函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開-資料下載頁(yè)
2025-05-16 02:09本頁(yè)面
【正文】 ”。例9 求ln的冪級(jí)數(shù)展開( 到x4 )，其中函數(shù)應(yīng)理解為f (x) = 解 首先，利用sin x的冪級(jí)數(shù)展開，可以得到 = 。令u = 代入ln (1 + u) = u ，即得ln = () ()2 + … = 。利用例9，我們可以得到一些有趣的結(jié)果。在前面我們已得到等式 = ,兩邊取對(duì)數(shù)，再分別將ln展開成冪級(jí)數(shù)，ln = = 。將上式與本例中的結(jié)果相比較，它們的x2系數(shù)，x4系數(shù)都對(duì)應(yīng)相等，于是就得到等式 = , = 。如果我們?cè)谟?jì)算時(shí)更精細(xì)些，也就是將ln的冪級(jí)數(shù)展開計(jì)算到x6，x8，…，還可以獲得，…的精確值。注意點(diǎn)1． 如果 在鄰域的冪級(jí)數(shù)展開存在，則冪級(jí)數(shù)必然是它在 x0 的Taylor級(jí)數(shù)（*）；但反之則不然。事實(shí)上，我們舉出過(guò)在 任意階可導(dǎo)的函數(shù)，它在的Taylor級(jí)數(shù)并不收斂于。但一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于有解析表達(dá)式的初等函數(shù)，只要它在 任意階可導(dǎo)，則它在的Taylor級(jí)數(shù)就是它在鄰域的冪級(jí)數(shù)展開。2． 要讓學(xué)生知道，遇到求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開問(wèn)題，不要首先想到用（*）式。事實(shí)上，上面我們介紹的求冪級(jí)數(shù)展開的一些方法，比起直接利用公式（*）來(lái)都要方便，而學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)如何在上述方法中選擇一種最方便最快捷的方法。3． 一般來(lái)說(shuō)，利用“待定系數(shù)法”與“代入法” 求冪級(jí)數(shù)展開，我們往往只能求出冪級(jí)數(shù)的初始幾項(xiàng)，而不易求出冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，也不易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。但是對(duì)于許多具體問(wèn)題，只要求出冪級(jí)數(shù)的初始幾項(xiàng)就夠了，例如例9中的問(wèn)題。關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，等學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)變函數(shù)課程后就很容易確定。 6
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