【正文】 2．本卷共 12 小題，共 110 分。 參考公式： 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）證明： AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直線 AC1與平面 ABB1所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 分析 :方法一：（Ⅰ）通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得 ,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論；（ Ⅱ）找出直線 AC1 與平面 ABB1 所成的角，再在直角三角形中求解 . 方法二：（Ⅰ）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量之積為 0 得出 ,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)方程組解出平面的一個(gè)法向量，然后利用與平面法向量的夾角的余弦公式及線面角與向量夾角的互余關(guān)系求解 . 【詳解】詳解：方法一： （Ⅰ）由得， 所以 . 故 . 由， 得， 由得， 由，得，所以，故 . 因此平面 . （Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié) . 由平面得平面平面， 由得平面， 所以是與平面所成的角 . 由得， 所以，故 . 因此，直線與平面所成的角的正弦值是 . 方法二： （Ⅰ）如圖，以 AC 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以射線 OB， OC 為 x， y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz. 由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下： 因此 由得 . 由得 . 所以平面 . （Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為 . 由（Ⅰ）可知 設(shè)平面的法向量 . 由即可取 . 所以 . 因此，直線與平面所成的角的正弦值是 . 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)” . {an}的公比 q1，且 a3+a4+a5=28， a4+2 是 a3，a5 的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列 {bn}滿足 b1=1，數(shù)列 {（ bn+1?bn） an}的前 n 項(xiàng)和為 2n2+n． （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 分析 :（Ⅰ）根據(jù)條件、等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解公比；（Ⅱ）先根據(jù)數(shù)列前 n項(xiàng)和求通項(xiàng)，解得，再通過(guò)疊加法以及錯(cuò)位相減法求 . 【詳解】詳解：（Ⅰ）由是的等差中項(xiàng)得， 所以， 解得 . 由得， 因?yàn)?，所?. （Ⅱ）設(shè)，數(shù)列前 n項(xiàng)和為 . 由解得 . 由（Ⅰ）可知， 所以， 故， . 設(shè)， 所以， 因此， 又，所以 . 點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題： (1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形； (2)在寫(xiě)出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于 1 和不等于 1兩種情況求解 . ，已知點(diǎn) P是 y 軸左側(cè) (不含 y軸 )一點(diǎn)，拋物線 C： y2=4x上存在不同的兩點(diǎn) A， B滿足 PA， PB的中點(diǎn)均在 C上． （Ⅰ）設(shè) AB中點(diǎn)為 M，證明： PM 垂直于 y軸； （Ⅱ）若 P 是半橢圓 x2+=1(x8?8ln2； （Ⅱ）若 a≤ 3?4ln2，證明：對(duì)于任意 k0，直線 y=kx+a 與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn)． 【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析 . 【解析】 【分析】 分析 : （Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件解得 x1， x2 關(guān)系，再化簡(jiǎn) f(x1)+f(x2)為，利用基本不等式求得取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明不等式；（Ⅱ）一方面利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)有零點(diǎn)，另一 方面，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，即至多一個(gè)零點(diǎn) .兩者綜合即得結(jié)論 . 【詳解】詳解：（Ⅰ）函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù)， 由 ,得， 因?yàn)?，所以? 由基本不等式得． 因?yàn)?，所以? 由題意得． 設(shè)， 則， 所以 x （ 0， 16） 16 （ 16， +∞） 0 + 24ln2 所以 g（ x）在 [256， +∞）上單調(diào)遞增， 故， 即． （Ⅱ）令 m=， n=，則 f（ m） – km– a|a|+k– k– a≥ 0， f（ n） – kn– a0，直線 y=kx+a與曲線 y=f（ x）有唯一公共點(diǎn)． 點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略： (1) 構(gòu)造差函數(shù) .根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式 .（ 2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù) .一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù) . 第四篇： ok,精品解析： 18 屆 ,全國(guó)普通高等學(xué) 校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷）（解析版） 絕密★啟用前 2021 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時(shí) 120 分鐘。 《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一，凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，則當(dāng)時(shí)， ___________， ___________． 【答案】 (1) (2). 【解析】 【分析】 將代入解方程組可得、值 . 【詳解】 【點(diǎn)睛】實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，利用所學(xué)的知識(shí)將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類(lèi)問(wèn)題的突破口． 足約束條件則的最小值是 ___________，最大值是___________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 先作可行域，再平移目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，從而確定最值 . 