【正文】 即分布并且有相同的均值服從相同的“立，且則這些隨機變量相互獨次數(shù)，（次試驗中發(fā)生的在第表示事件證：設隨機變量?結(jié)論成立。此時，獨立隨機變量之和的標準變量的概率分布應是什么狀態(tài)？中心極限定理告訴我們，變量個數(shù)很大時，和的分布依概率收斂于標準正態(tài)分布。21)1()(?？谠E：正態(tài)獨立可加減第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 值。()()()/()(),(/yfxfDyfxfCyfBxfAyxfXyYYXyfxfYXYXYXYXYXYXYX??密度的條件概率的條件下，的概率密度，則在、分別表示不相關(guān)，與服從二維正態(tài)分布，且和設隨機變量獨立。獨立且都服從正態(tài)分布與充要條件是）的不相關(guān)（、變量定理：二維正態(tài)分布的YXrYXr 00 ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????????? ??????????22 22 22121 2121, yyyxyxxx yyxrxryxeryxf ???????????? ? ? ?.21)()( 222221???????? ????? yyxx yxyxYX eyfxf???????? ? ? ? ? ? 0, ?? ryfxfyxf YX ，得：由反之 , 若設 r = 0, 則得 ? ?? ? ? ????????? ?????22222121, yyxx yxyxeyxf ???????? ? ? ?222222 2121 yyxxxyyxee ?????????????? ? ? ? ?yfxf YX?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ，等效獨立。432)(,)0,0(,0),(0),()(]3,1[)()(2121?????????????????baDbaCbaBbaAbabaxxbfxxafxfxfxf）應滿足（則若均勻分布的概率密度，上的為密度，為標準正態(tài)分布的概率設1)()(,031,41)(,21)()(,0)(2212???????????????????dxxfxfxxfexxfxfx所以滿足規(guī)范性：是密度函數(shù)，因為。 通常認為這一概率很小，根據(jù)小概率事件的實際不可能性 原理，我們常把區(qū)間 ? ????? 3,3 ?? 看作是隨機變量 X 的 實際可能的取值區(qū)間這一原理叫做 三倍標準差原理 （或 3σ 法則 ）。標準積分時，關(guān)注偶奇均分，標準求口訣：正態(tài) 。他們將這種分布稱為正態(tài)分布。)())((,??????xDXExPxDxExPk???????? ：則得到切比雪夫不等式在切比雪夫定理中，令第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1031(2021，數(shù)一） _ _ _ _ _ _)2)((2??? xExPx 估計，根據(jù)切比雪夫不等式的方差為設變量2122)()2)((2)(222?????????xDxExPxD所以，由已知中，令解；在切比雪夫不等式設獨立隨機變量 ?????? ,21 nXXX并且方差是 一致有上界 的，即存在某 ,2,1,)( ???????? niKXD i 則對于任何正數(shù) ?，恒有 定理 2（切比雪夫大數(shù)定理） 分別有數(shù)學期望 ?????? ),(,),(),(21 nXEXEXE,),(,),( 2 ?????? nXDXD及方差 D(X1), 一常數(shù) K， 使得 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 1)(11lim11????????? ?? ???????niiniin XEnXnP證 )(1)1()()()(1)1()()(,1121111??????????????????niiniiniiniiniiXDnXnDXDzDXEnXnEXEzEXnXz對隨機變量)(1 11 )(11 ,1,)(1))((1221112?????????????????????????niiniiniiniiXDnXEnXnPXnXzzDzEzP???? 即：代入由切比雪夫不等式，第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 2211nnK???? .1 2?nK??所以上式：因為 ,)( KXD i ?)(1 11 )(11 12211??????????????? ?? niiniinii XDnXEnXnP ??1)1lim)(11lim 211????????? ???????? ?? ?? n KXEnXnPnniiniin （1lim,1 ?? ??? PP n即又由概率性質(zhì)1)(11lim11??????? ??? ???????niiniin XEnXnP推論視為切比雪夫不等式的該不等式可)(1 11 )(11 12211???????????????????niiniinii XDnXEnXnP ??第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ：時趨于的概率當事件若對任何正數(shù) 1, ???? naX n ??? ? 1lim ????? ?aXP nnanX n 時依概率收斂于當則稱隨機變量 ??推論： 存在 : 。()()()]([)()]([)()()。與則稱隨機變量即若 YXYEXEXYEYXR ),()()(,0),( ??(4)不相關(guān)概念 由定義容易得到不相關(guān)的幾個等價結(jié)論 。第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 本次課講授第四章第 15節(jié)，正態(tài)分布，中心極限定理； 下次課講授第四章第 5節(jié)，第五章第 14節(jié) 。0),()1( ?YXR式得到）（由相關(guān)系數(shù)的計算公。()(),YEYEXEXEDYEXECYEYEXEXEBYEXEAYXYXYX????????????（）不相關(guān)的充要條件為（與則隨機變量）的方差期望都存在，設二維隨機變量（??0),c o v (0),( ???? ?????? R不相關(guān)與分析：)()()])([(),c o v (),c o v (0 YXEYXEYXYXEYXYX ?????????? ??})]([)({)]([)(})]([)]({[)( 22222222 YEYEXEXEYEXEYXE ????????B故選第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 三、切比雪夫定理 ： 若已知一個隨機變量分布的均值與方差，那么隨機變量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年級 1000名學生線性代數(shù)課程成績的均值為 85分，我們關(guān)心的是，有多少學生的成績集中在均值附近？ （不等式）： 。,2,1,)(,)( 2 ?? niXDXE ii ??? ??11lim1????????? ????????niin XnP設獨立隨機變量 服從同一分布 ,期望及方差 nXXX , 21 ???則對于任何正數(shù) ?，有 代入即可，在切比雪夫大數(shù)定理中???nnXEnniXDXEniiii1)(1。 ??????????????21)()()()()()()()()()(1221xxxdxxfxFxFxX