【導讀】模態(tài)分解的引入。Hilbert－Huang變換是基于信號局部特征的和自適應的，因。而是高效的，它特別適用于分析大量頻率隨時間變化的非線性、非平穩(wěn)信號。點飛翼問題、模態(tài)混疊問題、篩選終止條件問題。曲線擬合問題，深入地分析了以往解決方法。考慮到傳統(tǒng)基于曲線參數(shù)插值。則，提出了基于時頻譜嫡的篩選分量終止條件。實驗表明，采用時頻譜嫡準。對Hilbert變換求解瞬時幅度頻率算法進行改。Hilbert變換求解方法，能更準確地表征原始信號本身的頻率分布。

　　

【正文】 0 10001 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 4 圖 25 殘余 分量 上圖為 EMD 分解的過程圖。 EMD 的完備性可以由式 ()得到證明，由分解得到的各固有模態(tài)以及剩余分量能夠恢復信號本身，并且黃也證明了其誤差主要是由計算機的精度誤差導致的。 正交性是在 理論上是不滿足的，但在實際物理意義上是滿足的。利用分解，各分量之間是局部正交的，因各分量是由信號與其局部均值得到的，故 0)())()(( ?? txtxtx () 然而，式 ()不一定嚴格成立，因為均值是通過包絡求得的，所以它不是真實的均值。另外，每一個 IMF 分量只是信號中的一部分。由于上述的近似，泄露是不可避免的，但是其是很小的一部分。 同時， EMD 的正交性也可以由后驗數(shù)值計算進行檢驗。首先，將式 ()改寫為 : 24 ???? 11 )()( nj j tctx () 其中， )()( 1 tctr nn ?? 。對式 ()兩邊取平方 ? ?? ? ????? ?? ni n ij jinj j tctctctx 1 1 111 22 )()(2)()( () 如果分解是正交的，則式 ()右邊第二部分的交叉項應該是零，這樣我們得到一個整體正交 性系數(shù) IO，定義為 ?? ?????????????????????ToninijjitxtctcIo02111)()()( () 正交性也可定義到任意兩個 IMF 分量，如 cf(t)和 cg(t)，其正交性測量為 ?? ?? Ti gf gffg tctc tctcI 0 22 )()( )()(0 () 應當注意這里的正交性都是局部意義上的正交，對于某些特殊數(shù)據(jù)，相鄰的分量可能在不同的時間段上均有相近的頻率成分，因此從全局上并不正交。另外，由于數(shù)據(jù)是有限長的，即使具有不同頻率的純粹的正弦分量也不是完全正交的。 Hilbert時頻譜及邊際譜 得到了內(nèi)在模式函數(shù)分量后，對各分量進行 Hilbert 變換計算瞬時頻率是有意義的。對 IMF 的各個分量進行 Hilbert 變換以后，我們可以把數(shù)據(jù)表達如下 ： 25 ? ??? ni ii dttjtatx 1 ))(e x p ()(Re)( ? () 其中 Re 表示取實部。這里不考慮剩余分量 rn(t)，因為它是一個平均趨勢或者是一個常量式 ()給出的 各分量的幅度和頻率都是時間 t 的函數(shù)相同的數(shù)據(jù)如果用 Fourier 形式展開是帶有 ai和 i? 的常量 ： ??? ni tji ieaREtx 1)( ? () 可見， Fourier 變換是 Hilbert 變換的特殊形式。幅度變量和瞬時頻率不僅大大提高了展開的有效性，而且使之適合于非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。這樣，就打破了固定幅度與固定頻率的 Fourier 變換的限 制，得到了一個可變幅度與可變頻率的信號描述方法。 對每個固有模態(tài)函數(shù)進行 Hilbert 變換，求出瞬時頻率，得到 Hilbert 時頻譜 H(? ,t): ? ??? ni ii dttjtatH 1 ))(e x p ()(Re),( ?? () 同樣，可以得到 Hilbert 邊際譜 )(?h 如下 ： dttwHh Tj?? ),()(? () 式中， T 為信號的總長度。 ),( tH? 精確地描述了信號的幅值在整個頻率段上隨時間和頻率的變化規(guī)律，而 )(?h 反映了信號的幅值在整個頻率段上隨頻率的變化情況。 