【正文】 ???（）不相關(guān)的充要條件為（與則隨機變量）的方差期望都存在，設(shè)二維隨機變量（??0),c o v (0),( ???? ?????? R不相關(guān)與分析：)()()])([(),c o v (),c o v (0 YXEYXEYXYXEYXYX ?????????? ??})]([)({)]([)(})]([)]({[)( 22222222 YEYEXEXEYEXEYXE ????????B故選第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 三、切比雪夫定理 ： 若已知一個隨機變量分布的均值與方差，那么隨機變量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年級 1000名學(xué)生線性代數(shù)課程成績的均值為 85分，我們關(guān)心的是，有多少學(xué)生的成績集中在均值附近？ （不等式）： 。 ??????????????21)()()()()()()()()()(1221xxxdxxfxFxFxXxPxFxfdxxfxFxFxXPX，或且的密度與分布關(guān)系如下我們已知連續(xù)隨機變量第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ? ?., 2??N記作 其中 ? 及 ? ＞ 0都為常數(shù)，這種分布叫做 正態(tài)分布 或 高斯分布 。 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1113（ 2021， 4分） .2)(?？谠E：二維正態(tài)不相關(guān)例 1131 設(shè)隨機變量 X 與 Y 獨立 , 并且都服從正態(tài)分布 N (0, 1) , 求 22 YXZ ?? 的 概率密度 . 解 ,2 1),( 2 22 yxeyxf??? ?, 0 時當(dāng) ?z ???????zyxyxZ dxdyezF22222 21)(??? ?? ?zrr dred 0 2 20221 ? ??2 1ze ???)()( zFdzdzf ZZ ?? 0 , 00 ,21 21 ?????????zzezz xyo22 YXZ ?? ~ )2(2?? ? ? ? .0, 0 ???? zZPzFz 時當(dāng)?shù)谑恢v 大數(shù)定理與正態(tài)分布 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1132（ 2021， 4分） .)()()()。；獨立可加減，方差均二維不相關(guān)，等效獨立；標(biāo)準(zhǔn)積分時，關(guān)注偶奇；均分，標(biāo)準(zhǔn)求正態(tài) P? 正態(tài)分布需要關(guān)注和其它分布的不同點，除了分布函數(shù)與密度函數(shù)的形式不同以外，它區(qū)別于其它分布的幾個重點如下： 例題 1141(1999,3分 ) 。 設(shè)隨機變量之和為 : ,1???niin XY且數(shù)學(xué)期望和方差都存在： , , , , .? ? ? ? ? ? ? ? ?2( ) ( ) 0 1, 2,i i i iEX μ D X i n? ?設(shè)隨機變量 ?????? ,21 nXXX相互獨立 , ?)( nYE ?()nDY則 ,?1nii=μ ? 21?nii=.n? 2s?? ?1() 1 ()()nnnn i ii=nnY E YZ X μsDY則和的標(biāo)準(zhǔn)變量為： 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 設(shè)獨立隨機變量 ?????? , 21 nXXX有 ,? ??? ? 2211lim ( ) ( ) 0?? inniix μ sninx μ f x d xs?()ifx其中 iX是隨機變量 的概率密度 , 若對于任意的正數(shù) , ?滿足林德伯格條件則稱 ?? nXXX , 211)(,0)( ?? nn ZDZE即具體不去證明。小不影響整體求和的極很大時部分項的由于很即非常小，所以都趨于和的每一項它是說條件式子中林德伯格條件的意義：n0?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 則當(dāng) 時， ??n? ??? ?2 21lim ,2 πtznn P Z z e d t?? ?有 設(shè)獨立隨機變量 ?????? , 21 nXXX 滿足林德伯格條件 : 有 ,? ??? ? 2211lim ( ) ( ) 0?? inniix μ sninx μ f x d xs?()ifx其中 是隨機變量 的概率密度 , iX即對于任意的正數(shù) , ?????????????21 2()1li m ,2 πntiizi=nnX μP z e dts ???(z 為任意實數(shù) ) 即 林德伯格定理長一些，我們不去證明，這里只解釋它的意義： 時服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)個變量和的標(biāo)準(zhǔn)變量氏條件，則個獨立隨機變量滿足林要林德伯格定理指出，只????? nYYEYznnnnn)()(?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 列維定理 服從相同的分布， 并且有數(shù)學(xué)期望和方差： .,2,1,0)(,)( 2 ???????????? niXDXEii則當(dāng) 時， ??n,21lim 212???????????????????????ztniindteznnXP??? (z 為任意實數(shù) ) 設(shè)獨立隨機變量 ?????? ,21 nXXX它們和的極限分布是正態(tài)分布，即 在中心極限定理中，我們重點關(guān)注列維 林德伯格定理和拉普拉斯中心定理 需要熟練地記?。核?，它的條件和結(jié)論出現(xiàn)在考試題中，列維中心極限定理經(jīng)常不進(jìn)行詳細(xì)解說，但是幫助不大，我們推導(dǎo)一樣，對我們解題該定理的證明和條件的第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ????????????112=nii=Xn μxn μ xn μPn n n??? ? ??121()nii=P x X x??)1,0(~)()(,)1(121NnnXYYEYznXXXnniinnnn???????????????：即：變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時，它們的和的標(biāo)準(zhǔn)林氏條件，即存在，就說明它們滿足，期望方差只要滿足獨立，同分布個隨機變量dtezZPzF zt? ?? ???? 2221)()(?即：)()()( 12221 212zzdtezZzP zzt?? ????? ? ?)()()( 1221 zzn nxZn nxP ?? ??????? ? ?? ?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 各次實驗中發(fā)生的概率為 ? ?，10 ?? pp棣莫弗 — 拉普拉斯定理 n 次實驗中發(fā)生的次數(shù) , 則有 ? ???????????????? ztnndteznpqnpYP ，　2221lim?其中 z 是任何實數(shù)， .1?? qp設(shè)在獨立實驗序列中 , 事件 A 在 nY隨機變量 表示事件 A 在 .??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?21xn μ xn μnn? ? ???,12xx 為任意實數(shù) ?121()nii=P x X x??),(~),1,0(~)()()2(212 ???????nnNXYnnYZNnnYYYEYZniinnnnnn?????????的正態(tài)分布，即：，方差為均值為服從為標(biāo)準(zhǔn)變量，第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 n p qXDnpXEniiAXiii????)(,)(10).,2,1與方差。21)0()(。()()。423)(。 其概率密度為 ? ? ??????? ? xex x ,21 22??? ?1,0N1,0 ?? ?? 的密度曲線 ? ?2,??NO??21