第五章微分方程模型-資料下載頁
2025-08-01 13:14本頁面
【正文】 (/)()( tStRt ???? mr drtrptN 0 ),()(人口指數(shù) 1）人口總數(shù) 2）平均年齡 3）平均壽命 t時(shí)刻出生的人，死亡率按 ?(r,t) 計(jì)算的平均存活時(shí)間 4）老齡化指數(shù) 控制生育率 控制 N(t)不過大 控制 ?(t)不過高 煙霧的擴(kuò)散與消失 現(xiàn)象和 問題 炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。 不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。 建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系。 問題分析 無窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。 觀察的煙霧消失與煙霧對(duì)光線的吸收，以及儀器對(duì)明暗的靈敏程度有關(guān)。 gr a dCkq ????模型假設(shè) 1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。 2）光線穿過煙霧時(shí)光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。 3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 模型建立 1）煙霧濃度 的變化規(guī)律 ),( tzyxC熱傳導(dǎo)定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比 21 ?????????????????????222222)]([zCyCxCkg r a d Cd i vktC??? ????VdVttzyxCtzyxCQ )],(),([2? ???? ?? tttsdtdnqQ ???1 ?VSn?1Qq?流量通過 ??? ],[ ttt內(nèi)煙霧改變量??? ?????s VdVqd i vdnq ??? ?曲面積分的奧氏公式 gr a dCkq ????1）煙霧濃度 的變化規(guī)律 ),( tzyxCktzyxektQtzyxC 423222)4(),(?????),()0,( zyxQzyxC ??0,222222????????????????????????? tzyxzCyCxCktC 初始條件 Q~炮彈釋放的煙霧總量 ? ~單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù) ? 對(duì)任意 t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2。 R??C? ? 僅當(dāng) t??, 對(duì)任意點(diǎn) (x,y,z), C?0 1）煙霧濃度 的變化規(guī)律 ),( tzyxC00 )( IlI ?)()( lIlCdldI ???2）穿過煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律 光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比 方向的煙霧濃度沿方向的光強(qiáng)沿llCllI~)(~)(00 )( Ill 的光強(qiáng)為未進(jìn)入煙霧 ???? ll dssCeIlI 0 )(0)(??? ??????? 1),( dztzyxCe觀測(cè)結(jié)果為暗儀器靈敏度，當(dāng) ,1/~ 0 ?? ??II3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限 煙霧濃度連續(xù)變化 煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化 ??? ll dssCeIlI 0 )(0)(?儀器 z ? ? 設(shè)光源在 z=?, 儀器在 z=?,則觀測(cè)到的 明暗界限為 不透光區(qū)域有擴(kuò)大、縮小、消失的過程 穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 ~不透光區(qū)域邊界 tkQkttr???4ln4)( ???? ???ktyxektQ 4224? ??? ? ? adxe ax ?24）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律 ?? ??????? 1),( dztzyxCektzyxektQtzyxC 423222)4(),(?????很小）??? (??? ?????? 11ln1),( dztzyxCktyxektQdztzyxC 4224),(?????? ? ?222 ryx ??對(duì)任意 t, 不透光區(qū)域邊界是圓周 不透光區(qū)域邊界半徑 )(41最大值，eQrrekQttm ?????? ????0,42 ??? rkQtt ???r(t) rm 0 t1 t2 t tkQkttr???4ln4)( ?結(jié)果分析 112 tett ??? ?觀測(cè)到不透光區(qū)域邊界達(dá)到最大的時(shí)刻 t1，可以預(yù)報(bào)煙霧消失的時(shí)刻 t2 ?????? mrtQ , 1?? ??? tk 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) 背景 航海業(yè)發(fā)展 天文觀測(cè)精確 “地心說”動(dòng)搖 哥白尼：“日心說” 伽里略：落體運(yùn)動(dòng) 開普勒：行星運(yùn)動(dòng)三定律 變速運(yùn)動(dòng)的計(jì)算方法 牛頓：一切運(yùn)動(dòng)有力學(xué)原因 牛頓運(yùn)動(dòng)三定律 牛頓：研究變速運(yùn)動(dòng)，發(fā)明微積分（流數(shù)法） 開普勒三定律 牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律 萬有引力定律 《 自然科學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理 》 (1687) 模型假設(shè) 極坐標(biāo)系 (r,?) 太陽 (0,0) 1. 行星軌道 )1(,co s1 2222eababpe pr ????? ?a~長(zhǎng)半軸 , b~短半軸 , e~離心率 Ar ?2/2??3. 行星運(yùn)行周期 T 32 aT ??rmf ???? ?行星位置：向徑 ))(),(()( ttrtr ?? O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?2. 單位時(shí)間 掃過面積為常數(shù) A r?m ~ 行星質(zhì)量 ? ~ 絕對(duì)常數(shù) 4. 行星運(yùn)行受力 f?模型建立 O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?向徑 的基向量 r?jiujiu r??????????? c o ss i ns i nc o s?????ru??u?rurr ?? ?rruuuu?????????????????????urrurrrururrrr??????????????????)2()( 2 ??????Ar ?2/2??324,2rrArA ???? ??? ?? 02 ?? ?? ???? rrrurrr ??????? )( 2????c o s1 epr?? 32 )(4,s i n2 pr rpArpAer ??? ??? ? ruprAr ????224??rmf ???? ?rrrrprmAf ???? ???0022,4rurr ?? ?模型建立 rrrrprmAf ???? ???0022,4萬有引力定律 02 rrk M mf ?? ??需證明 4A2/p =kM （與哪一顆行星無關(guān)） A~單位時(shí)間 掃過面積 r?32 aT ??abTA ??O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?kM??? /4 2(習(xí)題 ) ? ? / / 2 2 ? p A )1(,co s1 2222eababpe pr ????? ?
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