這里應當指出的是，不論是 ),( tH? 或是 )(?h 中的頻率都是與傅立葉分析中的頻率意義是完全不同的。在 Fourier 表達中，在某一頻率必處能量存在，代表了一個正弦或余弦波在整個時間長度上存在。這里，在某一頻率。處的能量存在，僅代表在數(shù)據(jù)的整個時間長度上，很可能有這樣一個頻率的振動 26 波在局部出現(xiàn)過 [19]。事實上， ),( tH? 是一個加權的聯(lián)合時間頻率幅度分布，在每一個時頻單元上 的權值就是局部幅度值。于是，在 )(?h 中某一頻率僅代表有這樣的頻率振動存在的可能性，發(fā)生的時間由 ),( tH? 精確給出。 Hilbert－ Huang 變換存在的問題 包絡線和均值曲線的擬合是 EMD 方法的關鍵問題，因其擬合結果直接關系到 EMD 方法的分解結果，同時也是 HHT 的關鍵問題，它在很大程度上將影響到該新理論的成熟和推廣應用。 EMD 方法的本質(zhì)是對一個信號進行平穩(wěn)化處理，其結果是將信號中不同尺度的波動或趨勢逐級分離開來，產(chǎn)生一系列具有不同尺度的數(shù)據(jù)信號。三次樣條插值法是現(xiàn)有文獻中包絡線擬合和均值曲線擬合所采用的常用方法。樣條插值是一種既能克服高次多項式插值的缺陷，又能保證一定光滑性的插值。它來源于工程中的樣條曲線，樣條插值在工程中很常用。但對非均勻插值點，三次樣條插值容易造成過沖和欠沖現(xiàn)象。實驗中發(fā)現(xiàn)用三次樣條插值法作為包絡線算法進行 HHT 分析時會出現(xiàn)明顯的虛假頻率，這是由三次樣條插值法的過沖和欠沖所致 [20]。如果采用直接擬合均值曲 線的方法可以降低過沖和欠沖現(xiàn)象，但有時后果仍然很嚴重。 Hilbert－ Huang 變換中存在兩種端點效應問題 ： 一種是篩選過程中上、下包絡曲線的端點飛翼 (end swing)； 另一種是利用 Hilbert 變換求解瞬時頻率 。關于 Hilbert 變換中的端點問題不作討論，本文主要討論包絡曲線引起的端點效應問題。 27 因為在每一次的篩選過程中，要根據(jù)信號的上、下包絡來計算信號的局部平均值 ； 上、下包絡是由信號的局部極大值和極小值通過樣條插值算法給出。由于信號兩端不可能同時處于極大值和極小值，因此上、 下包絡在數(shù)據(jù)信號的兩端不可避免地會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。以左端點為例，如果該點為極大值點，那么上包絡線可以把它作為左端終點，不會發(fā)生大幅度的擺動 ； 對于下包絡線由于左端點不是極小值點則無法確定它的左端終點，產(chǎn)生大幅度的擺動，給篩選過程引入誤差，并且這種發(fā)散的結果會隨著篩選過程的不斷進行逐漸向內(nèi) “污染 ”整個數(shù)據(jù)信號而使得所得結果嚴重失真。對于一個較長的數(shù)據(jù)信號來講，可以根據(jù)極值點的情況不斷拋棄兩端的數(shù)據(jù)來保證所得到的包絡的失真度最小。對于短數(shù)據(jù)信號來講，這樣的操作就變得完全不可行。 因此，在邊界處擬合包絡線或均值曲線時 需用到邊界外的極值點或信號，這些極值點或信號需要經(jīng)過分析人為給定，以確定邊界處信號的局部均值，這就是 HHT 中的邊界處理問題。在小波變換、卷積濾波或傅立葉頻譜等使用卷積濾波的信號分析方法中，只需采用加窗或延拓信號等簡單措施即可解決邊界問題，且其邊界處理的影響最多波及到距邊界一個窗寬的范圍內(nèi)，而不會影響到對信號內(nèi)部的分析結果。經(jīng)驗篩法的邊界處理問題相對復雜和困難，因為它需要確定邊界處的局部均值，這是簡單的加窗或延拓信號不能解決的。并且經(jīng)驗篩法的每次分解都需多次篩選，每次篩選又是用信號的極值點擬合信號的均值曲線， 其邊界處理的影響不只局限在邊界的有限范圍內(nèi)，而會向信號的內(nèi)部傳播，這就使得 HHT 中的邊界處理顯得尤為重要。 