【正文】 )(0 ?x? ? ?? x dxxxx02021 )]([)( ??? ?? x dxxxx 0 2122 )]([)( ?? ? ?? x dxxx0 262 ]3[ 63373 xx??? ?? x dxxxx 0 2223 )]([)( ?? ? ???? x dxxxxx0 1410262 ]396 918923[5953520792633151173 xxxx????33x?167。 Progressive Method 有 ????????? dffxx xx nn ? ??? ?0 ))(,())(,()()( 1????? dL xx n? ?? ?0)()(1? ?? xx nndxnML0)(! 0 ??10 )()!1(????nnxxnML故由數(shù)學(xué)歸納法得知對(duì)于所有的正整數(shù) n ，有下面的估計(jì)式 )( )()!1()()( 10 ????? nnn xxnMLxx ??167。 Uniqueness Theorem amp。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 命題 2 對(duì)于所有的 () 中函數(shù) )(xn?在 hxxx ??? 00上有定義、連續(xù)，即滿足不等式 : )( )( 0 byxn ???證 明 : （只在正半?yún)^(qū)間來(lái)證明，另半?yún)^(qū)間的證明類似） ???????????? ?xx nnhxxxdfyxyx0001000))(,()()(??????當(dāng) n =1 時(shí) , ??? xx dyfyx 0 ),()( 001 ???01 )( yx ??)( 0xxM ???? xx dyf0 ),( 0 ??bMh ???? xx dyf0 ),( 0 ??167。 Existence amp。 Existence amp。 Uniqueness Theorem amp。( ) 39。 Progressive Method ?本節(jié)要求 /Requirements/ ? 掌握 逐步逼近 方法的本思想 ? 深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論 167。 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法 /Existence amp。 Progressive Method 一 、概念與定義 /Concept and Definition/ 1. 一階方程的初值問(wèn)題 (Cauchy problem)表示 00( , ) .. .. .. .. .. .. .. .. .( 3 .1 .1 )( ) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .( 3 .1 .2 )dyf x ydxxy?????? ??167。 167。 Uniqueness Theorem amp。 Existence amp。 Existence amp。 Progressive Method 即命題 2 當(dāng) n=1 時(shí)成立。 命題３ ? ?)(xn?在 hxxx ???00上是一致收斂的。 Existence amp。 Existence amp。 Existence amp。 Progressive Method 因此，在 hxxx ???00上有 : )( )!1()()( 1???? nnn hnMLxx ??1)!1(??nn hnML 是收斂級(jí)數(shù)的公項(xiàng) , 故 ??n 時(shí) 0)!1(1 ???nn hnML因而 ? ?)(xn?在 上一致收斂于 hxxx ???00)(x?根據(jù)極限的唯一性， hxxxxx ???? 00)()( ??即得 : 命題 5證畢 綜合命題 15，即得到存在唯一性定理的證明。 Progressive Method 附 注 /Remark/ 1）如果在 R 上 fy??存在且連續(xù) , 則 f (x,y) 在 R上關(guān)于 y 滿足利普希茲條件，反之不成立。 yf?? 在 R 上 存在且無(wú)界 f(x,y) 在 R 上關(guān)于 y 不滿足利普希茲條件。 Uniqueness Theorem amp。 Progressive Method 例 4 設(shè)方程 ()為線性方程 )()( xQyxpdxdy ??則當(dāng) P(x),Q(x) 在區(qū)間 上連續(xù)，則 由任一初值 ],[ ??],[),( 000 ???xyx 所確定的解在整個(gè)區(qū)間 ],[ ??上都存在。 0x167。 由解的存在唯一性定理， ???????00 )(),(yxyyxfdxdy 的解 y(x) 存在唯一， 存在區(qū)間中的 h 可足夠小。 解 2m a x 22),( ??? ? yxM Ryx 21)21,1m i n(),m i n( ??? Mbah滿足解的存在唯一性定理的條件 Lipschitz 常數(shù)取為 L=2 ， 因?yàn)? Lyyf ????? 22167