【正文】 考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 2 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一） 必考題： 60 分。 ，， .（ 1）求； （ 2）若，求 .【答案】（ 1）； （ 2） .【解析】【分析】（ 1）根據(jù)正弦定理可以得到，根據(jù)題設(shè)條件，求得，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得； （ 2）根據(jù)題設(shè)條件以及第一問的結(jié)論可以求得，之后在中，用余弦定理得到所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果 .【詳解】（ 1）在中，由正弦定理得 .由題設(shè)知，所以 .由題設(shè)知，所以； （ 2）由題設(shè)及（ 1）知， .在中，由余弦定理得 .所以 .【點(diǎn)睛】該題考查是有關(guān)解三角形的問題，涉及 到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式以及余弦定理，在解題的過程中，需要時(shí)刻關(guān)注題的條件，以及開方時(shí)對(duì)于正負(fù)號(hào)的取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關(guān)系，從而正確求得結(jié)果 .，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且 .（ 1）證明：平面平面； （ 2）求與平面所成角的正弦值 .【答案】（ 1）證明見解析； （ 2） .【解析】【分析】（ 1）首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即，又因?yàn)?，利用線面垂直的判定定理可以得出平面，又平面，利用面面垂直的判定定理證 得平面平面； （ 2）結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結(jié)果 .【詳解】（ 1）由已知可得，，又，所以平面 .又平面，所以平面平面； （ 2）作，垂足為 .由（ 1）得，平面 .以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .由（ 1）可得， .又，所以 .又，故 .可得 .則為平面的法向量 .設(shè)與平面所成角為，則 .所以與平面所成角的正弦值為 .【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn) 有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果； 對(duì)于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來完成，注意相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系即可 .，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 .（ 1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程； （ 2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： .【答案】（ 1）的方程為或； （ 2）證明見解析 .【解析】【分析】（ 1）首先根據(jù)與軸垂直，且過點(diǎn)，求得直線 的方程為，代入橢圓方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程； （ 2）分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果 .【詳解】（ 1）由已知得， l的方程為 .由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或 .所以的方程為或 .（ 2）當(dāng)與軸重合時(shí)， .當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以 .當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，則，直線、的斜率之和為 .由得 .將代入得 .所以， .則 .從而，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以 .綜上， .【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的兩點(diǎn)式、直線與橢圓相交的綜合問題、關(guān)于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時(shí)候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個(gè)，關(guān)于第二問，在做題的時(shí)候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達(dá)定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來得到角是相等的結(jié)論 .，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢 驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（ 1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為 ,求的最大值點(diǎn)； （ 2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（ 1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（ i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求 。（ ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【 答案】（ 1）； （ 2）（ i）； （ ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn) .【解析】【分析】（ 1）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得，之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件； （ 2）先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（ i）的時(shí)候 ,先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望； 在解（ ii）的時(shí)候，就通過比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果 .【詳解】（ 1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為 .因此 .令，得 .當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí) ， .所以的最大值點(diǎn)為； （ 2）由（ 1）知， .（ i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，即 .所以 .（ ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為 400元 .由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn) .【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)隨機(jī)變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率公式，再者就是對(duì)其用函數(shù)的思想來研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點(diǎn)，在做第二問的時(shí)候，需要明確離散型隨機(jī)變量的可取值以及對(duì)應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)果，再有就是通過期望的大小關(guān)系得到結(jié)論 . 數(shù)．（ 1）討論的單調(diào)性； （ 2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（ 1）見解析； （ 2）見解析【解析】分析： (1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)進(jìn)行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間； (2)根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果 .詳解：（ 1）的定義域?yàn)椋?.（ i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減 .（ ii）若，令得，或 .當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， .所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 .（ 2）由（ 1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) .由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則 .由于，所以等價(jià)于 .設(shè)函數(shù)，由（ 1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)， .所以，即 .點(diǎn)睛：該題考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)單調(diào)性的決定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，還有就是在做題的時(shí)候，要時(shí)刻關(guān)注第一問對(duì)第二問的影響，再者 就是通過構(gòu)造新函數(shù)來解決問題的思路要明確 .（二）選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 2 23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 ，曲線的方程為 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為 .（ 1）求的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程 .【答案】 (1).(2).【解析】分析： (1)就根據(jù)，以及，將方程中相關(guān)的量代換，求得直角坐標(biāo)方程； (2)結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射 線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，得到 k 所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果 .詳解：（ 1）由，得的直角坐標(biāo)方程為．（ 2）由（ 1）知是圓心為，半徑為的圓．由題設(shè)知，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng) 與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)．綜上，所求的方程為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有曲線的極坐標(biāo)方程向平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合圖形，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的需要滿足的條件，從而求得結(jié)果 . .（ 1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （ 2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍 .【答案 】（ 1）； （ 2）【解析】分析： (1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為； (2)根據(jù)題中所給的，其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式可以化為時(shí)，分情況討論即可求得結(jié)果 .詳解：（ 1）當(dāng)時(shí)，即故不等式的解集為．（ 2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立．若，則當(dāng)時(shí)； 若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法，以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個(gè)不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果 .