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大數(shù)定理與正態(tài)分布-資料下載頁(yè)

2025-05-15 01:45本頁(yè)面
  

【正文】 ?? ?? ???? ?? 020 2222)(2dtedzzeZE tz?????222)1(22 ????101)]([)()(),(1,02222????????ZEDZZEZEZEDZEZ 即:求由已知?21)]([)()()(][2222????????ZEZEZDYXDEXEXDX由方差的均值公式:五、中心極限定理 : 大數(shù)定理告訴我們,隨機(jī)變量個(gè)數(shù)很大時(shí),獨(dú)立隨機(jī)變量之和收斂于其均值的和。此時(shí),獨(dú)立隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)變量的概率分布應(yīng)是什么狀態(tài)?中心極限定理告訴我們,變量個(gè)數(shù)很大時(shí),和的分布依概率收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 設(shè)隨機(jī)變量之和為 : ,1???niin XY且數(shù)學(xué)期望和方差都存在: , , , , .? ? ? ? ? ? ? ? ?2( ) ( ) 0 1, 2,i i i iEX μ D X i n? ?設(shè)隨機(jī)變量 ?????? ,21 nXXX相互獨(dú)立 , ?)( nYE ?()nDY則 ,?1nii=μ ? 21?nii=.n? 2s?? ?1() 1 ()()nnnn i ii=nnY E YZ X μsDY則和的標(biāo)準(zhǔn)變量為: 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量 ?????? , 21 nXXX有 ,? ??? ? 2211lim ( ) ( ) 0?? inniix μ sninx μ f x d xs?()ifx其中 iX是隨機(jī)變量 的概率密度 , 若對(duì)于任意的正數(shù) , ?滿足林德伯格條件則稱 ?? nXXX , 211)(,0)( ?? nn ZDZE即具體不去證明。限。小不影響整體求和的極很大時(shí)部分項(xiàng)的由于很即非常小,所以都趨于和的每一項(xiàng)它是說(shuō)條件式子中林德伯格條件的意義:n0?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 則當(dāng) 時(shí), ??n? ??? ?2 21lim ,2 πtznn P Z z e d t?? ?有 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量 ?????? , 21 nXXX 滿足林德伯格條件 : 有 ,? ??? ? 2211lim ( ) ( ) 0?? inniix μ sninx μ f x d xs?()ifx其中 是隨機(jī)變量 的概率密度 , iX即對(duì)于任意的正數(shù) , ?????????????21 2()1li m ,2 πntiizi=nnX μP z e dts ???(z 為任意實(shí)數(shù) ) 即 林德伯格定理長(zhǎng)一些,我們不去證明,這里只解釋它的意義: 時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)個(gè)變量和的標(biāo)準(zhǔn)變量氏條件,則個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量滿足林要林德伯格定理指出,只????? nYYEYznnnnn)()(?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 列維定理 服從相同的分布, 并且有數(shù)學(xué)期望和方差: .,2,1,0)(,)( 2 ???????????? niXDXEii則當(dāng) 時(shí), ??n,21lim 212???????????????????????ztniindteznnXP??? (z 為任意實(shí)數(shù) ) 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量 ?????? ,21 nXXX它們和的極限分布是正態(tài)分布,即 在中心極限定理中,我們重點(diǎn)關(guān)注列維 林德伯格定理和拉普拉斯中心定理 需要熟練地記?。核?,它的條件和結(jié)論出現(xiàn)在考試題中,列維中心極限定理經(jīng)常不進(jìn)行詳細(xì)解說(shuō),但是幫助不大,我們推導(dǎo)一樣,對(duì)我們解題該定理的證明和條件的第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ????????????112=nii=Xn μxn μ xn μPn n n??? ? ??121()nii=P x X x??)1,0(~)()(,)1(121NnnXYYEYznXXXnniinnnn???????????????:即:變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí),它們的和的標(biāo)準(zhǔn)林氏條件,即存在,就說(shuō)明它們滿足,期望方差只要滿足獨(dú)立,同分布個(gè)隨機(jī)變量dtezZPzF zt? ?? ???? 2221)()(?即:)()()( 12221 212zzdtezZzP zzt?? ????? ? ?)()()( 1221 zzn nxZn nxP ?? ??????? ? ?? ?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 各次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ? ?,10 ?? pp棣莫弗 — 拉普拉斯定理 n 次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , 則有 ? ???????????????? ztnndteznpqnpYP , 2221lim?其中 z 是任何實(shí)數(shù), .1?? qp設(shè)在獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列中 , 事件 A 在 nY隨機(jī)變量 表示事件 A 在 .??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?21xn μ xn μnn? ? ???,12xx 為任意實(shí)數(shù) ?121()nii=P x X x??),(~),1,0(~)()()2(212 ???????nnNXYnnYZNnnYYYEYZniinnnnnn?????????的正態(tài)分布,即:,方差為均值為服從為標(biāo)準(zhǔn)變量,第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 n p qXDnpXEniiAXiii????)(,)(10).,2,1與方差。即分布并且有相同的均值服從相同的“立,且則這些隨機(jī)變量相互獨(dú)次數(shù),(次試驗(yàn)中發(fā)生的在第表示事件證:設(shè)隨機(jī)變量?結(jié)論成立。所以,按照列維定理,次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù):在顯然,事件 ???niin XYnA1當(dāng) n 充分大時(shí) , 變量 近似地服從正態(tài)分布 nY ? ? . n p qnpN ,由于隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ? ?, pnBnY 所以 棣莫弗 — 拉普拉斯 定理說(shuō)明 : ? ? pnB ,? 的隨機(jī) ? ? 1221 ???????? ??????????? ?????n p qnpmn p qnpmmYmpn)1,0(~ NZY n 的標(biāo)準(zhǔn)變量由于第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1211 ))((不超載的概率大于裝多少箱,才能保障理說(shuō)明每噸車(chē)最多可以運(yùn),試?yán)弥行臉O限定噸的汽車(chē)承為千克,若用最大載重量千克,標(biāo)準(zhǔn)差為平均重量品成箱包裝,假設(shè)每箱分)一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)數(shù)學(xué)三、四(555092021??.5 n噸的概率,求其中的小于等于不超載的概率即總重量方差已知且獨(dú)立,量之和,每箱重量均值分析:總重量為每箱重千克)故:千克,則由已知箱的重量,是第其中解:設(shè)(5)(,50)(,5)(50)(.,2,1,1nYDnYEXDXEniiXXYnniiiniin?????? ???千克的概率由此求不超載即態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正由列維中心極限定理,5000),1,0(?nnYNY第十二講:中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí) )5505000()5505000550())()(5000)()(()5000(1nnzzPnnnnYPYDYEYDYEYPYPnnnnnnn????????????????)2()5 505000()5000( ?? ????? n nYP n箱。即最多可以裝,求得:分布為非負(fù)不減98101000???? nnn?第十二講:中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)
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