16731解的存在唯一性定理和逐步逼近法existence(存儲版)
【正文】 3, 4 ， 7題 。 Progressive Method 例 4 方程 定義在矩形域 , 11 ,11 : ?????? yxR22 yxdxdy ??試確定經(jīng)過點 (0,0) 的解的存在區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真 正解的誤差不超過 的近似解的表達式。,( ?yyxF),( yxfy ?? ),(00 yxyyFFyf??????? 在 鄰域內(nèi)連續(xù)，在以 ),(00 yx ),( 00 yx為中心的某一閉矩形區(qū)域 D 中有界，所以 f(x,y) 在 D 中關(guān)于 y 滿足 Lipschitz條件。,( yyx0),( ) 000 ??yyxFb0),( ) 000 ??? ?? y yyxFc則上述初值問題的解在 的某一鄰域存在。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 yf?? 在 R 上 存在且有界 f(x,y) 在 R 上關(guān)于 y 滿足利普希茲條件。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 為此，從 00 )( yx ?? ? ????xx nn ndfyx 0 )1())(,()( 10 ???????? xx dfyx 0 ))(,()( 0 ?????進行如下的估計 ? ???? xx xxMdfxx 0 )())(,()()( 00 ??????167。 hxxx ??? 00167。 Progressive Method 設(shè)對于正整數(shù) n , 不等式 nnnn xxnMLxx )(!)()( 011 ???????成立， ????????? dffxx xx nnnn ? ?? ???0))(,())(,()()( 11????? dL xx nn? ???0)()( 1? ?????? xx nnnnxxnMLdxnML0100 )()!1()(! ??于是，由數(shù)學(xué)歸納法得到：對于所有的正整數(shù) k，有如下的估計 : )()(!)()( 00011 hxxxxxkMLxx kkkk ??????????167。 由數(shù)學(xué)歸納法得知命題２對于 所有 n 均成立。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 現(xiàn)在取 00 yx ?)(? ，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下 : )())(,()()(0001000????????????? ?xx nnhxxhxdfyxyx???????? xx dfy 0 00 ???? ))(,(00 )( yx ???)(1 x??? xx dfy 0 10 ???? ))(,(?)(2 x???? ?? xx n dfy 0 10 ???? ))(,(?)( xn?167。 Progressive Method 證 明 因為 )( xy ?? 是方程 ()的解，故有 : ))(,()( xxfdx xd ?? ?兩邊從 xx 0 到積分得到 : ? ????? xx hxxxdxxxfxx 0 000 ))(,()()( ???把 ()代入上式 ,即有 : hxxxdxxxfyx xx ????? ? 0000))(,()( ??因此 , )( xy ?? 是積分方程在 hxxx ???00上的連續(xù)解 . 167。 Existence amp。 L 稱為利普希茲常數(shù)。 Uniqueness Theorem amp。167。 Existence amp。 . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 4 )F x y yy x y y x y??? ???2. 利普希茲條件 函數(shù) ),( yxf 稱為在矩形域 : byyaxxR ???? 00 ,:………… () 關(guān)于 y 滿足 利普希茲 (Lipschitz)條件 ，如果存在常數(shù) L0 使得不等式 2121 ),(),( yyLyxfyxf ???對所有 Ryxyx ?),(),(21都成立。 Progressive Method 定理 1的證明 需要證明五個命題 ： ? 命題 1 求解微分方程的初值問題等價于 求解一個積分方程 ? 命題 2 構(gòu)造一個連續(xù)的逐步逼近序列 ? 命題 3 證明此逐步逼近序列一致收斂 ? 命題 4 證明此收斂的極限函數(shù)為所求 初值問題的解 ? 命題 5 證明唯一性 167。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Progressive Method 即命題２在 n=k＋１時 也成立。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Metho
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