【正文】 車輛通過路口。那么，黃燈應(yīng)該亮多長時(shí)間呢？ [教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) ] 利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，來建立解決這些實(shí)際問題的模型。 [練習(xí)實(shí)驗(yàn)題 ] 一容器內(nèi)盛入鹽水 100 升，含鹽 50 克，然后將 2 克 /升的鹽水流入容器內(nèi)，流量為 3升 /秒；設(shè)流入鹽水與原有鹽水?dāng)嚢瓒删鶆虻幕旌衔?。同時(shí)，此混合物又以 2升 /秒的流量流出，試求出在 30秒時(shí)，容器內(nèi)所含的鹽量。 若以同樣的流量放進(jìn)的是 淡水，則 30秒時(shí)，容器內(nèi)還剩下多少鹽。 第 6 章 隨機(jī)模型 [教學(xué)目的和要求 ] 通過對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察和分析，找出隨機(jī)事件發(fā)生的概率，構(gòu)造一些統(tǒng)計(jì)量；結(jié)合一些實(shí)例來說明處理隨機(jī)現(xiàn)象的一些方法，并讓學(xué)生了解這些方法。 [教學(xué)內(nèi)容 ] 問題 賭博問題 均勻正方體骰子的六個(gè)面分別刻有 1， 2， 3， 4， 5， 6的字樣，將一對(duì)骰子拋 25次決定勝負(fù)。問將賭注押在“至少出現(xiàn)一次雙六”或“完全不出現(xiàn)雙六”的哪一個(gè)上面有利。 Banach火柴盒問題 波蘭數(shù)學(xué)家 Banach 隨身帶著兩盒火柴，分別放在兩個(gè)衣袋里，每盒有 n 根火柴， 每次使用時(shí)，便隨機(jī)地從其中一盒中取出一根。試求他將其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根數(shù)的分布規(guī)律。 信與信封的匹配問題 某人給他的 N個(gè)朋友寫信，寫好分別將這些信放入 N個(gè)信封中，并在每一個(gè)信封上分別任意不重復(fù)地寫上 N個(gè)收信人中的一個(gè)地址。問他一個(gè)都沒有寫正確和恰好有 r個(gè)寫正確的可能性分別是多少？ 供電問題 設(shè)某車間有 200臺(tái)車床相互獨(dú)立的工作，由于經(jīng)常需要檢修、測量、調(diào)換刀具、變換位置等種種原因需要停機(jī)。若每太車床有 60%的時(shí)間在開動(dòng)，而每臺(tái)車床在開動(dòng)時(shí)需耗電1kW，問應(yīng)供給這個(gè)車間多少電力才能 保證在 8h生產(chǎn)中大約僅有半分鐘因電力不足而影響生產(chǎn)。 釣魚問題 為了估計(jì)湖中的魚的數(shù)量，先從湖中釣出 r條魚做上記號(hào)后又放回湖中，然后再從湖中釣出 S條魚，結(jié)果發(fā)現(xiàn) S條中有 x條魚標(biāo)有記號(hào)。問應(yīng)該如何估計(jì)湖中魚的數(shù)量 N ? 報(bào)童的策略 報(bào)童每天清晨從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣掉的報(bào)紙退回。每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為b 元，零售價(jià)為 a 元，退回價(jià)為 c 元， ab ab 元，退回一份報(bào)紙賠 bc元。報(bào)童每天如果購進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣時(shí)會(huì)少賺錢，如果購進(jìn)的太多賣不出去時(shí)要賠錢。試為報(bào)童籌劃每天應(yīng)該如 何確定購進(jìn)的報(bào)紙數(shù)使收益最大。 機(jī)器任務(wù)分配 某工廠用 200臺(tái)機(jī)器來加工兩種零件，需要安排 4周完成任務(wù)。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)知道：機(jī)器加工第一種零件，一周后損壞的概率是 1/9；加工第二種零件，一周后的損壞率為1/10。如果機(jī)器加工第一種零件一周的收益為 90元，加工第二種零件一周的收益為 元。問怎樣分配機(jī)器的任務(wù)，才能使總的收益最大？ 設(shè)備的維修更換 由于種種預(yù)想不到的原因，設(shè)備會(huì)突然發(fā)生故障，并需要立即更換機(jī)件。由于故障發(fā)生的隨機(jī)性，故障后的實(shí)際更換費(fèi)用比預(yù)防性更換費(fèi)用要多。為了減少故障發(fā)生的次數(shù)， 應(yīng)按規(guī)定的時(shí)間間隔進(jìn)行預(yù)防性更換，間隔期越短，更換所需要的費(fèi)用也就越多?，F(xiàn)在的問題是：如何確定預(yù)防性更換的最優(yōu)間隔期，使得預(yù)防更換所花的費(fèi)用與更換后減少故障所取的經(jīng)濟(jì)效益綜合平衡，使設(shè)備在單位時(shí)間內(nèi)的預(yù)期更換費(fèi)用最低？ 