【正文】 )()()( xgxfxF ?? ， 由題設(shè)有 0)()( ?? bFaF 。 又 )(),( xgxf 在 ( a , b ) 內(nèi)具有相等的最大值 , 21 xx ? , ),(, 21 baxx ? 使得 不妨設(shè)存在 ,)(m a x)( ],[1 xfMxf bax ??? )(m ax)( ],[2 xgMxg bax ???若 21 xx ? ，令 1xc ? , 則 0)( ?cF ； 例 4 64 若 21 xx ? ， 因 0)()()( 111 ??? xgxfxF ， 從而存在 ),(],[ 21 baxxc ?? ，使 0)( ?cF 。 ,0)()()( 222 ??? xgxfxF在區(qū)間 ],[],[ bcca 上分別利用羅爾定理知，存在),(),( 21 bcca ?? ?? ，使得 0)()( 21 ???? ?? FF ， 再對(duì) )( xF ? 在區(qū)間 ],[ 21 ?? 上應(yīng)用羅爾定理，知存在),(),( 21 ba?? ??? ，有 0)( ??? ?F ， 即 )()( ?? gf ????? ,)(m a x)( ],[1 xfMxf bax ??? )(m ax)( ],[2 xgMxg bax ???65 ( 數(shù)一 , 99, 6 分 ) 試證 : 當(dāng) 0?x 時(shí) , 22 )1(ln)1( ??? xxx . 題型 11：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 證 例 1 構(gòu)造輔助函數(shù) 11ln)( ???? xxxx? ， 所以 )( x? 在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加， 而 0)1( ?? ，故 2)1(21)(????xxx? 22)1(1???xxx ,0? )0( ?x當(dāng) 10 ?? x 時(shí)， 0)( ?x? ； 當(dāng) 1?x 時(shí)， 0)( ?x? ， 于是 )()1( 2 xx ?? 22 )1(ln)1( ???? xxx ,0? ),0( ???x即有 22 )1(ln)1( ??? xxx ， 0?x . 66 證法 1 對(duì)函數(shù) x2ln 在 ],[ ba 上應(yīng)用拉格朗日中值定理 ,得 設(shè) 2ee ??? ba , 證明 )(e 4lnln 222 abab ??? . 【分析】 根據(jù)所證不等式的形式 ,可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明 . .),(ln2lnln 22 baabab ????? ??? 設(shè)tttln)( ?? , 則2ln1)(ttt???? , 當(dāng) e?t 時(shí) , ,0)( ?? t? 所以 )( t? 單調(diào)減少 , 從而 )e()( 2??? ? , 即 222e2eelnln????, 故 )(e4lnln222 abab ??? . 例 2 [Ⅰ04(15)12] 67 證法 2 設(shè) xxx 22 e4ln)( ??? , 則 2e4ln2)( ???xxx? , 所以當(dāng) e?x 時(shí) , ,0)( ??? x? 從而當(dāng) 2ee ?? x 時(shí) , 2ln12)(xxx????? , 故 )( x? ? 單調(diào)減少 , )e()( 2?? ??? x 0e4e422??? , 即當(dāng) 2ee ?? x 時(shí) , )( x? 單調(diào)增加 . 因此當(dāng) 2ee ?? x 時(shí) , )()( ab ?? ? , 即 aabb2222e4lne4ln ??? , 故 )(e4lnln222 abab ??? . 設(shè) 2ee ??? ba , 證明 )(e 4lnln 222 abab ??? . 例 2 68 )(e4lnln)(222 axaxx ????? , 2ee ??? xa , 【 評(píng)注 】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為 或 )(e4lnln)(222 xbxbx ????? , 2ee ??? bx , 再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可 . 設(shè) 2ee ??? ba , 證明 )(e 4lnln 222 abab ??? . 例 2 69 (92,3 分 ) 設(shè)商品的需求函數(shù)為 PQ 5100 ?? ，其中 PQ , 分別表示需求量和價(jià)格，如果商品需求彈性的絕對(duì)值大于 1 ，則商品價(jià)格的取值范圍是 。 題型 12：導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用 解 例 1 由題意， 151005 ???PP ， 解得 20?P 或 2021 ?? P ， 而 05100 ??? PQ ，有 20?P ， 所以 P 的取值范圍是 )20,10( 。 需求彈性為 )()(PQPQP ???? ,51005PP ????70 (93,9 分 ) 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 ,)(2cbqaqqC ???需求函數(shù)為 ),(1pdeq ?? 