【正文】 2222????????ZEZEZDYXDEXEXDX由方差的均值公式：五、中心極限定理 ： 大數(shù)定理告訴我們，隨機變量個數(shù)很大時，獨立隨機變量之和收斂于其均值的和。21)0()(),1,1(),1,0(????????????YXPDYXPCYXPBYXPANNYX 則：分別服從正態(tài)分布與設(shè)兩個獨立的隨機變量)2,1(~),2,1(~,?????????NYXTNYXZYXTYXZ也服從正態(tài)分布，且差均值。21)0()(。；獨立可加減，方差均二維不相關(guān)，等效獨立；標(biāo)準(zhǔn)積分時，關(guān)注偶奇；均分，標(biāo)準(zhǔn)求正態(tài) P? 正態(tài)分布需要關(guān)注和其它分布的不同點，除了分布函數(shù)與密度函數(shù)的形式不同以外，它區(qū)別于其它分布的幾個重點如下： 例題 1141(1999,3分 ) 。未必獨立；與服從二維正態(tài)分布；一定獨立；和們不相關(guān)，則：都服從正態(tài)分布，且它和設(shè)隨機變量YXDYXCYXBYXAYX?)()(),)(()(例題 1133（ 2021，數(shù)三， 4分） CABYXYX也不成立，顯然選因此二維正態(tài)分布條件下，不相關(guān)等效獨立指在不能選，同時二維正態(tài)因此，答案服從正態(tài)分布，味著服從正態(tài)分布，并不意與分析： ),(證 ? ?? ?22221 ? ??????xX exfX 的概率密度函數(shù)為：的分布函數(shù)為（ )0???? bbXaY?????? ???? b ayfbyfb XY 1)(0 時的密度為同理求? ?? ?222221)(1)()( ? ???bbayXYY ebbayfbyFyf????????由于 bxay ?? 是單調(diào)函數(shù)，且反函數(shù)為 ,bayx ?? ,1bx y ??? ? ? ?.1,0~*,~ 2 NXXNX ? ??? ??則設(shè)推論 )()()()()( b ayFb ayXPybXaPyYPyF X ??????????則得：在如上定理中，若令 ,1, ??? ??? ba第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ? ? ? ?22 ,~,~ yyxx NYNXYX ???? ，獨立，且與設(shè)定理 2 ? ?.,~ 22 yxyxNYXZ ???? ????則證 ? ?? ?,21 222 xxxxX exf???????的概率密度函數(shù)為與 YX? ?? ?.21 222 yyyyY eyf???????的概率密度函數(shù)為YXZ ??? ? ? ? .)( dxxzfxfzf YXZ ?? ? ????? ? ? ?dxezf yyxx xzxyxZ???????? ???????????22222121)( ???????第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 直接得結(jié)論題沒有什么幫助，下略該積分比較繁瑣且對解? ?)(2)(22222 21 yxyxzyxe ?????????????? ? niNXXXX iiin ,2,1,~, 221 ?? ?，獨立，且設(shè) ??定理 3 ?????? ??????21211,~ ini ini iini iiccNXc ??則222)()()()()()()()(YXZYXZYDXDYXDZDYEXEYXEZEYXZ?????????????????????? 時并且態(tài)，隨機變量的和仍服從正定理表明，獨立的正態(tài)以上結(jié)論還可以推廣到更一般的情況 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ，方差均值。與由已知，于獨立，因此布情況下，不相關(guān)等效分析：因為二維正態(tài)分YX)()/()()/(),()/(/ xfyxfBPABPAPBAPXYX ???密度與分布同理：獨立時的等價定義：來判斷。()()?？谠E：二維正態(tài)不相關(guān)例 1131 設(shè)隨機變量 X 與 Y 獨立 , 并且都服從正態(tài)分布 N (0, 1) , 求 22 YXZ ?? 的 概率密度 . 解 ,2 1),( 2 22 yxeyxf??? ?, 0 時當(dāng) ?z ???????zyxyxZ dxdyezF22222 21)(??? ?? ?zrr dred 0 2 20221 ? ??2 1ze ???)()( zFdzdzf ZZ ?? 0 , 00 ,21 21 ?????????zzezz xyo22 YXZ ?? ~ )2(2?? ? ? ? .0, 0 ???? zZPzFz 時當(dāng)?shù)谑恢v 大數(shù)定理與正態(tài)分布 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1132（ 2021， 4分） .)()()()。),c o v (),(),(),(22PrYXRrYXYXRYXC o vrNYXYXYX可參考相關(guān)教材證明繁瑣略，有興趣者分別為：與相關(guān)系數(shù)的協(xié)方差布可以證明：二維正態(tài)分?? ??????如果隨機變量 X與 Y 獨立 , 并且都服從正態(tài)分布 ,則 ? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?,第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 。其它由題設(shè)：分析，顯然??第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ??? ???????? ??? 0 20 1 )()()(1 dxxbfdxxafdxxf即：代入規(guī)范性取值區(qū)間根據(jù)由已知 xbaxxbfxxafxf ,)0,0(,0),(0),()(21????????,1432143214202300222??????? ?????????babdxeadxbdxeaxx??)(,432 Aba 選答案故： ??二、正態(tài)分布的數(shù)字特征 ? ????? dxxxfXE )()(義：根據(jù)數(shù)學(xué)期望即均值定代入公式－的密度函數(shù)將正態(tài)分布021)(),( 222)(2?????????????? ??xexfNxdxxeXEx? ???? ??? 222)(21)( ? ??????? xtdtet t? ???? ?? 22)(21 ???????? ＝dttedte tt ?? ???? ????? ? ??? 2222 221分，后者為奇函數(shù)對稱積）（前者為區(qū)間積分加倍且分為零，而偶函數(shù)對稱注意奇函數(shù)對稱區(qū)間積?? ????第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ? ? 將正態(tài)分布密度代入由方差定義 ? ???? ?? dxxfXExXD )()()( 2 dxexXDx? ?? ?? ???? 222)(2)(21)( ? ???????? xtdtet t? ???? ? 22222 ??),(~ 2??NX021)( 22 2)( ??????????? ????xexfx??)( XE ? ? ? ?????? ?? dxxfXExXkk )()(?由中心矩公式是偶函數(shù)dtet t? ?? ??0222222?? stesdtest ??? ??2,22122 2則令22202120212)21(212)23(222222)( ????????? ????? ?? ?? ??? ????dsesdsessXD ss第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 dxexXxkk ?????? ??? 222)()(21)( ? ????????? xtdtet tkk? ???? ? 222 ??若 k 為偶數(shù)， ?????? ??212 2 kkk??? ??,6,4,2!)!1( ??? kk k?22tz?dzzekkzk? ??