第六節(jié)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)-資料下載頁(yè)
2024-09-28 13:13本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】即得形如函數(shù)的展開式.問題是否存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以為和函數(shù)?且泰勒系數(shù)是唯一的,所以)(xf的展開式是唯一的.泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f?在點(diǎn)的麥克勞林級(jí)數(shù).nfn在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),且。該級(jí)數(shù)在內(nèi)和函數(shù)可見.0)(?除外,的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于.0?可展成點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù).0x. 例2將展開成冪級(jí)數(shù).xxfsin)(?
【正文】 ???????????????? nn xnnxxxx雙階乘 21,1 ????當(dāng) 時(shí) ,有 根據(jù)唯一性 , 利用常見展開式 , 通過變量代換 ,四則運(yùn)算 , 恒等變形 , 逐項(xiàng)求導(dǎo) , 逐項(xiàng)積分等方法 ,求展開式 .從而可以得到以下幾個(gè)常見的展開式 : ?? ???????? )!2()1(!41!211c o s242nxxxx nn),( ?????x??? ?????????)!12()1(!51!31s in 1253nxxxxx nn)(s i nc o s ?? xx由 例 4 將 展開成 冪級(jí)數(shù) . x 21 1)( xxf ??解 )11(,111 2 ?????????? xxxxxn ???把 換成 得 x 2x?,)1(11 1 2422 ?? ????????? nn xxxx)11( ??? x例 5 將 展開成 冪級(jí)數(shù) . x )1l n ()( xxf ??解 ,)1(111 2 ??? ????????nn xxxx)11( ??? x將上式從 到 逐項(xiàng)積分 ,得 0 x?? ??????? ? nxxxxnn 132 )1(3121? ??? x xdxx 0 1)1l n ()11( ??? x例 6 將 展開成 冪級(jí)數(shù) . 3?x 231)( 2 ??? xxxf2111231)(2 ??????? xxxxxf解 531151431141????????xx而 ?? ?????????? nn xxx )4 3()1()4 3(4 31 24311??x 711|43| ?????? xx?? ?????????? nn xxx )5 3()1()5 3(5 31 25311??x 821|53| ?????? xx231)(2 ???? xxxf????? ????011 )3](5141[)1(nnnnn x)71( ??? x
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