【正文】 及到局部時間尺度，這是不可能定義的，因此用信號極大值和極小值確定的包絡(luò)線的均值逼近信號的均值，并認為這種逼近效果即使在最壞的情況下，用 DPAS 定義算出的瞬時頻率也與物理意義一致。這種方法的本質(zhì)是通過信號特征尺度來獲取固有模態(tài)函數(shù)。即使擬合過程做得非常好，信號斜坡上的一個微小凸點或凹點，也 會把局部零均值從直線變?yōu)榍€時被放大為新的局部極值點，這些新的極值點正是前一次篩選過程中遺漏的，因此需要反復(fù)篩選以恢復(fù)所有低幅值的疊加波。如果把分解后的各分量合并，就可以重構(gòu)原始信號 x(t)： 20 ?? ?? ni ni trtctx 1 )()()( () 于是，通過 EMD 可以將原始數(shù)據(jù)分解成 n 個固有模態(tài)分量，及一個剩余分量 rn(t)，該分量或者代表信號的一個平均趨勢或 者是一個常量。另外，每一個 IMF 分量只是信號中的一部分。這里不考慮剩余分量 rn(t)，因為它是一個平均趨勢或者是一個常量式 ()給出的 各分量的幅度和頻率都是時間 t 的函數(shù)相同的數(shù)據(jù)如果用 Fourier 形式展開是帶有 ai和 i? 的常量 ： ??? ni tji ieaREtx 1)( ? () 可見， Fourier 變換是 Hilbert 變換的特殊形式。處的能量存在，僅代表在數(shù)據(jù)的整個時間長度上，很可能有這樣一個頻率的振動 26 波在局部出現(xiàn)過 [19]。但對非均勻插值點，三次樣條插值容易造成過沖和欠沖現(xiàn)象。對于一個較長的數(shù)據(jù)信號來講，可以根據(jù)極值點的情況不斷拋棄兩端的數(shù)據(jù)來保證所得到的包絡(luò)的失真度最小。雖然 Huang 等人和譚善文先后獨立提出了解決措施，但都還沒有對形成這種現(xiàn)象的原因作更進一步地分析。 Deering R 等人提出了一種采用掩模信號 (Masking Signal)解決 模態(tài)混疊問題的方法 [28]。目前篩選的終止條件只是一個經(jīng)驗值，而沒有可靠的理論依據(jù)。 多頻信號分解的理論模型及仿真 考慮兩個正弦信號的疊加 )c o s ()c o s ()( 222111 ???? ???? tAtAtf (1) 式中 A1,A2分別是兩個正弦波的幅值， 01?A ， 02?A 。 殘余分量為 )c o s ()( 111 ?? ???? tAmtfr （ 16） 即為相當(dāng)?shù)母哳l分量。本章將引用 與 對EMD 方法的數(shù)值分析成果 [7]來重點討論它在分解信號上的局限性，并針對其模態(tài)混疊和易產(chǎn)生虛假分量的缺陷引入了 01hede S 的最大重疊離散小波包分解方法對信號進行自適應(yīng)的窄帶預(yù)分解，同時參考了 等人的歸一化相關(guān)性甄別方法對低頻窄帶信號分解出的 IMF 進行篩選，形成了基于最大重疊離散小波包預(yù)分解的綜合改進方法。 分量的終止條件對算法的性能影響很大，它直接關(guān)系到 IMF 分量的物理意義和真實性。同時，由于模態(tài)混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)影響了它的工程應(yīng)用。 對于端點延拓問題，目前己提出了一些抑制解決方法，如采用支持向量回歸機對數(shù)據(jù)進行延拓 [21]、采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對數(shù)據(jù)進行延拓 [22]、采用 AR 型對數(shù)據(jù)延長 [23]、邊界波形匹配預(yù)測法 [24]、采用包絡(luò)的鏡像閉合延拓方法 [25]、采用最小二乘法的近似標(biāo)準(zhǔn)對信號兩端的數(shù)據(jù)多項式擬合延拓方法 [26]、極值點 28 延拓法 [27]及在端點處按照端點數(shù)據(jù)變化的 “平衡位置 ”附加兩條平行線段的方法 [28]等等。由于信號兩端不可能同時處于極大值和極小值，因此上、 下包絡(luò)在數(shù)據(jù)信號的兩端不可避免地會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。樣條插值是一種既能克服高次多項式插值的缺陷，又能保證一定光滑性的插值。