對于端點延拓問題，目前己提出了一些抑制解決方法，如采用支持向量回歸機對數(shù)據(jù)進行延拓 [21]、采用神經(jīng)網(wǎng)絡對數(shù)據(jù)進行延拓 [22]、采用 AR 型對數(shù)據(jù)延長 [23]、邊界波形匹配預測法 [24]、采用包絡的鏡像閉合延拓方法 [25]、采用最小二乘法的近似標準對信號兩端的數(shù)據(jù)多項式擬合延拓方法 [26]、極值點 28 延拓法 [27]及在端點處按照端點數(shù)據(jù)變化的 “平衡位置 ”附加兩條平行線段的方法 [28]等等。 要問題 實驗表明在經(jīng)驗篩法過程中時常會遇到模態(tài)混疊問題。雖然 Huang 等人和譚善文先后獨立提出了解決措施，但都還沒有對形成這種現(xiàn)象的原因作更進一步地分析。 Huang 等人在文獻 [10]中雖然指出 HHT 需用過采樣以提高瞬時頻率的精度，但也沒有對其原因加以理論說明。 HHT 的經(jīng)驗篩法按照特征時間尺度對信號進行有效的分解，一般情況下，隨著 IMF 階次的增大，相應的分解分量 IMF 的特征尺度也將變大，從而得時間尺度從小到大的 IMF 信號，表現(xiàn)在頻譜上為依次從高頻向低頻對信號進行濾波。所以當信號的時間尺度存在跳躍性變化時，就 無法根據(jù)特征尺度有效的分離出不同的模態(tài)成分，使得同一個 IMF 里，包含著多個模態(tài)，不能清晰地反映信號的內(nèi)在性質(zhì)。 很明顯，這是由于時間尺度特征在某段時間顯著變化引起的。模態(tài)混疊現(xiàn)象缺乏物理基礎，因為任何一個物理意義上的簡諧振動所產(chǎn)生的波形在周期上不可能有顯著突變。同時，由于模態(tài)混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)影響了它的工程應用。 Huang 等人和譚善文均發(fā)現(xiàn)了模態(tài)混疊現(xiàn)象，并各自提出了類似的解決方法，即在經(jīng)驗篩法時，每次分解規(guī)定分解尺度的上限。 Deering R 等人提出了一種采用掩模信號 (Masking Signal)解決 模態(tài)混疊問題的方法 [28]。該方法的基本思想如下 ： (1)利用原始信號 s(n)的頻率信息構造一個掩模信號 (masking signal)x(n)； (2)對信號 )()()( nxnsnx ??? 作 EMD 處理得到 IMF 分量 )(nz? ，對信號 29 )()()( nxnsnx ??? 作 E 抑處理得到 IMF 分量 )(nz? 。 (3)原始信號 s(n)的 IMF 分量為 2/))()(()( nznznz ?? ?? 。 在經(jīng)驗篩法中存在兩種終止條件 :一是篩選每一個 IMF 分量時的終止條件，稱為分量終止條件 ； 一是整個 EMD 分解過程的終止條件，稱為分解終止條件。 分解終止條件可以是以下兩個之一 ： 當最后一個分量或剩余分量氣 rn(t)幅值變成小到比預定值小時便停止 ； 或當剩余分量 rn(t)變成單調(diào)函數(shù)，從而不能從中再篩選出 IMF 為止。本文 采用 Huang 等人提出的，當剩余分量 rn(t)極值點少于 2 個時，分解結束。 分量的終止條件對算法的性能影響很大，它直接關系到 IMF 分量的物理意義和真實性。因為如果不對篩選過程的次數(shù)有所限制，那么過多的篩選次數(shù)可能使篩出的 IMF 變?yōu)橐粋€常幅值的調(diào)頻信號，從而使其失去物理意義。目前篩選的終止條件只是一個經(jīng)驗值，而沒有可靠的理論依據(jù)。不同的篩選終止條件，其分解所得固有模態(tài)函數(shù)的個數(shù)和幅值也不同，因此篩選終止條件直接關系到分解結果是否真實，如果篩法沒有可靠的理論依據(jù)將會導致分析結果不唯一或者錯誤的結果。 本 章小結 Hilbert－ Huang 變換是近幾年剛剛興起的一種非線性 、 非平穩(wěn)信號的時頻分析方法。本章系統(tǒng)地介紹了該方法的基本理論，從頻率的表示 — 瞬時頻率的定義出發(fā)，進而討論能夠使得瞬時頻率有意義的固有模態(tài)函數(shù) ； 然后，描述了經(jīng)驗模式分解算法的實現(xiàn)步驟 ； 分析了 EMD 的完備性和局部正交性。最 30 后總結了當前 Hilbert－ Huang 變換中存在的主要問題和改進方法。 