排隊(duì)問題 某超市有一個(gè)收款太，已知顧客到收款臺(tái)和服務(wù)的時(shí)間都是隨機(jī)的，顧客按 Poisson流到達(dá)，平均每小時(shí)到達(dá) 20 人，收款時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每個(gè)顧客需要 。試求該收款機(jī)服務(wù)員空閑的概率、服務(wù)臺(tái)前排隊(duì)顧客的期望值和每個(gè)顧客等待時(shí)間的期望值。 測 16名成年女子的身高 與腳長所得數(shù)據(jù)如下： 身高（ cm） 143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164 腿長（ cm） 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102 試研究這些數(shù)據(jù)之間的規(guī)律。 [教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) ] 處理隨機(jī)現(xiàn)象的一些基本方法。 [練習(xí)實(shí)驗(yàn)題 ] 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題 10上機(jī)實(shí)現(xiàn) 第 7 章 規(guī)劃模型 [教學(xué)目的和要求 ] 了解線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的基本概念和算法，結(jié)合實(shí)際問題讓學(xué)生學(xué)會(huì)優(yōu)化問題的建模方法。 規(guī)劃模型 [教學(xué)目的和要求 ] 了解線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的基本概念和算法，結(jié)合實(shí)際問題讓學(xué)生學(xué)會(huì)優(yōu)化問題的建模方法。 [教學(xué)內(nèi)容 ] 在眾多實(shí)際問題中，常常要求決策（確定）一些可控制量的值，使得相關(guān)的量（目標(biāo)）達(dá)到最佳（最大或最?。＿@些問題就叫優(yōu)化問題，通常需要建立規(guī)劃模型進(jìn)行求解。稱這些可控制量為決策變量，相關(guān)的目標(biāo)量為目標(biāo)函數(shù)；一般情況下，決策變量 x的取值是受限制 的，不妨記為 x?? ， ? 稱為可行域，優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 Mix(或 Min)f(x), x?? 一般情況下， x是一個(gè)多元變量， f(x)為多元函數(shù)，可行域比較復(fù)雜，一般可用一組不等式組來表示，這樣規(guī)劃問題的一般形式為 ()xMinf x . ( ) 0 , 1 , 2 , ,ist g x i m?? 雖然，該問題屬于多元函數(shù)極值 問題，但變量個(gè)數(shù)和約束條件比較多，一般不能用微分法進(jìn)行解決，而通過規(guī)劃方法來求解；這里討論的不是規(guī)劃問題的具體算法，主要是討論如何將一個(gè)實(shí)際問題建立優(yōu)化模型，并利用優(yōu)化軟件包進(jìn)行求解。 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)是否為線性，將規(guī)劃模型分為線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃。 1． 線性規(guī)劃 線性規(guī)劃問題很多，最具代表性的有投資問題、配料問題、生產(chǎn)計(jì)劃安排問題、勞動(dòng)力安排問題、運(yùn)輸問題等。 例 1 某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn) 2兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的設(shè)備臺(tái)時(shí)和 A、 B兩種原材料的消耗以及資源的限制情況 材料的消耗以及資源的 限制表 產(chǎn)品 1 產(chǎn)品 2 資源限制 設(shè)備 1 1 300臺(tái)時(shí) 原料 A 2 1 400kg 原料 B 0 1 250kg 該工廠每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品 1可獲利 50元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品 2可獲利 100元，問工廠應(yīng)生產(chǎn)多少個(gè) 1產(chǎn)品和 2產(chǎn)品使工廠獲利最大。 12( ) 5 0 1 0 0M axf x x x?? 12123123002 40 0.2500, 0xxxxstxxx???? ???? ??? ??? Matlab函數(shù)調(diào)用的標(biāo)準(zhǔn)形式 模型 12( ) 50 100M inf x x x? ? ? Ax b? .Aeqx beq? lb x ub?? 