【正文】 ?Vi= ?V1= ?V2= ?V/2= ? ? 用引用相對(duì)誤差為 ?n的電壓表測(cè)量電壓時(shí)，若電壓表的滿度值為 Vm，則可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差應(yīng)小于或等于 ?Vi，即 |?Vmax|= | ?n Vm | ? | ?Vi | 所以， | ?n | ? | ?Vi | / Vm =，可見(jiàn)選用。 （二）等作用分配 是指分配給各分項(xiàng)的誤差在數(shù)值上雖然不一定相等，但它們對(duì)測(cè)量誤差總合的作用是相同的，即 ?? —— ?1 ?x1 ?? = —— ?2 ?x2 ?? = —— ?m ?xm = ? ? ? ?? —— ?x1 ( )2 ?2?x1? ?? —— ?x2 ( )2 ?2?x2? ?? —— ?xm ( )2 ?2?xm? = = ? ? ? 根據(jù)系統(tǒng)誤差合成公式和標(biāo)準(zhǔn)方差合成公式可得 : ?j = ———— ?? m—— ?xj ?y ??xj? = ———— ??y? ? m ?? —— ?xj [例 ] 通過(guò)測(cè)電阻上的電壓、電流值間接測(cè)電阻上消耗的功率。已測(cè)出電流為 100mA，電壓為 3V，算出功率為 300 mW。 若要求功率測(cè)量的系統(tǒng)誤差不大于5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差不大于 5mW，問(wèn)電壓和電流的測(cè)量誤差多大時(shí)才能保證上述功率誤差的要求？ [解 ] 按題意，功率測(cè)量允許的系統(tǒng)誤差為 ???300mW???=15mW 按等作用分配原則，分配給電流測(cè)量的系統(tǒng)誤差為 ?I ? ———— ?P 2—— ?I ?P =———— 15mW 2?3V = 同理，分配給電壓測(cè)量的系統(tǒng)誤差為 ?V ? ———— ?P 2—— ?V ?P =———— 15mW 2?100mA =75mV 下面分配隨機(jī)誤差： ??I? ? ———— ??P? ? 2 ?P —— ?I =———— 5mW ? 2 ??V ? ??V? ? ———— ??P? ? 2 ?P —— ?V =———— 5mW ? 2 ?100mA ?35mV 注意：實(shí)際測(cè)量中，在按等作用分配原則進(jìn)行誤差分配后，可根據(jù)各分項(xiàng)誤差達(dá)到給定要求的難易程度適當(dāng)進(jìn)行調(diào)節(jié)。 （三）抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配 當(dāng)各分項(xiàng)誤差中第 k項(xiàng)誤差特別大，而其它項(xiàng)對(duì)總合誤差的影響可以忽略時(shí)，只要保證主要項(xiàng)的誤差小于總合的誤差即可。 主要誤差項(xiàng)可以是多項(xiàng)，這時(shí)可把誤差在這幾個(gè)主要誤差項(xiàng)中分配。 三、最佳測(cè)量方案的選擇 ?f ?xj j=1 m ?y= ? ?j=min σ 2(y) = Σ ( ) 2 σ 2(xj)=min j=1 m ?f ?xj 從誤差的角度來(lái)說(shuō)，最佳測(cè)量就是要使誤差的總合最小。最佳測(cè)量方案就是要做到： 當(dāng)然，選擇測(cè)量方案，應(yīng)注意在總合誤差基本相同的情況下，兼顧測(cè)量的經(jīng)濟(jì)、簡(jiǎn)便等條件。 第四節(jié) 測(cè)量數(shù)據(jù)處理 測(cè)量數(shù)據(jù)處理是建立在誤差分析的基礎(chǔ)上的。在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中要進(jìn)行去粗取精、去偽存真的工作，并通過(guò)分析、整理引出正確的科學(xué)結(jié)論。 一、 有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則 二、 非等精度測(cè)量與加權(quán)平均 一、有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則 （一）有效數(shù)字 實(shí)際測(cè)量或計(jì)算所得的數(shù)據(jù)通常只是一個(gè)近似數(shù)，用它來(lái)表示一個(gè)量時(shí)，為了表示得確切，通常規(guī)定誤差不得超過(guò)末位單位數(shù)字的一半。 對(duì)于這種誤差不大于末位單位數(shù)字一半的數(shù)，從它左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，直到右邊最后一個(gè)數(shù)字止，都叫有效數(shù)字。 例如： —— 5位有效數(shù)字 —— 3位有效數(shù)字 ? —— 2位有效數(shù)字 ?105Hz —— 4位有效數(shù)字 （二）數(shù)字的舍入規(guī)則 目前廣泛采用的舍入規(guī)則是： （ 1）當(dāng)保留 n位有效數(shù)字時(shí)，若后面的數(shù)字小于第 n位單位數(shù)字的 ； （ 2）當(dāng)保留 n位有效數(shù)字時(shí)，若后面的數(shù)字大于第 n位單位數(shù)字的 ，則第 n位數(shù)字進(jìn) 1； （ 3）當(dāng)保留 n位有效數(shù)字時(shí)，若后面的數(shù)字恰為第 n位單位數(shù)字的 ，則第 n位數(shù)字為偶數(shù)或零時(shí)就舍掉后面的數(shù)字；第 n位數(shù)字為奇數(shù)時(shí)，第 n位數(shù)字加 1。 [例 ] 將下面的數(shù)字保留 3位有效數(shù)字： , , , 38050, [解 ] 將各數(shù)字列于箭頭左側(cè) ,保留的有效數(shù)字列于右側(cè) : ? ? ? 38050 ??104 ? （三）測(cè)量結(jié)果的表示法 量值 +不確定度表示法 對(duì)于一個(gè)已對(duì)確定性系統(tǒng)誤差進(jìn)行了修正的測(cè)量結(jié)果，?？捎帽粶y(cè)量的量值和它的不確定度共同表示，被測(cè)量的量值最低位與誤差最低位對(duì)齊。 例如：某電壓為 ?； 某頻率為 ? kHz 測(cè)量的誤差值（包括絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、不確定度、標(biāo)準(zhǔn)偏差等）一般只取一位到兩位數(shù)字。 [例 ] 已知某電阻的測(cè)量中沒(méi)有確定性系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)不確定度為測(cè)量值的 ?1%，隨機(jī)誤差的影響可以忽略。若該電阻的 30次測(cè)量值之和為 1220?，寫出該電阻的測(cè)量結(jié)果。 [解 ] 求該電阻測(cè)量值的平均值 R= —— = —— = ? ?R n 1220 30 由于隨機(jī)誤差可忽略，電阻的不確定度 ?R近似等于系統(tǒng)不確定度 ?S，若取兩位數(shù)字，則 ?R ??S =?? ?1% ?= ? ? ? ? 用電阻平均值作為測(cè)量值 ,并且與誤差的位數(shù)對(duì)齊，按舍入規(guī)則，有 R= ? ? 故電阻的測(cè)量結(jié)果為 : R= ? ? 數(shù)值表示法 當(dāng)一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)作為中間結(jié)果還要參加其它運(yùn)算時(shí)，希望用一個(gè)數(shù)值來(lái)表達(dá)，而不要帶著不確定度。 用一個(gè)數(shù)值表示測(cè)量結(jié)果的具體作法是： （ 1）由誤差或不確定度的大小定出測(cè)量值有效數(shù)字最低位的位置； （ 2）從有效數(shù)字最低位向右多取 1～ 2位安全數(shù)字； （ 3）根據(jù)舍入規(guī)則處理掉其它數(shù)字。 例如：電阻值為 ? ?，則不確定度為 ? ?，不大于阻值個(gè)位單位數(shù)字的一半，故有效數(shù)字最低位為個(gè)位。若取一位安全數(shù)字時(shí)，阻值為 ?，若取兩位安全數(shù)字時(shí)為 ?。 二、非等精度測(cè)量與加權(quán)平均 （一）測(cè)量結(jié)果的權(quán) 假設(shè)測(cè)量的系統(tǒng)誤差為零，那么對(duì)非等精度的測(cè)量結(jié)果來(lái)說(shuō)，精密度高的測(cè)量結(jié)果是比較可靠的，應(yīng)該給予更大的重視。反之，精密度低的測(cè)量結(jié)果重視的程度就應(yīng)該小一些。通常用數(shù)值 wj表示第 j 個(gè)測(cè)量結(jié)果受到重視的程度，稱數(shù)值 wj為第 j次測(cè)量值的“權(quán)”。 由于 xj的測(cè)量精密度越高，方差 ?2?xj?越小，所以定義權(quán) wj為 ?2?xj? ? wj = ——— 上式中 ?為任意常數(shù)。當(dāng) wj =1時(shí)， ?= ?2?xj?。故 ?可以看成是單位權(quán)的方差。 （二）加權(quán)平均 如果對(duì)某量 X進(jìn)行了 m次非等精度測(cè)量，得到了 m個(gè)數(shù)據(jù) x x ? ? ?、 xm，它們對(duì)應(yīng)的權(quán)分別為 w w ? ? ?、 wm，那么如何估計(jì) X的數(shù)值？這里介紹一種將非等精度測(cè)量等效為等精度測(cè)量的估計(jì)方法： 把 m次非等精度測(cè)量等效為 n= 次等精度測(cè)量， 各測(cè)量值 xj等效為 wj次等精度測(cè)量的平均值，非等精度 測(cè)量值與其權(quán)乘積的和 等效于 n次等精度測(cè)量 值之和 ，這樣， X的估計(jì)值就是 n次等精度測(cè)量 值的平均值。即 m ? wj j=1 m ? wj xj j=1 n ? xi i=1 X= ———— ^ m ? wj xj j=1 m ? wj j=1 [例 ] 已知 X的三個(gè)非等精度測(cè)量值分別為 ， ，它們的權(quán)分別為 2，求 X的估計(jì)值。 [解 ] X= ———— ^ m ? wj xj j=1 m ? wj j=1 =——————————= ???????????????????? 3+5+2 （三）加權(quán)平均值的方差 如前所述， 將 m次非等精度測(cè)量等效為 n次等精 度測(cè)量， 。每次等精度測(cè)量的方差即為單 位權(quán)的方差 ?= ?2?xi? = ?2?X?， i=1~n。則加權(quán)平均值的方差為 m n= ? wj j=1 ?2?X?= ——— = ——— = —————— ?2?X? n ? m ? wj j=1 ? m ? j=1 ? —— ?2?xj? ^ m ? j=1 1 —— ?2?xj? 1 —— ^ ?2?X? = 于是有： 可見(jiàn)，在知道了各非等精度測(cè)量值的方差后，可以直接求出加權(quán)平均值的方差。 習(xí)題 : 2 2 2 2 21 2122