【正文】 072 ??)2,3(? 6,0,12 ????? CBAACB ?2 ,072 ??? 0?A 31)2,3( ??fcalculus 最大值、最小值 區(qū)域內(nèi)任一點 若恒有不等式 則稱 為函數(shù)在 D內(nèi)的最大值 在平面區(qū)域 內(nèi)有定義 ,對于該 設(shè)函數(shù) 則稱 為函數(shù)在 D內(nèi)的最小值 ),( yxfz ? D),( yx),(),( ).1 00 yxfyxf ? Dyxp ?),( 00),( 00 yxfDyxp ?),( 00),( 00 yxf),(),( ).2 00 yxfyxf ?定義 使函數(shù)取得最值的點稱為最值點 . 最大值與最小值統(tǒng)稱為最值 . calculus 函數(shù) 在點 處取得最小值 0 在點 處取得最大值 2. 22 43 yxz ?? )0,0()0,0()(2 22 yxz ???如 函數(shù) calculus 最大值、最小值的求法 最值點只可能是以下三種類型的點： （ 1）邊界點 求出該函數(shù)在這些點上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)，則一定有最值。 設(shè)函數(shù) （ 2）駐點 （ 3）偏導(dǎo)數(shù)不存在的點 根據(jù)實際問題知函數(shù)的最值只在內(nèi)部點上取到，且只有唯一駐點 (極值點 )， 沒有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點，則此時可斷定函數(shù)在此駐點上取到最值 ),( yxfz ? Dcalculus 例 2. 在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面 ，不臨街的墻面造價 2/米元b ，屋頂造價 2/米元c設(shè)房屋容積為 3米v ，問：長、寬、高各多少 時造價最低 . aabb cxyz解 :設(shè)長、寬、高分別為 則 造價 造價 2/米元a, zyx,xyzv ? ,xyvz ?)0,0(,)11()( ?????? yxcxyyxvbacxyxyvyxba ???? ))((cxy?)( yxbz ??)( yxaz ??wcalculus 解得 答：當(dāng)長、寬均為 ，高為 時， 造價最低。 )0,0(,)11()( ?????? yxcxyyxvbaw3 )(cbavyx ???xyvz ?0)( 2 ??????? cyx bavxw 0)( 2 ?????? cxy bavyw3 22)( bavc??3 )(cbav ?3 22)( bavc?calculus 二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 求函數(shù) 在條件 下的極值。 拉格郎日乘數(shù)法： (1). 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) : (2). 聯(lián)立 解得 則點 可能為極值點 . (3). 再討論 . (根據(jù)實際問題的實際意義可以判斷 .) ),( yxfz ? 0),( ?yxg),( ),(),( yxgyxfyxL ?? ?? ?( 為常數(shù) ) ????????????????????0),(00yxgLgfLgfLyyyxxx????, yx),( yxcalculus 求函數(shù) 在條件 下的極值。 ),( yxfz ? 0),( ?yxg???????????????????????yyxxyxyxyxgfgfggffyff0)(dxdz??????????????0),(00yxggfgfyyxx??calculus 求函數(shù) 在條件 下的極值。 (1). 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) : ( 為常數(shù) ) (2). 聯(lián)立 解得 ),( zyxfw ? 0),( ?zyxg),( ),(),( zyxgzyxfzyxL ?? ?? ?????????????????????????????0),(000zyxgLgfLgfLgfLzzzyyyxxx?????, zyxcalculus aabb cxyz，屋頂造價 造價 ，不臨街的墻面造價 2/米元b 2/米元c在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面 2/米元a設(shè)房屋容積為 3米v例 2. ，問：長、寬、高各多少 時造價最低 . 再解例 在條件 下的極值 .令 , cxyzyxbazyxfw ????? ))((),(0?? xyzv)( ))((),( x y zvc x yzyxbazyxL ?????? ??聯(lián)立 , ?????????????????????????????00 ))((0 )(0 )(xyzvLxyyxbaLxzcxzbaLyzcyzbaLzyx????解得 , ,)(3 c bavyx ??? 3 22)( bavcz??calculus 167。 應(yīng)用 (經(jīng)濟決策的最值問題舉例 ) 221 I I I1 0 9 x I I I4 0 0 + 2 x + 3 y + 0 . 0 1 ( 3 x + x y + 3 y ) ( )例：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品 與 ，出售單價分別為元與 元，生產(chǎn) 單位的產(chǎn)品 與生產(chǎn)y 單位產(chǎn)品的總費用是 元求取得最大利潤時，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各多少？( , )L x y x I yII解：設(shè) 表示生產(chǎn) 單位的產(chǎn)品 與 單位的產(chǎn)品時所得的總利潤。