【導讀】化簡法和卡諾圖化簡法。邏輯代數(shù)是分析及設計數(shù)字電路的基本工具，邏輯函數(shù)化簡。熟悉幾種常用的數(shù)字器件及其邏輯符號的表示方法?；竟胶突径?；三個重要規(guī)則。對模擬信號進行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。電子電路都是由數(shù)字電路組成的。制數(shù)來表示模擬信號，并可以根據(jù)它的離散值恢復出原始的離散信號。輸入和輸出都是數(shù)字信號而且具有存儲、傳輸、處理信息能力的系統(tǒng)稱為數(shù)字系統(tǒng)。以上；數(shù)字系統(tǒng)的精度主要取決于表示信息的二進制的位數(shù)即字長，數(shù)字系統(tǒng)17位字。模集成電路，其故障率遠比采用眾多分立元件構成的模擬系統(tǒng)低。由于數(shù)字電路主要工作在飽和截止狀態(tài)，對元件的參數(shù)要求不高，便。理器同時處理幾個通道的信號。邏輯變量的兩種狀態(tài)分。的取值只能在數(shù)字0和1中選擇，而不能有第三種取值。根據(jù)功能和結構特點不同，可劃分為組合邏輯電路和時序邏輯電路。開關代數(shù)實際上是將近百年前英國數(shù)學家和邏輯學家喬治·布爾創(chuàng)立的布爾代數(shù)直接運

　　

【正文】 6,7,11,14,15)的卡諾圖 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 0 0 0 11 0 0 0 0 10 1 0 0 1 AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 0 01 1 1 1 0 11 0 0 1 0 10 1 0 1 0 AB CD 圖 例 的卡諾圖 圖 兩個相鄰最小項合并的情況 圖 ))(( CBDAY ??? 的卡諾圖 23 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 DCBAY ?? 圖 4 個相鄰最小項合并的情況 ③ 卡諾圖上任 8 個 (23個 )標 1 的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去 3 個變量。 圖 8 個最小項合并的情況。其中圖 (a)所 示的 8個最小項合并后的結果為：DY? ，圖 (b)所示的 8 個最小項合并后的結果為： BY? 。 圖 8 個相鄰最小項合并的情況 由上述性質可知，相鄰最小項的數(shù)目必須為 2i個才能合并為一項，并消去 i個變量。包含的最小項數(shù)目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本 原理。 ④卡諾圖化簡法的基本步驟 根據(jù)上述原理，利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)可按以下步驟進行： 將邏輯函數(shù)正確地用卡諾圖表示出來。 合并最小項。在合并畫圈時，每個圈所包含的方格數(shù)目必須為 2i個，并可根據(jù)需要將一些方格同時畫在幾個圈內，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的，同時不能漏掉任何一個方格。此外，要求圈的個數(shù)最少，并且每個圈所包圍的方格數(shù)目最多，這樣化簡后函數(shù)的乘積項最少，且每個乘積項的變量也最少，即化簡后的函數(shù)是最簡的。 將代表每個圈乘積項相加，即得函數(shù)的最簡與或表達式。 例 用卡諾圖法 化簡函數(shù) ?? )15,13,12,11,8,7,5,3(),( mDCBAY 。 解： (1)畫出給定函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示。 (2)合并最小項。注意圖中虛線所示的圈沒有包含新的方格，它所代表的乘積項 CAB 是 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 0 0 0 0 AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 1 0 0 1 AB CD (a) (b) 24 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 多余的，應該舍去，圖中實線所示的圈分別代表乘積項 BD 、 CD 和 DCA 。 (3)將所得的乘積項相加，得給定函數(shù)的最簡與或表達式為： DCACDBDDCBAY ???),( 例 用卡諾圖法化簡函數(shù)。 解： (1)將給定函數(shù)轉換為與或表達式。 DCBADCBAACCADBCACACAY ???????? )( (2)畫出函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示。 (3)合并最小項，得函數(shù)的最簡與或表達式為： DBACCAY ??? 圖 例 的卡諾圖 圖 例 的卡諾圖 含隨意項的邏輯函數(shù)的 化簡 含隨意項的邏輯函數(shù) 前面所討論的邏輯函數(shù)，對應于每一組變量的取值，都能得到一個完全確定的函數(shù)值 (0或 1)。如果一個邏輯函數(shù)有 n 個變量，函數(shù)就有 2n個最小項，對應于每一個最小項，函數(shù)都有一個確定的值。 實際中經(jīng)常會遇到一些邏輯函數(shù)，只要求某些最小項函數(shù)有確定的值。而對其余最小項，函數(shù)的取值可以隨意，既可以為 0，也可以為 1；或者，在邏輯函數(shù)中變量的某些取值組合根本不會出現(xiàn)，或不允許出現(xiàn)。這些函數(shù)可以隨意取值或不會出現(xiàn)的變量取值所對應的最小項稱為隨意項，也叫做約束項或無關項。 在真值表和卡諾圖中，隨意項 所對應的函數(shù)值往往用符號“”表示。在邏輯表達式中，通常用字母 d 表示隨意項，或者用等于 0 的條件等式表示隨意項。該條件等式就是由隨意項DBCACACAY )()( ???DCA CD BD CA AC DB 舍去 CAB 25 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 加起來所構成的值為 0 的邏輯表達式，叫做約束條件。 例 十字路口的交通信號燈，設紅、綠、黃燈分別用 A、 B、 C 來表示；燈亮用 1表示，燈滅用 0 表示；停車時 Y=1，通車時 Y=0。寫出此問題的邏輯表達式。 解： 交通信號燈在實際工作中，一次只允許一個燈亮，不允許有兩個或兩個以上的燈同時亮。如果在燈全滅時，允許車輛感到安全時可以通行，則該問題的邏輯關系可以用表 所示的真值表來 描述，其卡諾圖如圖 所示。由真值表可以寫出邏輯表達式： (約束條件 ) 因為 對應于最小項 BCA 、 CBA 、 CAB 和ABC ，不允許有變量取值，所以這 4 個最小項就是該邏輯函數(shù)的隨意項。上面的邏輯表達式也可以寫成為： ? ??? )7,6,5,3()4,1( dmY 表 例 真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 含隨意項的邏輯函數(shù)的化簡 在邏輯函數(shù)的化簡中，充分利用隨意項可以得到更加簡單的邏輯表達式，因而其相應的邏輯電路也更簡單。在化簡過程中，隨意項的取值可視具體情況取 0 或取 1。具體地講，如果隨意項對化簡有利，則取 1；如果隨意項對化簡不利，則取 0。例如，對于例 中所描述的邏輯問題，根據(jù)圖 所示的卡諾圖，如果不利用隨意項，化簡結果為： CBACBAY ?? 如果利用隨意項，則化簡結果為： CAY ?? 顯然，利用隨意項后所得到的結果要簡單得多，并且結果的實際意義也明確得多，因為在實際生活中，只要看到紅燈或黃燈亮就要停車了。注意，這種含有隨意項的邏輯函數(shù)必須遵守約束條件，否則就可能出現(xiàn)錯誤。例如，對于例 來說，如果 A=B=1，即紅燈和綠燈都亮，就會引起交通混亂。 00 01 11 10 0 0 0 1 1 1 AB C圖 例 的卡諾圖 ???????????0A B CCABCBABCACBACBAY 26 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 例 寫出判斷一個 1 位十進制數(shù)是否為奇數(shù)的邏輯表達式，并進行化簡。 解： 采用 8421BCD 碼，則描述該問題的邏輯函數(shù)的真值表如表 所示。 表中對于十進制數(shù)的 0~9，函數(shù)的取值是確定的。但對于十進制數(shù)的 10~15，由于它們不屬于 1 位的十進制數(shù)，函數(shù)可以隨意取值。 由表 可寫出邏輯表達式為： ? ??? )15,14,13,12,11,10()9,7,5,3,1( dmY 表 判斷 1 位十進制數(shù)是否為奇數(shù)的函數(shù)真值表 十進制數(shù) BCD 碼 Y A B C D 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 根據(jù)表 可畫出函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示?；喗Y果為： DY? 27 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 例 化簡函數(shù) ? ??? )15,14,13,10,8,7,0()9,6,5,2,1( dmY )。 解：函數(shù)的卡諾圖如圖 126 所示。