在 Fourier 表達中，在某一頻率必處能量存在，代表了一個正弦或余弦波在整個時間長度上存在。 Hilbert時頻譜及邊際譜 得到了內(nèi)在模式函數(shù)分量后，對各分量進行 Hilbert 變換計算瞬時頻率是有意義的。 正交性是在 理論上是不滿足的，但在實際物理意義上是滿足的。將 c1(t)從原始信號 x(t)中分離出，得到剩余分量 r1(t)： ? ? )()( 11 trtctx ?? () 把 r1(t)作為新的原信號重復(fù)以上過程，得到如下結(jié)果 ： )()()( 221 trtctr ?? () )()()(1 trtctr nnn ??? 依次提取第 2 個固有模態(tài)函數(shù) c2(t)，重復(fù) n 次，直至第 n 個固有模態(tài)函數(shù) (t)。但由于在擬合過程中，過沖 (overshoot)和欠沖(undershoot)的影響，會導(dǎo)致新的極值點，或者平移和放大已有的極值點。為了得到這樣的固有模態(tài)函數(shù)， Huang 等人提出經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法。固有模態(tài)或固有模態(tài)函數(shù) (Intrinsic Mode Function， IMF)是滿足以下兩個條件的信號 [17]： (1)整個信號中，零點數(shù)與極點數(shù)相等或至多相差 1； (2)信號上任意一點，由局部極大值點確定的包絡(luò)線和由局部極小 值點確定的包絡(luò)線的均值均為零，即信號關(guān)于時間軸局部對稱。根據(jù)這個表達式， Cohen(1995)認為 )(t?? 就是瞬時頻率。問題是并沒有明確的定義來區(qū)分一個信號是否是單分量信號。 同傳統(tǒng)的傅里葉分析定義的全局時間尺度不同，以上三種測量時間尺度的方法能夠局部描繪信號的變化。 EMD 方法使用的時間尺度是極值點間隔，它當(dāng)然提供了一個很好的對時間尺度測量的方法。這種定義僅僅給出了時間和能量尺度的全局均值。通過基于固有模態(tài)函數(shù)的信號展開，幅度與頻率調(diào)制也被清楚地分開。而經(jīng) EMD 分解得到的各 IMF 分量都是平穩(wěn)的，因此基于這些 IMF 分量進行 Hilbert 變換后得到 的結(jié)果能夠反映真實的物理過程。非平穩(wěn)信號的分析是目前信號分析領(lǐng)域中的一個熱門課題。此時，便可以使用概率論中的矩的概念來量化描述信號的性能，使用一階矩定義信號譜的平均頻率 ： ??????????????? ?? dffZdffZfdffZfEf 22)()()(1 2 () 和瞬時頻率的時間平均 .)( )()()()(1 222??????????????? ?? dttzdttztfdftztfEf () 文獻 [l7]中， Ville 證明了 :信號譜的平均頻率等于瞬時頻率的時間平均，即iff? 。單分量信號在任意時刻只有一 個頻率，該頻率稱為信號的瞬時頻率。時寬 T 在時域的作用和帶寬B 在頻域的作用相同。這意味著復(fù)信號 (z)t的頻譜應(yīng)該具有下列形式 ： ?????????0,00),(0),(2)(fffSffSfZ （ ） 比較式 ()和式 ()容易看出，只要選擇濾波器的傳遞函數(shù)滿足下式即可 ： ??????????0,0,00,)(fjffjfH （ ） =j? sgn(f) 式中 ???????????0,10,00,1)s g n (ffff （ ） 為符號函數(shù)。 6 基礎(chǔ)知識 在非平穩(wěn)信號的分析與處理中，實際信號往往是實的，但卻需要把它轉(zhuǎn)換成復(fù)信號后進行數(shù)學(xué)表示與分析。 文中 證明了 IMF 的完備性和正交性，并給出了 EMD 的步驟如 u0(t)和下包絡(luò) v0(t)。 HilbertHuang 變換雖然是近幾年才提出的一種新的時間序列信號分析方法，但已經(jīng)引起了人們的廣泛關(guān)注 ，己成為信號分析領(lǐng)域的熱門話題。它能解決頻率漸進波間的頻率調(diào)制問題而不能解決波內(nèi)頻率調(diào)制問題。這便是子波分析的思想。 在信號的時頻分析中，使用最早的是短時 Fourier 變換。 實際中遇到的信號往往都是非平穩(wěn)信號。 