因為總利潤等于總收入減去總費用，所以22( , ) ( 10 9 ) [ 40 0 2 3 0. 01 ( 3 3 ) ]L x y x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ? ?228 6 0 .0 1 ( 3 3 ) 4 0 0x y x x y y? ? ? ? ? ?calculus 39。39。( , ) 8 0 . 0 1 ( 6 ) 0( , ) 6 0 . 0 1 ( 6 ) 0xyL x y x yL x y y x? ? ? ? ???? ? ? ???由得駐點（1 2 0 ，8 0 ）再由 39。39。 39。39。 39。39。0 . 0 6 , 0 . 0 1 , 0 . 0 6x x x y y yA f B f C f? ? ? ? ? ? ? ? ?24 3 5 1 0 0 0B A C A?? ? ? ? ? ? ? ?而 　　且1 2 0 8 0 ( 1 2 0 , 8 0 ) 3 2 0x y L? ? ?所以，當(dāng) ， 時， 是最大值，由題意知生產(chǎn)1 2 0 件產(chǎn)品I ，8 0 件產(chǎn)品I I 時利潤最大 228 6 0 .0 1 ( 3 3 ) 4 0 0x y x x y y? ? ? ? ? ?calculus 2, , ,2 4 0 .2 1 0 0 .0 53 5 4 0 ( )PPQ P Q PC Q Q? ? ? ?? ? ?1 2 1 21 1 2 212例 ：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品同時在兩個商店銷售，銷售量分別為Q Q 售價分別為 ；需求函數(shù)分別為　　　　總成本函數(shù)為問工廠如何確定兩商店的售價，才能使獲得的總利潤最大？最大的利潤是多少？12R P Q P Q?? 12　　　　解：總收入函數(shù)為221 1 2 22 4 0 . 2 1 0 0 . 0 5P P P P? ? ? ?221 1 2 2:3 2 0 . 2 1 2 0 . 0 5 1 3 9 5L R C P P P P? ? ? ? ? ? ?總利潤函數(shù)為calculus 112232 0. 4 012 0. 1 0LPPLPP??? ? ???????? ? ?? ??利用極值存在的必要條件，得方程組1280 12 0PP??解得 ，12 8 0 1 2 0605PPL???由問題的實際意義知，當(dāng) ， 時，工廠獲得的總利潤最大，最大利潤為　　　　　　　calculus 3()( ) ( )Rxy例 ：某公司可通過電臺和報紙兩種方式為銷售商品做廣告。根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入解得 萬元 與電臺廣告費 萬元 和報紙廣告費 萬元 有如下關(guān)系。22( , ) 1 5 1 4 3 2 8 2 1 0R x y x y x y x y? ? ? ? ? ?( 1 )( 2 ) 1 5 0 0 0求： 在廣告費不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略　　總廣告費為 元時的最優(yōu)廣告策略。( , ) ( , ) ( 0 , 0 )L x y R x y x y x y? ? ? ? ?解：（1 ）這是一個無條件最值問題利潤函數(shù)為2215 13 31 8 2 10x y x y x y? ? ? ? ? ?39。39。4 8 1 3 08 2 0 3 1 0xyL x yL x yxy? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???解得 = 0 . 7 5 ( 萬元) ， = 1 . 2 5 ( 萬元)calculus 39。39。 39。39。 39。39。24 , 8 , 2016 0 4 0 ,x x x y y yA L B L C LB A C A L? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?又在點（，）有且 故函數(shù) 在（，）處取極大值，即最大值。0 . 7 51 . 2 5即在廣告費不限時最優(yōu)策略是：電臺廣告費萬元，報紙廣告費 萬元。( , )1 .5L x y x y??(2) 這是一個條件最值問題, 因為實際問題有最大值，所以也就是求條件極大值 在條件下的極大值，作拉格朗日函數(shù)：22( , , ) 1 5 1 3 3 1 8 2 1 0( 1 . 5 )F x y x y x y x yxy??? ? ? ? ? ?? ? ?　　　　　　calculus 13 8 4 031 8 20 0 0xyFF y xF x yF x y???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??39。39。39。求 的各個一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零　　　　0 , 1 . 5 ,xy??解得 即廣告費全部用于報紙廣告時利潤最大calculus )1,1,1()(),(1dfyxzyxf z 求?dydxdfzyxyxzfyxyxzyfyyxzxfzzz????????????????)1,1,1()1(ln)()()(11)(12121111練習(xí)講解 calculus 且 存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 設(shè) ? ?,u f x x y x y z? f,uuux y z???? ? ?x m nu f y f y zfx? ? ? ?? ? ??mnu x f x z fy? ?????nu xyfz? ???xuxymnz解： ,m x y n x y z??設(shè) xfxnnuxmmuxu?????????????????ynnuymmuyu??????????????znnuzu????????