其中 q 為需求量 ( 即產(chǎn)量 ) ， p 為單價(jià)， edcba , 都是正的常數(shù)，且 bd ? ，求 : 例 2 解 (1)利潤最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤； (2)需求對(duì)價(jià)格的彈性； (3)需求對(duì)價(jià)格彈性的絕對(duì)值為 1時(shí)的產(chǎn)量 . （ 1）利潤函數(shù)為 CpqL ??)()( 2 cbqaqqeqd ????? ,)()( 2 cqaeqbd ?????,)(2)( qaebdL ?????令 0??L ，得 )(2 ae bdq ??? ， 因?yàn)?0)(2 ?????? aeL ， 所以，當(dāng) )(2 ae bdq ??? 時(shí)，利潤最大， .)(4)( 2m ax caebdL ????71 例 2 解 (1)利潤最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤； (2)需求對(duì)價(jià)格的彈性； (3)需求對(duì)價(jià)格彈性的絕對(duì)值為 1時(shí)的產(chǎn)量 . （ 2） 所以 需求對(duì)價(jià)格的彈性為 eqdeqeqpqqp ?????? 。 ,1eq ???（ 3） 由 1|| ?? ，得 edq 2? 。 (93,9 分 ) 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 ,)(2cbqaqqC ???需求函數(shù)為 ),(1pdeq ?? 其中 q 為需求量 ( 即產(chǎn)量 ) ， p 為單價(jià)， edcba , 都是正的常數(shù)，且 bd ? ，求 : 72 (98,6 分 ) 設(shè)某酒廠有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在（假定 0?t ）就售出，總收入為0R （元）。如果窖藏起來待來日按陳酒價(jià)格出售， t 年末的總收入為tRR520e? 。假定銀行的年利率為 r ，并以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，試求窖藏多少年出售可使總收入的現(xiàn)值最大？并求 ?r 時(shí)的 t 值。 例 3 解 根據(jù)連續(xù)復(fù)利公式，這批酒在窖藏 t 年末總收入 R的現(xiàn)值為 ,e)()( trtRtA ??,e 520 tRR ?而 ,e)( 520trtRtA ??所以,0)51(edd 520 ???? rtRtA rtt 得唯一駐點(diǎn) 20 25 1 rt ? ， 73 ,0)51(edd 520 ???? rtRtA rtt 得唯一駐點(diǎn) 20 25 1 rt ? ， 而 0dd 22?t A ， 故 20 25 1 rt ? 是極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)， 即窖藏 225 1 rt ? （年）售出，總收入的現(xiàn)值最大。 當(dāng) ?r 時(shí)， 119100 ??t （年）。 74 END 75 設(shè)函數(shù) n nnxxf 31lim)( ????，則 )( xf 在 ),( ???? 內(nèi) 解 例 3 (Ⅰ05 二 4) (A) 處處可導(dǎo) . (B) 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) . (C) 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) . (D) 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) . ?????????????1 , 11 , 1 1 ,)(33xxxxxxf，時(shí)當(dāng) 1?x nnn xxxf133 )11(lim)( ?????.3x?，時(shí)當(dāng) 1?x 。11lim)( 3 ?????n nnxxf，時(shí)當(dāng) 1?x 。111l i m)( ?????nnxf所以 故 )( xf 在 1??x處不可導(dǎo)， 選 (C). 76 已知 0)1(lim2??????baxxxx, 則 ?a ___ _ , ?b ___ _ . 分析 此題實(shí)際上 是求曲線 12?? xxy 的漸近線方程 . 即曲線 12?? xxy 的漸近線方程為 1?? xy . 解法 1 )1(lim2baxxxx?????，01 )()1(l i m2?? ??????? xbxbaxax，得到???????001baa .11???????ba例 5 (Ⅱ90,3) 77 )1(lim2xxxax ????解法 2 0)1(lim2??????baxxxx,1?)1(lim2axxxbx????? xxxxx ?????? 1lim22 .1??,)(l i m x xfax ???一般，斜漸近線 求法： baxy ??.])([lim axxfb x ?? ??78 解 曲線 122?? xxy 的斜漸近線方程為 . 【 Ⅰ 05,4】 xxfax)(l i m???)12(lim2?? ?? xxxx,21?)])([lim axxfb x ?? ?? )12(2lim ????? xxx,41??所求斜漸近線方程為 .4121 ?? xy類題