語法： X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 程序： f=[50 100]’ 。 A=[1 1。2 1。0 1]。 b=[300 400 250]’。 lb=[0 0]’ 。 [X,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 計(jì)算結(jié)果 X=[50,250], fval =27500 例 2 某商業(yè)集團(tuán)公司在 1 2 3,A A A 三地設(shè)有倉庫，它們分別庫存 40， 20， 40個(gè)單位質(zhì)量的貨物，而其零售商店分布在地區(qū) , 1, ,5iBi? ，它們需要的貨物量分別是 25， 10， 20，30， 15個(gè)單位質(zhì)量。產(chǎn)品從 iA 到 jB 的每單位質(zhì)量裝運(yùn)費(fèi)列于下表： 1B 2B 3B 4B 5B 1A 55 30 40 50 40 2A 35 30 100 45 60 3A 40 60 95 35 30 試建立裝運(yùn)費(fèi)最省的調(diào)運(yùn)方案的數(shù)學(xué)模型 . 設(shè) ijx 表示從第 i個(gè)倉庫到第 j個(gè)商店 的運(yùn)量； ija 表示從第 i個(gè)倉庫到第 j個(gè)商店的單位運(yùn)量的運(yùn)費(fèi)； ib 表示第 i個(gè)倉庫的庫存量； jc 表示第 j個(gè)商店的需求量庫存量； 建立規(guī)劃模型如下： 5311m in ij ijjiQ a x??? ?? 51311 , 2 , 3. 1 , 2 , 3 , 4 , 50 1 , 2 , 3 , 4 , 5 。 1 , 2 , 3ij ijij jiijx b is t x c jx j i????????????? ? ? ????? 例 3 p83 2．非線性規(guī)劃 [教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) ] 線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的基本概念和算法，優(yōu)化問題的建模方法。 非線性規(guī)劃模型在實(shí)際中的應(yīng)用及其廣泛，但其計(jì)算也非常困難，至盡還沒有一種非常有效的通用的方法，常用的方法主要有：剃度法、牛頓迭代法、最速下降法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等，這里我們主要任務(wù)是討論如何建立非線性規(guī)劃模型，并利用 matlab 優(yōu)化軟件包進(jìn)行計(jì)算。 在建立規(guī)劃模型時(shí)，首先要確定決策變量和目標(biāo)函數(shù)。 例 1 求側(cè)面積為 150m2的體積最大的長方體的體積。 解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為 1 2 3,x x x 建立模型如下 1 2 3max z x x x? 1 2 2 3 1 3. 2( ) 150st x x x x x x? ? ? Matlab計(jì)算程序： 編一個(gè) M文件為 Function f=myfun(x) f=x(1)*x(2)*x(3)。 編一個(gè) M文件為 Function [c,ceq]=myfunc(x) ceq=x(1)*x(2)+ x(2)*x(3)+ x(1) *x(3)75。 給定初值 x0=[4 5 6]。 lb=zeros(3 1) 調(diào)用函數(shù)為 [x,fval]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],lb,[], @myfunc) 計(jì)算結(jié)果： X=[5,5,5],fval=125. 例 2 假設(shè)市場上只有兩只股票 A,B 可供選擇，且該投資者對(duì)未來一年的股票市場進(jìn)行了分析，認(rèn)為市場只能出現(xiàn)兩種可能的情況（ 1和 2），此外，該投資者對(duì)每種情況出現(xiàn)的概率、每種情況出現(xiàn)時(shí)兩只股票的增值情況進(jìn)行了預(yù)測分析（見表），該投資者是一位非常保守的人，其投資目標(biāo)是使兩種情況下最小的收益最大化，如何建立模型，并進(jìn)行 求解？ 解：設(shè)年初投資 A,B股票的比例分別為 x1,x2。 目標(biāo)函數(shù)為： max(min(x(1)+*x(2),*x(1)+*x(2))) 限制條件為： x1+x2=1。x1,x2=0 Matlab計(jì)算： 建立 M文件 function f=myfun1(x) f=min([x(1)+*x(2),*x(1)+*x(2)])。 函數(shù)調(diào)用： x0=[ ]39。 lb=zeros(0,1)。 aeq=[1 1]。 beq=[1]。 [x,fval]=fmincon(@myfun1,x0,[],[],aeq,beq,lb) 計(jì)算結(jié)果： x = [， ] fval = 例 3 河流供水問題：供水損耗率與距離平方成反比，試給出最佳的供水方案。 [教學(xué)重點(diǎn)與難