【正文】 由基本不等式得． 因為，所以． 由題意得． 設， 則， 所以 x （ 0， 16） 16 （ 16， +∞） 0 + 24ln2 所以 g（ x）在 [256， +∞）上單調(diào)遞增， 故， 即． （Ⅱ）令 m=， n=，則 f（ m） – km– a|a|+k– k– a≥ 0， f（ n） – kn– a0，直線 y=kx+a與曲線 y=f（ x）有唯一公共點． 點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略： (1) 構造差函數(shù) .根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關系，進而證明不等式 .（ 2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù) .一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù) . 第四篇： ok,精品解析： 18 屆 ,全國普通高等學 校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（天津卷）（解析版） 絕密★啟用前 2021 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（文史類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時 120 分鐘。第Ⅰ卷 1 至 2 頁，第Ⅱ卷 3至 5 頁。 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項： 1．每小題選出答案后，用 鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。 2．本卷共 8小題，每小題 5分，共 40 分。 參考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 P(A∪ B)=P(A)+P(B)．棱柱的體積公式 V= S 表示棱柱的底面面積， h 表示棱柱的高．棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面積， h 表示棱錐的高 .一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .，，則.【答案】 C【解析】分析：由題意首先進行并集運算，然后進行交集運算即 可求得最終結(jié)果 .詳解：由并集的定義可得：，結(jié)合交集的定義可知： .本題選擇 C 選項 .點睛：本題主要考查并集運算、交集運算等知識，意在考查學生的計算求解能力 .2.【 2021 年天津卷文】設變量 x， y 滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為 【答案】 C【解析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標目標函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點，最后求解最大值即可 .詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點 A 處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點 A 的坐標為：，據(jù)此可知目標函 數(shù)的最大值為： .本題選擇 C選項 .點睛：求線性目標函數(shù) z＝ ax＋ by(ab≠ 0)的最值，當 b＞ 0 時，直線過可行域且在 y 軸上截距最大時， z 值最大，在 y軸截距最小時， z值最??； 當 b＜ 0時，直線過可行域且在 y 軸上截距最大時， z 值最小，在y 軸上截距最小時， z 值最大 .，則“”是“”的 條件 【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和絕對值不等式，據(jù)此即可確定兩條件的充分性和必要性是否成立即可 .詳解：求解不等式可得，求解絕對值不等式可得或，據(jù)此可知：“”是“”的充分而不必要條件 .本題選擇 A 選項 .點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 .所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為 20，則輸出的值為【答案】 B【解析】分析：由題意結(jié)合流程圖運行程序即可求得輸出的數(shù)值 .詳解：結(jié)合流程圖運行程序如下： 首先初始化數(shù)據(jù)：，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行，此時不滿足； ，結(jié)果不為整數(shù)，執(zhí)行，此時不滿足； ，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行，此時滿足； 跳出循環(huán)，輸出 .本題選擇 B 選項 .點睛：識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路： (1)要明確程序框圖的順序結(jié)構、條件結(jié)構和循環(huán)結(jié)構． (2)要識別、運行程序框圖，理 解框圖所解決的實際問題． (3)按照題目的要求完成解答并驗證． ，則的大小關系為 .【答案】 D【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定 a,b,c 的大小關系 .詳解：由題意可知：，即，即，即，綜上可得： .本題選擇 D 選項 .點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然 后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確． ，所得圖象對應的函數(shù) 間上單調(diào)遞減【答案】 A【解析】分析：首先確定平移之后的對應函數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項是否符合題意即可 .詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知： 將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為： .則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，選項 A 正確， B錯誤； 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，選項 C， D 錯誤； 本題選擇 A選項 .點睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 .7.已知雙曲線的離心率為 2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點 .設到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且則雙曲線的方程為.【答案】 A【解析】【詳解】分析：由題意首先求得 A,B 的坐標， 然后利用點到直線距離公式求得 b 的值，之后利用離心率求解 a的值即可確定雙曲線方程 .詳解：設雙曲線的右焦點坐標為（ c0），則，由可得：，不妨設：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線方程為 .本題選擇 A 選項 .點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù) a， b， c，e 及漸近線之間的關系，求出 a， b 的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出 λ的值即可 .，已知 ,則的值為【答案】 C【解析】分析：連結(jié) MN，結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果 .