【導(dǎo)讀】化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法。邏輯代數(shù)是分析及設(shè)計(jì)數(shù)字電路的基本工具，邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)。熟悉幾種常用的數(shù)字器件及其邏輯符號(hào)的表示方法?；竟胶突径桑蝗齻€(gè)重要規(guī)則。對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線(xiàn)路稱(chēng)為模擬電路。電子電路都是由數(shù)字電路組成的。制數(shù)來(lái)表示模擬信號(hào)，并可以根據(jù)它的離散值恢復(fù)出原始的離散信號(hào)。輸入和輸出都是數(shù)字信號(hào)而且具有存儲(chǔ)、傳輸、處理信息能力的系統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)字系統(tǒng)。以上；數(shù)字系統(tǒng)的精度主要取決于表示信息的二進(jìn)制的位數(shù)即字長(zhǎng)，數(shù)字系統(tǒng)17位字。模集成電路，其故障率遠(yuǎn)比采用眾多分立元件構(gòu)成的模擬系統(tǒng)低。由于數(shù)字電路主要工作在飽和截止?fàn)顟B(tài)，對(duì)元件的參數(shù)要求不高，便。理器同時(shí)處理幾個(gè)通道的信號(hào)。邏輯變量的兩種狀態(tài)分。的取值只能在數(shù)字0和1中選擇，而不能有第三種取值。根據(jù)功能和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)不同，可劃分為組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路。開(kāi)關(guān)代數(shù)實(shí)際上是將近百年前英國(guó)數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家喬治·布爾創(chuàng)立的布爾代數(shù)直接運(yùn)

　　

【正文】 6,7,11,14,15)的卡諾圖 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 0 0 0 11 0 0 0 0 10 1 0 0 1 AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 0 01 1 1 1 0 11 0 0 1 0 10 1 0 1 0 AB CD 圖 例 的卡諾圖 圖 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況 圖 ))(( CBDAY ??? 的卡諾圖 23 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 DCBAY ?? 圖 4 個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況 ③ 卡諾圖上任 8 個(gè) (23個(gè) )標(biāo) 1 的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去 3 個(gè)變量。 圖 8 個(gè)最小項(xiàng)合并的情況。其中圖 (a)所 示的 8個(gè)最小項(xiàng)合并后的結(jié)果為：DY? ，圖 (b)所示的 8 個(gè)最小項(xiàng)合并后的結(jié)果為： BY? 。 圖 8 個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況 由上述性質(zhì)可知，相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為 2i個(gè)才能合并為一項(xiàng)，并消去 i個(gè)變量。包含的最小項(xiàng)數(shù)目越多，即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡(jiǎn)單。這就是利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本 原理。 ④卡諾圖化簡(jiǎn)法的基本步驟 根據(jù)上述原理，利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)可按以下步驟進(jìn)行： 將邏輯函數(shù)正確地用卡諾圖表示出來(lái)。 合并最小項(xiàng)。在合并畫(huà)圈時(shí)，每個(gè)圈所包含的方格數(shù)目必須為 2i個(gè)，并可根據(jù)需要將一些方格同時(shí)畫(huà)在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的，同時(shí)不能漏掉任何一個(gè)方格。此外，要求圈的個(gè)數(shù)最少，并且每個(gè)圈所包圍的方格數(shù)目最多，這樣化簡(jiǎn)后函數(shù)的乘積項(xiàng)最少，且每個(gè)乘積項(xiàng)的變量也最少，即化簡(jiǎn)后的函數(shù)是最簡(jiǎn)的。 將代表每個(gè)圈乘積項(xiàng)相加，即得函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。 例 用卡諾圖法 化簡(jiǎn)函數(shù) ?? )15,13,12,11,8,7,5,3(),( mDCBAY 。 解： (1)畫(huà)出給定函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示。 (2)合并最小項(xiàng)。注意圖中虛線(xiàn)所示的圈沒(méi)有包含新的方格，它所代表的乘積項(xiàng) CAB 是 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 0 0 0 0 AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 1 0 0 1 AB CD (a) (b) 24 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 多余的，應(yīng)該舍去，圖中實(shí)線(xiàn)所示的圈分別代表乘積項(xiàng) BD 、 CD 和 DCA 。 (3)將所得的乘積項(xiàng)相加，得給定函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為： DCACDBDDCBAY ???),( 例 用卡諾圖法化簡(jiǎn)函數(shù)。 解： (1)將給定函數(shù)轉(zhuǎn)換為與或表達(dá)式。 DCBADCBAACCADBCACACAY ???????? )( (2)畫(huà)出函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示。 (3)合并最小項(xiàng)，得函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為： DBACCAY ??? 圖 例 的卡諾圖 圖 例 的卡諾圖 含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的 化簡(jiǎn) 含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù) 前面所討論的邏輯函數(shù)，對(duì)應(yīng)于每一組變量的取值，都能得到一個(gè)完全確定的函數(shù)值 (0或 1)。如果一個(gè)邏輯函數(shù)有 n 個(gè)變量，函數(shù)就有 2n個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)最小項(xiàng)，函數(shù)都有一個(gè)確定的值。 實(shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到一些邏輯函數(shù)，只要求某些最小項(xiàng)函數(shù)有確定的值。而對(duì)其余最小項(xiàng)，函數(shù)的取值可以隨意，既可以為 0，也可以為 1；或者，在邏輯函數(shù)中變量的某些取值組合根本不會(huì)出現(xiàn)，或不允許出現(xiàn)。這些函數(shù)可以隨意取值或不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱(chēng)為隨意項(xiàng)，也叫做約束項(xiàng)或無(wú)關(guān)項(xiàng)。 在真值表和卡諾圖中，隨意項(xiàng) 所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值往往用符號(hào)“”表示。在邏輯表達(dá)式中，通常用字母 d 表示隨意項(xiàng)，或者用等于 0 的條件等式表示隨意項(xiàng)。該條件等式就是由隨意項(xiàng)DBCACACAY )()( ???DCA CD BD CA AC DB 舍去 CAB 25 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 加起來(lái)所構(gòu)成的值為 0 的邏輯表達(dá)式，叫做約束條件。 例 十字路口的交通信號(hào)燈，設(shè)紅、綠、黃燈分別用 A、 B、 C 來(lái)表示；燈亮用 1表示，燈滅用 0 表示；停車(chē)時(shí) Y=1，通車(chē)時(shí) Y=0。寫(xiě)出此問(wèn)題的邏輯表達(dá)式。 解： 交通信號(hào)燈在實(shí)際工作中，一次只允許一個(gè)燈亮，不允許有兩個(gè)或兩個(gè)以上的燈同時(shí)亮。如果在燈全滅時(shí)，允許車(chē)輛感到安全時(shí)可以通行，則該問(wèn)題的邏輯關(guān)系可以用表 所示的真值表來(lái) 描述，其卡諾圖如圖 所示。由真值表可以寫(xiě)出邏輯表達(dá)式： (約束條件 ) 因?yàn)?對(duì)應(yīng)于最小項(xiàng) BCA 、 CBA 、 CAB 和ABC ，不允許有變量取值，所以這 4 個(gè)最小項(xiàng)就是該邏輯函數(shù)的隨意項(xiàng)。上面的邏輯表達(dá)式也可以寫(xiě)成為： ? ??? )7,6,5,3()4,1( dmY 表 例 真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)中，充分利用隨意項(xiàng)可以得到更加簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，因而其相應(yīng)的邏輯電路也更簡(jiǎn)單。在化簡(jiǎn)過(guò)程中，隨意項(xiàng)的取值可視具體情況取 0 或取 1。具體地講，如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)有利，則取 1；如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)不利，則取 0。例如，對(duì)于例 中所描述的邏輯問(wèn)題，根據(jù)圖 所示的卡諾圖，如果不利用隨意項(xiàng)，化簡(jiǎn)結(jié)果為： CBACBAY ?? 如果利用隨意項(xiàng)，則化簡(jiǎn)結(jié)果為： CAY ?? 顯然，利用隨意項(xiàng)后所得到的結(jié)果要簡(jiǎn)單得多，并且結(jié)果的實(shí)際意義也明確得多，因?yàn)樵趯?shí)際生活中，只要看到紅燈或黃燈亮就要停車(chē)了。注意，這種含有隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)必須遵守約束條件，否則就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，對(duì)于例 來(lái)說(shuō)，如果 A=B=1，即紅燈和綠燈都亮，就會(huì)引起交通混亂。 00 01 11 10 0 0 0 1 1 1 AB C圖 例 的卡諾圖 ???????????0A B CCABCBABCACBACBAY 26 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 例 寫(xiě)出判斷一個(gè) 1 位十進(jìn)制數(shù)是否為奇數(shù)的邏輯表達(dá)式，并進(jìn)行化簡(jiǎn)。 解： 采用 8421BCD 碼，則描述該問(wèn)題的邏輯函數(shù)的真值表如表 所示。 表中對(duì)于十進(jìn)制數(shù)的 0~9，函數(shù)的取值是確定的。但對(duì)于十進(jìn)制數(shù)的 10~15，由于它們不屬于 1 位的十進(jìn)制數(shù)，函數(shù)可以隨意取值。 由表 可寫(xiě)出邏輯表達(dá)式為： ? ??? )15,14,13,12,11,10()9,7,5,3,1( dmY 表 判斷 1 位十進(jìn)制數(shù)是否為奇數(shù)的函數(shù)真值表 十進(jìn)制數(shù) BCD 碼 Y A B C D 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 根據(jù)表 可畫(huà)出函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示?；?jiǎn)結(jié)果為： DY? 27 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 例 化簡(jiǎn)函數(shù) ? ??? )15,14,13,10,8,7,0()9,6,5,2,1( dmY )。 解：函數(shù)的卡諾圖如圖 126 所示。