【正文】 考題，每個試題考生都必須作答。第 2 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一） 必考題： 60 分。 ，， .（ 1）求； （ 2）若，求 .【答案】（ 1）； （ 2） .【解析】【分析】（ 1）根據(jù)正弦定理可以得到，根據(jù)題設(shè)條件，求得，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得； （ 2）根據(jù)題設(shè)條件以及第一問的結(jié)論可以求得，之后在中，用余弦定理得到所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果 .【詳解】（ 1）在中，由正弦定理得 .由題設(shè)知，所以 .由題設(shè)知，所以； （ 2）由題設(shè)及（ 1）知， .在中，由余弦定理得 .所以 .【點睛】該題考查是有關(guān)解三角形的問題，涉及 到的知識點有正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式以及余弦定理，在解題的過程中，需要時刻關(guān)注題的條件，以及開方時對于正負號的取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關(guān)系，從而正確求得結(jié)果 .，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且 .（ 1）證明：平面平面； （ 2）求與平面所成角的正弦值 .【答案】（ 1）證明見解析； （ 2） .【解析】【分析】（ 1）首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即，又因為，利用線面垂直的判定定理可以得出平面，又平面，利用面面垂直的判定定理證 得平面平面； （ 2）結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標系，正確寫出相應(yīng)的點的坐標，求得平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結(jié)果 .【詳解】（ 1）由已知可得，，又，所以平面 .又平面，所以平面平面； （ 2）作，垂足為 .由（ 1）得，平面 .以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 .由（ 1）可得， .又，所以 .又，故 .可得 .則為平面的法向量 .設(shè)與平面所成角為，則 .所以與平面所成角的正弦值為 .【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點 有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果； 對于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來完成，注意相對應(yīng)的等量關(guān)系即可 .，過的直線與交于兩點，點的坐標為 .（ 1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程； （ 2）設(shè)為坐標原點，證明： .【答案】（ 1）的方程為或； （ 2）證明見解析 .【解析】【分析】（ 1）首先根據(jù)與軸垂直，且過點，求得直線 的方程為，代入橢圓方程求得點的坐標為或，利用兩點式求得直線的方程； （ 2）分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果 .【詳解】（ 1）由已知得， l的方程為 .由已知可得，點的坐標為或 .所以的方程為或 .（ 2）當(dāng)與軸重合時， .當(dāng)與軸垂直時，為的垂直平分線，所以 .當(dāng)與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，則，直線、的斜率之和為 .由得 .將代入得 .所以， .則 .從而，故、的傾斜角互補，所以 .綜上， .【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線與橢圓相交的綜合問題、關(guān)于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個，關(guān)于第二問，在做題的時候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來得到角是相等的結(jié)論 .，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢 驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（ 1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為 ,求的最大值點； （ 2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（ 1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（ i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求 。（ ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【 答案】（ 1）； （ 2）（ i）； （ ii）應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗 .【解析】【分析】（ 1）利用獨立重復(fù)實驗成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件； （ 2）先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（ i）的時候 ,先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費用的期望； 在解（ ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結(jié)果 .【詳解】（ 1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為 .因此 .令，得 .當(dāng)時，； 當(dāng)時 ， .所以的最大值點為； （ 2）由（ 1）知， .（ i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，即 .所以 .（ ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為 400元 .由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗 .【點睛】該題考查的是有關(guān)隨機變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨立重復(fù)試驗成功次數(shù)對應(yīng)的概率公式，再者就是對其用函數(shù)的思想來研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點，在做第二問的時候，需要明確離散型隨機變量的可取值以及對應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)果，再有就是通過期望的大小關(guān)系得到結(jié)論 . 數(shù)．（ 1）討論的單調(diào)性； （ 2）若存在兩個極值點，證明：．【答案】（ 1）見解析； （ 2）見解析【解析】分析： (1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，之后對進行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，從而求得函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間； (2)根據(jù)存在兩個極值點，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果 .詳解：（ 1）的定義域為， .（ i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減 .（ ii）若，令得，或 .當(dāng)時，； 當(dāng)時， .所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 .（ 2）由（ 1）知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng) .由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則 .由于，所以等價于 .設(shè)函數(shù)，由（ 1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時， .所以，即 .點睛：該題考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導(dǎo)數(shù)的符號對單調(diào)性的決定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，要對參數(shù)進行討論，還有就是在做題的時候，要時刻關(guān)注第一問對第二問的影響，再者 就是通過構(gòu)造新函數(shù)來解決問題的思路要明確 .（二）選考題：共 10 分。請考生在第 2 23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 ，曲線的方程為 .以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為 .（ 1）求的直角坐標方程； （ 2）若與有且僅有三個公共點，求的方程 .【答案】 (1).(2).【解析】分析： (1)就根據(jù)，以及，將方程中相關(guān)的量代換，求得直角坐標方程； (2)結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射 線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現(xiàn)三個公共點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，得到 k 所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果 .詳解：（ 1）由，得的直角坐標方程為．（ 2）由（ 1）知是圓心為，半徑為的圓．由題設(shè)知，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．當(dāng)與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點； 當(dāng)時，與只有一個公共點，與有兩個公共點．當(dāng) 與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點； 當(dāng)時，與沒有公共點．綜上，所求的方程為．點睛：該題考查的是有關(guān)坐標系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向平面直角坐標方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標和平面直角坐標之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及曲線相交交點個數(shù)結(jié)合圖形，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系所對應(yīng)的需要滿足的條件，從而求得結(jié)果 . .（ 1）當(dāng)時，求不等式的解集； （ 2）若時不等式成立，求的取值范圍 .【答案 】（ 1）； （ 2）【解析】分析： (1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為； (2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果 .詳解：（ 1）當(dāng)時，即故不等式的解集為．（ 2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立．若，則當(dāng)時； 若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點睛：該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進行分類討論，求得結(jié)果 .