函數(shù)模型及其應(yīng)用(2)-資料下載頁(yè)
2025-05-12 07:57本頁(yè)面
【正文】 20 a ＋ b ＝ 60 ， 解得????? a ＝－13，b ＝2003. 故函數(shù) v ( x ) 的表達(dá)式為 v ( x ) ＝????? 60 ， 0 ≤ x ≤ 20 ，13? 200 － x ? ， 20 ＜ x ≤ 200. ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ (2 ) 依題意并由 (1 ) 可得 f ( x ) ＝????? 60 x ， 0 ≤ x ≤ 20 ，13x ? 200 － x ? ， 20 ＜ x ≤ 200. 當(dāng) 0 ≤ x ≤ 20 時(shí)， f ( x ) 為增函數(shù)，故當(dāng) x ＝ 20 時(shí)，其最大值為 60 20 ＝1 200 ； 當(dāng) 20 ＜ x ≤ 200 時(shí)， f ( x ) ＝13x (2 00 － x ) ≤13??????x ＋ ? 200 － x ?22＝10 0 003，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 200 － x ，即 x ＝ 100 時(shí)，等號(hào)成立． 所以，當(dāng) x ＝ 100 時(shí)， f ( x ) 在區(qū)間 [20, 20 0] 上取得最大值10 0 003. 綜上所述，當(dāng) x ＝ 100 時(shí)， f ( x ) 在區(qū)間 [ 0, 20 0] 上取得最大值10 0 003≈ 3 33 3 ，即當(dāng)車(chē)流密度為 100 輛 / 千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為 3 333輛 / 小時(shí)． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 2．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示， ABCD是邊長(zhǎng)為 60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得 A， B， C， D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn) P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒， E， F在 AB上是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè) AE＝ FB＝ x cm. (1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積 S(單位： cm2)最大，試問(wèn)： x應(yīng)取何值？ (2)若廠商要求包裝盒的容積 V(單位： cm3)最大，試問(wèn)： x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 解析 ： (1 ) 根據(jù)題意有 S ＝ 602－ 4 x2－ (6 0 － 2 x )2＝ 240 x － 8 x2＝－ 8( x －15)2＋ 1 800( 0 x 30 ) ， 所以 x ＝ 15 c m 時(shí)，包裝盒側(cè)面積 S 最大． (2 ) 根據(jù)題意有 V ＝ ( 2 x )222(6 0 － 2 x ) ＝ 2 2 x2( 30 － x )(0 ＜ x ＜ 30) ． 而 V ′ ＝ 6 2 x (2 0 － x ) ，當(dāng) 0 ＜ x ＜ 20 時(shí)， V ′ ＞ 0 ， V 單調(diào)遞增；當(dāng) 20＜ x ＜ 30 時(shí)， V ′ ＜ 0 ， V 單調(diào)遞減．所以當(dāng) x ＝ 20 時(shí)， V 取極大值也是最大值． 此時(shí)，包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為22? 60 － 2 x ?2 x＝12，即 x ＝ 20 時(shí)，包裝盒容積 V 最大，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為12. ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 高考預(yù)測(cè) 1． (2021華南師大附中綜合測(cè)試 )某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為 250萬(wàn)元，每生產(chǎn) x千件，需另投入成本為 C(x)，當(dāng)年產(chǎn)量不足 80千件時(shí)， C(x)＝ x2＋ 10x(萬(wàn)元 )；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)， C(x)＝ 51x＋ － 1 450(萬(wàn)元 )．通過(guò)市場(chǎng)分析，若每件售價(jià)為 500元時(shí)，該廠當(dāng)年生產(chǎn)該產(chǎn)品能全部銷(xiāo)售完． (1)寫(xiě)出年利潤(rùn) L(x)(單位：萬(wàn)元 )關(guān)于年產(chǎn)量 x(單位：千件 )的函數(shù)解析式． (2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？ 1310000x◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 解析： (1 ) 每生產(chǎn) x 千件產(chǎn)品，收益為 1 0 00 x ＝ 50 x 萬(wàn)元，由已知可得： L ( x ) ＝ 50 x － C ( x ) － 250 ＝ ????? －13x2＋ 40 x － 250 ， 0 ＜ x ＜ 80 ，1 20 0 －??????x ＋10 0 00x ， x ≥ 80. ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ (2 ) 當(dāng) 0 ＜ x ＜ 80 時(shí)， L ( x ) ＝－13( x － 60)2＋ 950. ∴ 當(dāng) x ＝ 60 時(shí)， L ( x ) 取得最大值 L ( 60 ) ＝ 950( 萬(wàn)元 ) ； 當(dāng) x ≥ 80 時(shí)， L ( x ) ＝ 1 20 0 －??????x ＋10 0 00x≤ 1 200 － 2 x 10 0 00x＝1 00 0( 萬(wàn)元 ) ， 當(dāng)且僅當(dāng) x ＝10 0 00x，即 x ＝ 100 時(shí)， L ( x ) 取得最大值 L (1 00 ) ＝ 1 000＞ 950. 綜上所述，當(dāng) x ＝ 100 即年產(chǎn)量為 100 千件時(shí)， L ( x ) 取得最大值，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，為 1 0 00 萬(wàn)元． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 2． (2021徐州市調(diào)研 )據(jù)環(huán)保部門(mén)測(cè)定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例系數(shù)為 k(k0)．現(xiàn)已知相距 18 km的 A， B兩家化工廠 (污染源 )的污染強(qiáng)度分別為 a， b，它們連線上任意一點(diǎn) C處的污染指數(shù) y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和．設(shè) AC＝ x km. (1)試將 y表示為 x的函數(shù)； (2)若 a＝ 1，且當(dāng) x＝ 6時(shí)， y取得最小值，試求 b的值． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 解析 ： (1 ) 設(shè)點(diǎn) C 受 A 污染源污染程度為kax2 ，點(diǎn) C 受 B 污染源污染程度為kb? 18 － x ?2，其中 k 為比例系數(shù)，且 k 0. 從而點(diǎn) C 處受污染程度 y ＝kax2 ＋kb? 18 － x ?2. (2 ) 因?yàn)?a ＝ 1 ，所以 y ＝kx2 ＋kb? 18 － x ?2， y ′ ＝ k????????－ 2x3 ＋2 b? 18 － x ?3 ， 令 y ′ ＝ 0 ，得 x ＝181 ＋3b， 又此時(shí) x ＝ 6 ，解得 b ＝ 8 ，經(jīng)驗(yàn)證符合題意． 所以，污染源 B 的污染強(qiáng)度 b 的值為 8. ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆
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