由圖可得函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為： DCDCDCBAY ??),( 圖 例 的卡諾圖 圖 126 例 18 的卡諾圖 變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 在一組變量中，如果只要有一個(gè)變量取值為 1，則其他變量的值就一定為 0，具有這種制約關(guān)系的變量叫做互相排斥的變量。顯然，變量互相排斥的邏輯函數(shù)也是一種含有 隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)。 例 函數(shù) Y 的變量 A、 B、 C 是互相排斥的，試列出 Y 的真值表，并求出 Y 的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。 解： 根據(jù)變量互相排斥的概念，可列出表 示的真值表。根據(jù)表 可畫(huà)出函數(shù)的卡諾圖，如圖 所示。由圖 求得函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為： CBAY ??? 對(duì)于變量互相排斥的邏輯函數(shù)，真值表常采用簡(jiǎn)化形式。例如表 可簡(jiǎn)化可表 的形式。而且邏輯表達(dá)式可直接寫(xiě)成為各個(gè)變量之和，例如，根據(jù)表 可直 接寫(xiě)出： CBAY ??? 表 例 的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 00 01 11 10 00 0 0 0 01 1 1 1 11 1 1 10 0 0 AB 00 01 11 10 00 0 0 0 01 1 1 1 11 1 1 10 0 0 AB CD CD 00 01 11 10 0 0 1 1 1 1 AB C圖 例 的卡諾圖 表 例 的簡(jiǎn)化真值表 自變量 Y A 1 B 1 C 1 利用隨意項(xiàng)化簡(jiǎn)為 D DC DC 28 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 本章小結(jié) （ 1）數(shù)字信號(hào)的數(shù)值相對(duì)于時(shí)間的變化過(guò)程是跳變的、間斷的。對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線(xiàn)路稱(chēng)為數(shù)字電路。模擬信號(hào)通過(guò)模數(shù)轉(zhuǎn)換后變成數(shù)字信號(hào)，即可用數(shù)字電路進(jìn)行傳輸、處理。 （ 2）日常生活中使用十進(jìn)制， 但在計(jì)算機(jī)中基本上使用二進(jìn)制，有時(shí)也使用八進(jìn)制或 十六進(jìn)制。利用公式可將任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分采用基數(shù)除法，小數(shù)部分采用基數(shù)乘法。 1位八進(jìn)制數(shù)由 3位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成， l位十六進(jìn)制數(shù)由 4位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成，可以實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)以及二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換。 二進(jìn)制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以表示符號(hào)及文字，使信息交換靈活方便。 BCD 碼是用 4位二進(jìn)制代碼代表 1位十進(jìn)制數(shù)的編碼，有多種 BCD碼形式，最常用的是 8421 BCD 碼。 （ 3）邏輯代數(shù)是分析和設(shè) 計(jì)數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問(wèn) 題抽象為邏輯函數(shù)來(lái)描述，并且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。與、或、非是 3種基本邏輯關(guān)系，也是 3種基本邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非 3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的 4種常用邏輯運(yùn)算。邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化街邏輯函數(shù)的依據(jù)。 （ 4）邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法有代數(shù)法和卡諾圖法。代數(shù)法是利用邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī) 則來(lái)對(duì)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，這種方法適用于各種復(fù)雜的邏輯函數(shù)，但需要熟練地運(yùn)用公式和定理， 且具有一定的運(yùn)算技巧。 卡諾圖法就是利用函數(shù)的卡諾圖來(lái)對(duì)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，這種方法簡(jiǎn)單直觀，容易掌握，但變量太多時(shí)卡諾圖太復(fù)雜，圖形法也不適用。在對(duì)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，充分利用隨意項(xiàng)可以得到十分簡(jiǎn)單的結(jié)果。 （ 5）利用半導(dǎo)體器件可以構(gòu)成與門(mén)、或門(mén)、非門(mén)、與非門(mén)、或非門(mén)、與或非門(mén)、異或門(mén)等各種邏輯門(mén)電路，也可以構(gòu)成三態(tài)門(mén)、 OC門(mén)等邏輯電路。隨著集成電路技術(shù)的飛速發(fā)展，分立元件的數(shù)字電路已被集成電路所取代。 TTL電路的優(yōu)點(diǎn)是開(kāi)關(guān)速度較高，抗干擾能力較強(qiáng)，帶負(fù)載的能力也比較強(qiáng)，缺點(diǎn)是功耗較大。 CMOS電路具有制造工藝簡(jiǎn)單、功耗小、輸入阻抗高、集 成度高、電源電壓范圍寬等優(yōu)點(diǎn)，其主要缺點(diǎn)是工作速度稍低，但隨著集成工藝的不斷改進(jìn)， CMOS電路的工作速度已有了大幅度的提高。 教學(xué)后記 本章在后續(xù)章節(jié)中經(jīng)常要用到 ,必須牢牢掌握 .