詳解：如圖所示，連結(jié) MN，由可知點分別為線段上靠近點的三等分點，則，由題意可知： ，結(jié)合數(shù)量積的運算法則可得： .本題選擇 C 選項 .點睛：求兩個向量數(shù)量積有三種方法：利用定義； 利用向量的坐標運算； 利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．第Ⅱ卷注意事項： 1． 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2．本卷共 12 小題，共 110 分。 二．填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 是虛數(shù)單位，復數(shù) ___________.【答案】 4– i【解析】分析：由題意結(jié)合復數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果 .詳解：由復數(shù)的運算法則得： .點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則及其應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 . f(x)=exlnx，為 f(x)的導函數(shù)，則的值為 __________．【答案】 e【解析】【分析】首先求導函數(shù)，然后結(jié)合 導函數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果 .【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則，即的值為 e，故答案為 .點睛：本題主要考查導數(shù)的運算法則，基本初等函數(shù)的導數(shù)公式等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 .，已知正方體 ABCD– A1B1C1D1的棱長為 1，則四棱錐 A1– BB1D1D 的體積為 __________．【答案】【解析】【分析】由題意分別求得底面積和高，然后求解其體積即可 .【詳解】如圖所示，連結(jié)，交于點，很明顯平面，則是四棱錐的高，且，結(jié)合四棱錐體積公式可得其體積為，故答案為 .點睛：本題主要考查 棱錐體積的計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 .12.在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點（ 0， 0），（ 1， 1），（ 2， 0）的圓的方程為 __________．【答案】【解析】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可 .詳解：設圓的方程為，圓經(jīng)過三點（ 0， 0），（ 1， 1），（ 2，0），則： ，解得：，則圓的方程為 .點睛：求圓的方程，主要有兩種方法： (1)幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上； ②圓心在任意弦的 中垂線上； ③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線． (2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式． 知，且，則的最小值為 _____________.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得 a3b 的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果，注意等號成立的條件 .【詳解】由可知，且：，因為對于任意 x，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得： .當且 僅當，即時等號成立 .綜上可得的最小值為 .【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正 —— 各項均為正； 二定 —— 積或和為定值； 三相等 —— 等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 14.已知，函數(shù)若對任意 x∈［ – 3， +）， f(x)≤恒成立，則 a 的取值范圍是 __________．【答案】【解析】【分析】由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果 .【詳解】分類討論：①當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知： 當時，則； ②當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知： 當或時，則； 綜合①②可得的取值范圍是，故答案為 .點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論： (1)a≥ f(x)恒成立 ?a≥ f(x)max； (2)a≤ f(x)恒成立 ?a≤ f(x)，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向； ②對稱軸位置； ③判別式； ④端點函數(shù)值符號四個方面分析．三．解答題：本大題共 6 小題 ，共 80 分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為 240， 160， 160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽?。访瑢W去某敬老院參加獻愛心活動．（Ⅰ）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（Ⅱ）設抽出的 7名同學分別用 A， B， C， D， E， F， G 表示，現(xiàn)從中隨機抽取 2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．（ i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； （ ii）設 M 為事件“抽取的 2名同學來自同一年級”，求事件 M發(fā)生的概率．【答案】（ 1） 3， 2， 2（ 2）（ i）見解析（ ii）【解析】【詳解】分析：（Ⅰ）結(jié)合人數(shù)的比值可知應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取 3 人， 2 人， 2 人．（Ⅱ）（ i）由題意列出所有可能的結(jié)果即可，共有 21 種．（ ii）由題意結(jié)合（ i）中的結(jié)果和古典概型計算公式可得事件 M發(fā)生的概率為 P（ M） =．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為 3∶ 2∶ 2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7 名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取 3 人， 2 人， 2人．（Ⅱ）（ i）從抽出的 7名同學中隨機抽取 2名同學的所有可能結(jié)果為 {A， B}， {A， C}， {A， D}， {A， E}， {A， F}，{A， G}， {B， C}， {B， D}， {B， E}， {B， F}， {B， G}， {C， D}， {C，E}， {C， F}， {C， G}， {D， E}， {D， F}， {D， G}， {E， F}， {E， G}，{F， G}，共 21 種．（ ii）由（Ⅰ），不妨設抽出的 7名同學中，來自甲年級的是 A， B， C，來自乙年級的是 D， E，來自丙年級的是 F， G，則從抽出的 7 名同學中隨機抽取的 2 名同學來自同一年級的所有可能結(jié)果為 {A， B}， {A， C}， {B， C}， {D， E}， {F， G}，共 5 種．所以，事件 M 發(fā) 生的概率為 P（ M） =．點睛：本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基