【文章內容簡介】 ? 說明A、 B之間邏輯關系， Y是 A和 B的異或函數(shù)。 一般地，如果對應于輸入邏輯變量 A、 B、 C、?的每一組確定值，輸入邏輯變量 Y 都有惟一確定的值與之對應，則稱 Y 是 A、 B、 C、?的邏輯函數(shù)。記為： ),( ???? CBAfY 與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是 0 或 1，并且這里的 0 和 1 只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。 設有兩個邏輯函數(shù) ),(1 ???? CBAfY ),(2 ???? CBAgY 它們的變量都是 A、 B、 C、?，如果對應于變量 A、 B、 C、?的任何一組變量取值，Y1 和 Y2 的值都相同，則稱 Y1 和 Y2 是相等的，記為 Y1=Y2。 顯然，若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個函數(shù)一定相等。因此，要證明兩個邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。例如，已知下列兩個函數(shù) 輸入 輸出 F A B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 輸入 輸出 F A B 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 13 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 ABY?1BAY ??2 ABY?1 BAY ??2 列出 Y1 和 Y2的真值表，如表 。由表可知，它們的真值表完全相同，所以 Y1和 Y2 是相等的，即有 BAAB ?? 表 和 的真值表 A B A B BAY ??2 A BAAB?? B ABY?1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則 1. 根據邏輯變量的取值只有 0 和 1，以及邏輯變量的與、或、非 3 種運算法則，可推導出邏輯運算的基本公式和定理。這些公式的證明，最直接的方法是列出等號兩邊函數(shù)的真值表，看看是否完全相同。也可利用已知的公式來證明其公式。 (1) 常量之間的關系。 因為在二值邏輯中只有 0 和 1 兩個常量，邏輯變量的取值不是 0 就是 1，而 最基本的邏輯運算又只有與、或、非 3 種，所以常量之間的關系也只有與、或、非 3 種： 與運算： 111 001 010 000 ???????? 或運算： 111 101 110 000 ???????? 非運算： 01 10 ?? (2) 基本公式。 01 律： 互補律： 等冪律： 雙重否定律： (3) 基本定理 交換律： 結合律： 分 配律： AA???? ???? AA AA 10??? ?? ?? 00 11AA?????????01AAAA??? ???? AAA AAA??? ?????? ABBA ABBA??? ????? ????? )()( )()( CBACBA CBACBA??? ?????? ?????? )()()( CABACBA CABACBA 14 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 證明： 反演律（又稱摩根定律）： （ 3） 常用公式 還原律 ： 吸收律： 證明： 冗余律： 證明： 可以利用上述公式和定理來對邏輯表達式進行化簡，也可以利用它們來證明兩個邏輯表達式是否相等。例如，可以利用反演律、分配律和互補律來證明等式 BABABABA ???????是否成立，證明如下： （反演律） （反演律） （分配律） （互補律） 2. 邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)則 邏輯代數(shù)有 3個重要規(guī)則。利用這 3 個規(guī)則，可以得到更多的公式，也可擴充公式的應用范圍。 （ 1）代入規(guī)則。 任何一個含有變量 A 的等式，如果將所有出現(xiàn) A 的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則CBACBCBACBCABAACBCABAAACABA???????????????????????????)1()()(?????????????ABABAABABA)()(??? ??? ??? ABAA ABAA )(?????????????BABAABABAA )(CAABBCACABBCAA B CCAABBCAACAABBCCAAB????????????????)1()1()(BABABAAABAA ????????? )(1))((CABACBCABA ?????????BABABBBABAAABABABABABABA??????????????????????))((???????????????????????CBACBACBACBA 15 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。 例如，已知等式 BAAB ?? ，用函數(shù) Y=AC 代替等式中的 A，根據代入規(guī)則，等式仍然成立，即有： CBABACBAC ?????)( 據此可以證明 n 個變量的摩根定律成立。 （ 2）反演規(guī)則。 對于任何一個邏輯表達式 Y，如果將表達式中的所有“”換成“ +”，“ +”換成“”， “ 0”換成“ 1”，“ 1”換成“ 0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得的表達式就是函數(shù) Y的反函數(shù)（或稱補函數(shù)） Y 。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。 利用反演規(guī)則可以很容易地求出一個函數(shù)的反函數(shù)。