31 第 3 章 Hilbert－ Huang 變換的綜合改進 經(jīng)驗模態(tài)分解是 Hilbert－ Huang 變換的關鍵算法，它分解信號的能力直接影響到 HHT 的實用性和應用價值。本章將引用 與 對EMD 方法的數(shù)值分析成果 [7]來重點討論它在分解信號上的局限性，并針對其模態(tài)混疊和易產(chǎn)生虛假分量的缺陷引入了 01hede S 的最大重疊離散小波包分解方法對信號進行自適應的窄帶預分解，同時參考了 等人的歸一化相關性甄別方法對低頻窄帶信號分解出的 IMF 進行篩選，形成了基于最大重疊離散小波包預分解的綜合改進方法。通過對實驗結果的觀察，驗證了其改進效果，根據(jù)實驗分析，本章的結尾還討論了此改進方法的適用性與局限性。 多頻信號分解的理論模型及仿真 考慮兩個正弦信號的疊加 )c o s ()c o s ()( 222111 ???? ???? tAtAtf (1) 式中 A1,A2分別是兩個正弦波的幅值， 01?A ， 02?A 。 21,?? 為相應的頻率，不妨設 21 ??? 。 )(tf 的一階和二階導數(shù)為 )s in ()s in ()( 22221111 ?????? ????? tAtAtf (2) 對于所有極值點，滿足 0)s i n ()s i n ( 22221111 ????? ?????? tAtA (3) 一般情況下，這個方程是一個非 線性方程，沒有解析解，也就沒有辦法通過解析解求出的包絡方程。 現(xiàn)在轉而推導包絡曲線應滿足的條件，設 t1是 )(tf 的任意一個極大值點，那么 t1滿足式（ 3）。式（ 3）平方可以得到 )(s in)(s in 22222221122121 ?????? ??? tAtA 32 既 )(c o s)(c o s 2222222222221211122121 ???????? ????? tAAAtA （ 4） 如果兩個正弦波的參數(shù)滿足 2211 ?? AA ? （ 5） 由式（ 4）可以得到 )c o s ()c o s ( 2122211111 ?????? ??? tAtA （ 6） 又根據(jù) 21 ??? ，所以 )c o s ()c o s ( 212222111211 ?????? ??? tAtA （ 7） 另一方面， t1是 )(tf 的任意一個極大值點，因此這一點的二階函數(shù)滿足 0)c o s ()c o s ()( 2122221112111 ???????? ?????? tAtAtf （ 8） 結合式（ 7）和式（ 8）可以得到 0)c o s ( 111211 ????? tA （ 9） 否則如果 0)c o s ( 111211 ????? tA （ 10） 那么 0)c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()(2122221112112122221112112122221112111??????????????????????????????????tAtAtAtAtAtAtf （ 11） 與式（ 8）矛盾，因此必然有式（ 9）成立。 結合式（ 1 ）， 式 （ 4 ） 和 式 （ 9 ）， 得 到 極 大 值 33 )(c o s1)c o s ()( 2122222222222121121221 ???????? ?????? tAAAtAtf （ 12） 因此，在理想擬合情況下，極大值構成的包絡為 )(c o s1)c o s ()( 22222222222212112122 ???????? ?????? tAAAtAtf u p p e r （ 13） 同理可以得到極小值構成的包絡為 )(c o s1)c o s ()( 22222222222212112122 ???????? ?????? tAAAtAtf lo w e r （ 14） 極大值包絡和極小值包絡的平均值既平均包絡 )(21lo w e rup pe rffm ?? )co s ( 222 ?? ?? tA （ 15） 既為相當?shù)牡皖l分量。 殘余分量為 )c o s ()( 111 ?? ???? tAmtfr （ 16） 即為相當?shù)母哳l分量。 因此，一定條件下，