由圖可得函數(shù)的最簡與或表達式為： DCDCDCBAY ??),( 圖 例 的卡諾圖 圖 126 例 18 的卡諾圖 變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化簡 在一組變量中，如果只要有一個變量取值為 1，則其他變量的值就一定為 0，具有這種制約關系的變量叫做互相排斥的變量。顯然，變量互相排斥的邏輯函數(shù)也是一種含有 隨意項的邏輯函數(shù)。 例 函數(shù) Y 的變量 A、 B、 C 是互相排斥的，試列出 Y 的真值表，并求出 Y 的最簡與或表達式。 解： 根據(jù)變量互相排斥的概念，可列出表 示的真值表。根據(jù)表 可畫出函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示。由圖 求得函數(shù)的最簡與或表達式為： CBAY ??? 對于變量互相排斥的邏輯函數(shù)，真值表常采用簡化形式。例如表 可簡化可表 的形式。而且邏輯表達式可直接寫成為各個變量之和，例如，根據(jù)表 可直 接寫出： CBAY ??? 表 例 的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 00 01 11 10 00 0 0 0 01 1 1 1 11 1 1 10 0 0 AB 00 01 11 10 00 0 0 0 01 1 1 1 11 1 1 10 0 0 AB CD CD 00 01 11 10 0 0 1 1 1 1 AB C圖 例 的卡諾圖 表 例 的簡化真值表 自變量 Y A 1 B 1 C 1 利用隨意項化簡為 D DC DC 28 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 本章小結 （ 1）數(shù)字信號的數(shù)值相對于時間的變化過程是跳變的、間斷的。對數(shù)字信號進行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。模擬信號通過模數(shù)轉換后變成數(shù)字信號，即可用數(shù)字電路進行傳輸、處理。 （ 2）日常生活中使用十進制， 但在計算機中基本上使用二進制，有時也使用八進制或 十六進制。利用公式可將任意進制數(shù)轉換為十進制數(shù)。將十進制數(shù)轉換為其它進制數(shù)時，整數(shù)部分采用基數(shù)除法，小數(shù)部分采用基數(shù)乘法。 1位八進制數(shù)由 3位二進制數(shù)構成， l位十六進制數(shù)由 4位二進制數(shù)構成，可以實現(xiàn)二進制數(shù)與八進制數(shù)以及二進制數(shù)與十六進制數(shù)之間的相互轉換。 二進制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以表示符號及文字，使信息交換靈活方便。 BCD 碼是用 4位二進制代碼代表 1位十進制數(shù)的編碼，有多種 BCD碼形式，最常用的是 8421 BCD 碼。 （ 3）邏輯代數(shù)是分析和設 計數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實際邏輯問 題抽象為邏輯函數(shù)來描述，并且可以用邏輯運算的方法，解決邏輯電路的分析和設計問題。與、或、非是 3種基本邏輯關系，也是 3種基本邏輯運算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非 3種基本邏輯運算復合而成的 4種常用邏輯運算。邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化街邏輯函數(shù)的依據(jù)。 （ 4）邏輯函數(shù)的化簡法有代數(shù)法和卡諾圖法。代數(shù)法是利用邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī) 則來對邏輯函數(shù)化簡，這種方法適用于各種復雜的邏輯函數(shù)，但需要熟練地運用公式和定理， 且具有一定的運算技巧。 卡諾圖法就是利用函數(shù)的卡諾圖來對邏輯函數(shù)化簡，這種方法簡單直觀，容易掌握，但變量太多時卡諾圖太復雜，圖形法也不適用。在對邏輯函數(shù)化簡時，充分利用隨意項可以得到十分簡單的結果。 （ 5）利用半導體器件可以構成與門、或門、非門、與非門、或非門、與或非門、異或門等各種邏輯門電路，也可以構成三態(tài)門、 OC門等邏輯電路。隨著集成電路技術的飛速發(fā)展，分立元件的數(shù)字電路已被集成電路所取代。 TTL電路的優(yōu)點是開關速度較高，抗干擾能力較強，帶負載的能力也比較強，缺點是功耗較大。 CMOS電路具有制造工藝簡單、功耗小、輸入阻抗高、集 成度高、電源電壓范圍寬等優(yōu)點，其主要缺點是工作速度稍低，但隨著集成工藝的不斷改進， CMOS電路的工作速度已有了大幅度的提高。 教學后記 本章在后續(xù)章節(jié)中經(jīng)常要用到 ,必須牢牢掌握 .