需要注意的是，在運用反演規(guī)則求一個函數(shù)的反函數(shù)時，必須按照邏輯運算的優(yōu)先順序進行，先算括號，接著與運算，然后或 運算，最后非運算，否則容易出錯。例如： （ 3）對偶規(guī)則 對于任何一個邏輯表達式 Y，如果將表達式中的所有“”換成“ +”，“ +”換成“”，“ 0”換成“ 1”，“ 1”換成“ 0”，而變量保持不變，則可得到一個新的函數(shù)表達式 Y＇， Y＇稱為函數(shù) Y 的對偶函數(shù)，這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如： 由這些例子可以看出，如果 Y 的對偶函數(shù)為 Y＇，則 Y＇的對偶函數(shù)就是 Y。也就是 Y和 Y＇互為對偶函數(shù)。在求一個函數(shù)的對偶函數(shù)時，同樣要注意運算的先后順序。 對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。 利用對偶規(guī)則，可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如，已知等式ACABCBA ??? )( 成立，則其對偶等式 也是成立的。 把上述反函數(shù)的例子與對偶函數(shù)的例子對照一下，可以看出，反函數(shù)和對偶函數(shù)之間在形式上只差變量的“非”。因此，若已求得一函數(shù)的反函數(shù)，只要將所有變量取反便得該函數(shù)的對偶函數(shù)，反之亦然。 邏輯函數(shù)的表達式 一個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非、與非表達式、或非、或非表達式、與或非表達式多種表示形式。一種形式的函數(shù)表達式對應于一種邏輯電路。 盡管一邏輯函數(shù)表達式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。例如 與或表達式 或與表達式 EDCBAYEDCBAYEDCBAYEDCBAY???????????????? ))((EDCBAYEDCBAYEDCBAYEDCBAY????????????????39。39。 ))((ACBACABAACBAY???????))(())(( CABABCA ???? 16 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 與非與非表達式 或非或非表達式 與或非表達式 其中與或 表達式最為常見，同時 與或表達式也比較容易和其他形式的表達式進行相互轉換。函數(shù)的與或表達式就是將函數(shù)表示為若干個乘積項之和的形式，即若干個與項相或的形式。 1. 邏輯函數(shù)的最小項及其性質 如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標準積項，標準積項通常稱為最小項。 根據最小項的定義可知：一個變量 A可組成兩個最小項： A、 A；兩個變量 A、 B可組成 4 個最小項： AB、 BA 、 BA 、 BA ； 3 個變量 A、 B、 C可組成 8 個最小項： 。一般地， n 個變量可組成 n2 個最小項。 為了敘述和書寫方便，通常用符號 m i 來表示最小項。其中下標 i 是這樣確定的：把最小項中的原變量記為 1，反變量記為 0，當變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數(shù)，則與這個二進制數(shù)相對應的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標 i 。按照這個原則， 3變量的 8個最小項可以分別表示為： 為了分析最小項的性質，現(xiàn)將 3 個變量 的全部最小項的真值表列于表 中。 表 3 變量全部最小項的真值表 A B C 0m 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 觀察表 可以看出，最小項具有下列 3 個主要性質： (1)對于任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為 1。 (2)任意兩個不同的最小項的乘積必為 0。 (3)全部最小項的和必為 1。 2. 邏輯函數(shù)的最小項表達式 任一個邏輯函數(shù)均可以表示成一組最小項的和，這種表達式稱為函數(shù)的最小項表達式，也稱為函數(shù)的標準與或表達式，或稱為函數(shù)的標準積之和表達式。任何一個 n 變量的函數(shù)都CABA ????CABA ????ABCCABCBACBABCACBACBACBA ,,A B CmCABmCBAm CBAmBCAmCBAmCBAmCBAm ??? ????? 765 43210 , ,, 17 《數(shù)字電子技術基礎》教案 第一章 有一個且僅有一個最小項表達式。 反復使用公式 1??AA 和 ACABCBA ??? )( ，可以求出函數(shù)的最小項表達式。例如：設 BCAY ?? ，則： 其中“∑”表示或運算，括號中的數(shù)字表示最小項的下標值。如果 列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為 1 的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。例如，函數(shù) CBBAY ?? 的真值表如表 所示，由真值表很容易寫出函數(shù)的最小項表達式為： ?????? )5,3,2,1(5321 mmmmmY 表 函數(shù) CBBAY ?? 的真值表 A B C Y 最小 項 0 0 0 0 0m 0 0 1 1 0 1 0 1 2m 0 1 1 1 3m 1 0 0 0 4m 1 0 1 1 5m 1 1 0 0 6m 1 1 1 0 7m 反函數(shù)的最小項表達式 如果將真值表中函數(shù)值為 0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達式。例如，由表 可以寫出函數(shù) CBBAY ?? 的 反函數(shù) Y的最小項表達式為：