【正文】 限。21)1()(。()()()。1)(。 設連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為 ?????????xexfx,2 1)( 222)(????? ?????? dxxf? ?? ??????? dxex22221 ???????? xt??????dtet2221?1)21(1 ??? ??? ?? ?? ?? 0 2222 dte t???）（ 21?,21,02 212dssdtst ???? 則令 dsesdte st ??? 212212? ? dsesdtedxxf st ??? ?? ???? ????????02102212222 2??第十一講 大數定理與正態(tài)分布 奇偶伽馬求正態(tài)積分三步走，標準特別地，當 時，正態(tài)分布 叫做 標準正態(tài)分布 。即：內的概率不小于－（取值在則對于任一設22211)(.11),0,)(,)(kkxPkkkxkXDXE?????????????????? 0? ???? ???? dxxfxxExD )()(])[()( 222 ??? ＝證：為密度函數，且非負。數理統(tǒng)計基礎知識； 下次上課時交作業(yè) P4142頁； 重點：正態(tài)分布的概率、期望與方差； 難點：正態(tài)分布的概率、期望與方差； covariance ? ? ? ?? ? )( )( YEYXEXE ???),( YXc o v協方差 (相關矩 ): .0),co v ( ?YXYX 獨立，則、若),c ov (2)()()()()()(),c ov (YXYDXDYXDYEXEXYEYX??????))( )(,)( )(c ov (),c ov (),( ** Y YEYX XEXYXYXR ?? ????相關系數： .1),()2( ?YXR性質定理：（ 1）相關系數的計算 : )()(),c o v (),(YDXDYXYXR ?(3)強相關定理 ,bXaY ??1),( ?YXR（證明略）時時且 .10。提示：該式方差的加法)()()()4( YDXDYXD ???),c o v (2)()()( YXYDXDYXD ????第十一講 大數定理與正態(tài)分布 1021 將一枚硬幣重復擲 n次， X 和 Y 分別表示正面向上和反面向上的次數，則 X和 Y的相關系數等于 解 ,nYX ?? ? 1),()1, ??????? YXRbnaXnY （1),(,01 ?????? YXRb?又 選 (A). (A) 1 (B) 0 (C) (D) 1. （ 2021年） 例題 1022（ 2021， 3分） 2222222222)]([)()]([)()()。 18世紀科學家發(fā)現測量的誤差具有驚人的規(guī)律性，這種規(guī)律性滿足類似于某種特殊的 “ 中間大，兩頭小 ” 的特征，現實中眾多的問題都具有這種特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究類似現象并發(fā)現了其密度和分布的數學家。30 ???? XPXPXP解 ? ?30 ?? XP ?????? ???????? ??210 213 ?? ? ? ? ? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ??? ?? 16 9 1 4 1 ??? .?? ? )1(1 ? ???? ?XP ?????? ?? 2 11 ? ? ?0 ?? .?? ?4?XP?????? ??? 2 141 ?? ?41 ??? XP ? ? ??? .??,3,2,1?k 若 , 求 X 落在區(qū)間 內的概率， ? ????? kk ?? ,其中 例題 1112 ? ?2,~ ??NX第十一講 大數定理與正態(tài)分布 解 ? ????????? kXkP ? ?????? kXP?????? ??? ? ???? k? ? 12 ?? k?查表得 ? ? ? ? 6 8 2 ????????XP? ? ? ? 9 5 4 ????????XP? ? ? ? 9 9 7 ????????XP? ? ? ? ????????XP? ? ? ?kk ??? ???????? ???????? k? ? 9 9 9 9 9 9 )5(25 ????????XP ?????????? ? ? ? ????? ???XP注意到：? ? 9 7 ?????? ??XP第十一講 大數定理與正態(tài)分布 O??21? ?xfx? ??? ?? 2? ?? 3?????? 2??? 3?拐點 拐點 隨機變量 X 落在 ? ????? 3,3 ?? 之外的概率小于 3‰ 。),c o v (),(),(),(22PrYXRrYXYXRYXC o vrNYXYXYX可參考相關教材證明繁瑣略，有興趣者分別為：與相關系數的協方差布可以證明：二維正態(tài)分?? ??????如果隨機變量 X與 Y 獨立 , 并且都服從正態(tài)分布 ,則 ? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?,第十一講 大數定理與正態(tài)分布 。未必獨立；與服從二維正態(tài)分布；一定獨立；和們不相關，則：都服從正態(tài)分布，且它和設隨機變量YXDYXCYXBYXAYX?)()(),)(()(例題 1133（ 2021，數三， 4分） CABYXYX也不成立，顯然選因此二維正態(tài)分布條件下，不相關等效獨立指在不能選，同時二維正態(tài)因此，答案服從正態(tài)分布，味著服從正態(tài)分布，并不意與分析： ),(證 ? ?? ?22221 ? ??????xX exfX 的概率密度函數為：的分布函數為（ )0???? bbXaY?????? ???? b ayfbyfb XY 1)(0 時的密度為同理求? ?? ?222221)(1)()( ? ???bbayXYY ebbayfbyFyf????????由于 bxay ?? 是單調函數，且反函數為 ,bayx ?? ,1bx y ??? ? ? ?.1,0~*,~ 2 NXXNX ? ??? ??則設推論 )()()()()( b ayFb ayXPybXaPyYPyF X ??????????則得：在如上定理中，若令 ,1, ??? ??? ba第十一講 大數定理與正態(tài)分布 ? ? ? ?22 ,~,~ yyxx NYNXYX ???? ，獨立，且與設定理 2 ? ?.,~ 22 yxyxNYXZ ???? ????則證 ? ?? ?,21 222 xxxxX exf???????的概率密度函數為與 YX? ?? ?.21 222 yyyyY eyf???????的概率密度函數為YXZ ??? ? ? ? .)( dxxzfxfzf YXZ ?? ? ????? ? ? ?dxezf yyxx xzxyxZ???????? ???????????22222121)( ???????第十一講 大數定理與正態(tài)分布 直接得結論題沒有什么幫助，下略該積分比較繁瑣且對解? ?)(2)(22222 21 yxyxzyxe ?????????????? ? niNXXXX iiin ,2,1,~, 221 ?? ?，獨立，且設 ??定理 3 ?????? ??????21211,~ ini ini iini iiccNXc ??則222)()()()()()()()(YXZYXZYDXDYXDZDYEXEYXEZEYXZ?????????????????????? 時并且態(tài)，隨機變量的和仍服從正定理表明，獨立的正態(tài)以上結論還可以推廣到更一般的情況 第十一講 大數