【詳解】作可行域，如圖中陰影部分所示，則直線過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值，過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值 . 【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即用數(shù)形結(jié)合的思想解題 .需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界處取得 . △ ABC 中，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c．若， b=2，A=60176。 參考公式： 若事件 A， B互斥，則 若事件 A， B相互獨(dú)立，則 若事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p，則 n 次獨(dú) 立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 恰好發(fā)生 k次的概率 臺(tái)體的體積公式 其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積，表示臺(tái)體的高 柱體的體積公式 其中表示柱體的底面積，表示柱體的高 錐體的體積公式 其中表示錐體底面積，表示錐體的高 球的表面積公式 球的體積公式 其中表示球的半徑 選擇題部分（共 40 分） 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 4分，共 40 分。滿分 150 分。請(qǐng)考生在第 2 23 題中任 選一題作答。第 2 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。 （ 2）結(jié)合（ 1）問(wèn)可得 a， b 范圍，進(jìn)而得到 a+b 的最小值詳解：（ 1）的圖像如圖所示．（ 2）由（ 1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖像的畫(huà)法，考查由不 等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題。 （二）選考題：共 10 分，請(qǐng)考生在第 2 23 題中任選一題作答。 （ 2）先求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，解出 m，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解。 ，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（ 1）證明：平面平面； （ 2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．【答案】（ 1）證明見(jiàn)解析（ 2）存在，理由見(jiàn)解析【解析】【詳解】分析：（ 1）先證 ,再證，進(jìn)而完成證明。 ，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取 40名工人，將他們 隨機(jī)分成兩組，每組 20 人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位： min）繪制了如下莖葉圖： （ 1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由； （ 2）求 40 名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過(guò)不超過(guò)第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（ 3）根據(jù)（ 2）中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，【答案】（ 1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高 .理由見(jiàn)解析（ 2） 80（ 3）能【解析】【詳解】分析：（ 1）計(jì)算兩種生產(chǎn)方式的平均時(shí)間即可。 ________．【答案】 3【解析】【詳解】作出可行域平移直線，由圖可知目標(biāo)函數(shù)在直 線與的交點(diǎn)（ 2，3）處取得最大值 3 故答案為 ：本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分． 量，．若，則 ________．【答案】【解析】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可。 ，若的面積為，則 .【答案】 C【解析】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得。 詳解：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0），（ 1， 0）關(guān)于 x=1 對(duì)稱的點(diǎn)還是（ 1，0），只有過(guò)此點(diǎn)。 【詳解】解： 故選 D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。學(xué) 科網(wǎng)一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分．在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． ，則 .【答案】C【解析】【分析】由題意先解出集合 A,進(jìn)而得到結(jié)果。 ，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 .【答案】 A【解析】【詳解】詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯 眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形故俯視圖為故選 ：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。 故選項(xiàng) B 正確點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題。 詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選 ：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。 【詳解】由題可得 ,即故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。 ，則 ________．【答案】【解析】【分析】發(fā)現(xiàn)，計(jì)算可得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，且，則 .故答案為： 2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)解析式，計(jì)算發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，屬于中檔題 .三、解答題：共 70 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第 17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第 2 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答．學(xué)科 amp。 （ 2）計(jì)算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表。 （ 2）判斷出 P為 AM 中點(diǎn)，證明 MC∥ OP，然后進(jìn)行證明即可。 詳解：（ 1）設(shè) ，則，．兩式相減，并由得．由題設(shè)知，于是．由題設(shè)得，故．（ 2）由題意得 F（ 1， 0）．設(shè)，則．由（ 1