existence amp。 Progressive Method x y o x0 x0+a x0a y0 y0b y0+b x0h x0+h ?? xx dfy 0 00 ???? ))(,(00 )( yx ?? ?)(1 x?)(1 x?)(1 x?167。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 反之，如果 )( xy ?? 是 () 的連續(xù)解，則有： hxxxdxxxfyx xx ????? ? 0000))(,()( ??……… () 微分之，得到 : ))(,()( xxfdx xd ?? ?又把 0xx ? 代入 ()，得到 : 00 )( yx ??因此， )( xy ?? 是方程 ()定義于 hxxx ???00上，且滿足初始條件 ()的解。 Uniqueness Theorem amp。 證明 : ?微分方程的初值問(wèn)題的解滿足積分方程（ ）。 Progressive Method 定理 1的證明 需要證明五個(gè)命題 ： ? 命題 1 求解微分方程的初值問(wèn)題等價(jià)于 求解一個(gè)積分方程 ? 命題 2 構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的逐步逼近序列 ? 命題 3 證明此逐步逼近序列一致收斂 ? 命題 4 證明此收斂的極限函數(shù)為所求 初值問(wèn)題的解 ? 命題 5 證明唯一性 167。 Uniqueness Theorem amp。 . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 4 )F x y yy x y y x y??? ???2. 利普希茲條件 函數(shù) ),( yxf 稱為在矩形域 : byyaxxR ???? 00 ,:………… () 關(guān)于 y 滿足 利普希茲 (Lipschitz)條件 ，如果存在常數(shù) L0 使得不等式 2121 ),(),( yyLyxfyxf ???對(duì)所有 Ryxyx ?),(),(21都成立。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Progressive Method/ ?概念和定義 ???利普希茲條件一階方程的初值問(wèn)題?存在唯一性定理 ??????????????????????????25432111定理逐步逼近法的思想附注命題命題命題命題命題的證明定理定理內(nèi)容提要 /Constant Abstract/ 167。167。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 0 0 0 0( , , 39。 L 稱為利普希茲常數(shù)。 Progressive Method 二 、存在唯一性定理 定理 1 如果 f(x,y) 在 R 上連續(xù)且 關(guān)于 y 滿足利普希茲條件 , 則方程 ()存在唯一的連續(xù)解 )( xy ??定義在區(qū)間 hxx ??0, 且滿足初始條件 00 )( yx ??這里 ),(m a x),m i n(),(yxfMMbahRyx ???byyaxxR ???? 00 ,:)().... .....,( yxfdxdy ?167。 Existence amp。 ?積分方程（ ）的連續(xù)解是微分方程的初值問(wèn)題的解。 Progressive Method 證 明 因?yàn)? )( xy ?? 是方程 ()的解，故有 : ))(,()( xxfdx xd ?? ?兩邊從 xx 0 到積分得到 : ? ????? xx hxxxdxxxfxx 0 000 ))(,()()( ???把 ()代入上式 ,即有 : hxxxdxxxfyx xx ????? ? 0000))(,()( ??因此 , )( xy ?? 是積分方程在 hxxx ???00上的連續(xù)解 . 167。 命題 1證畢 . 同理，可證在 00 xxhx ???也成立。 Progressive Method 現(xiàn)在取 00 yx ?)(? ，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下 : )())(,()()(0001000?????
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