51 附 錄 24 Hilbert－ Huang 變換存在的問題 23 Hilbert 時頻譜及邊際譜 I ABSTRACT 考慮到傳統(tǒng)基于曲線參數(shù)插值擬合方法對極值點的敏感性，將支持向量回歸機引入均值曲線擬合，提出了一種基于支持向量回歸機擬合局部均值曲線的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法。針對經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解中均值曲線擬合問題，深入地分析了以往解決方法。 II 第 1 章 緒 論 6 瞬時頻率與群延遲 26 端點效應(yīng)問題 28 篩選終止條件問題 39 本章小結(jié) 40 第 4 章 EMD 求包絡(luò)的算法 48 致 謝 即 Fourier 變換分析方法只適用于統(tǒng)計量不隨時間變化的平穩(wěn)信號，這一缺陷導(dǎo)致在信號分析中長期存在時域與頻域局部化的矛盾。 與 Fourier 變換不同，時頻分析是將信號變換到時頻域上，可將時域分析和頻域分析結(jié)合起來，既能反映信號的頻率內(nèi)容，又能反映頻率內(nèi)容隨時間的變化規(guī)律。這樣便可以得到更好的分析結(jié)果。目前，最廣泛應(yīng)用的 Morlet 小波是基于 Fourier 分析得到的，它只能對線性信號做出有效物理解釋。而且能描繪出信號的時頻圖、時頻譜和幅值譜，是一種更具適應(yīng)性的時頻局部化分析方法。 IMF 需具有以下兩個特點 ： (a)其極值點 (極大值和極小值 )數(shù)目與跨零點數(shù)目相等或最多相差一個 ； (b)由其局部極大值構(gòu)成的上包絡(luò)和由其局部極小值構(gòu)成的下包絡(luò)的平均值為 0。可以預(yù)測，在不遠的將來該方法必將在更多的研究領(lǐng)域中發(fā)揮巨大作用。對上式兩邊作 Fourier 變換，則得頻譜表達式為 )].(1)[()()()()( fHfSfHfjSfSfZ ???? （ ） 對于窄帶信號而言，常保留該信號頻譜的正頻率部分，而剔除負頻率部分 (為使信號總能量不變，需要將正頻率的頻譜幅值加倍 )。 9 所有實際的信號都有一個起點和一個終點。 從物理學(xué)的角度，信號可分為單分量和多分量信號兩大類。 10 令 E 代表信號 z(t)的總能量，即 ?? ???????? ??? EdftZdttztz 222 )()()( () 因此，歸一化的函數(shù) Etz /)( 2 和 EtZ /)( 2 ，加即可分別定義成信號 ： z(t)在時域和頻率的能量密度函數(shù)。 本 文的主要工作 本章主要講的是 HilberHuang 的發(fā)展史，以及和 Fourier 變換的關(guān)系，實際中遇到的信號往往都是非平穩(wěn)信號。對于一個非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)信號來講， Hilbert 變換得到的結(jié)果很大程度上失去了原有的物理意義。階數(shù)越低，其含有的高頻成分越多。在 Four1er 分析中，時間尺度被定義為連續(xù)、等幅三角函數(shù)分量的周期。兩個連續(xù)的極值點的時間間隔就是極點時間尺度 (the extrema time scales)。稱兩個連續(xù)的曲率極值點的時間間隔，為曲率時間尺度 (the curve time Scales)。相應(yīng)的，多分量信號是指在某些時刻具有多個不同的瞬時頻率，不能應(yīng)用式 (2－ 2)計算。對于解析信號)()()( tjetatz ?? ，其中 z(t)和 a(t)都是時間的函數(shù)，若該解析信號的頻譜為 Z(? )，那么其平均頻率為 ???? dZ 2)(????? () 還可以用下式給出 ??? ????????? ???? dttatdttata tajtdttzjtz )()()())( )()(()(1)( 222 ??? ??? () 其中 )(t?? ， )(ta? 分別表示護 ? (t)， a(t)的導(dǎo)數(shù)。 Huang 等人在總結(jié)了瞬時頻率有意義的單分量信號應(yīng)滿足的條件的基礎(chǔ)上，提出了固有模態(tài)信號的新概念。據(jù)此概念的定義可知，固有模態(tài)函數(shù)的每一個波動周期，只有一個波動的模式，不存在多個波動模式混疊的現(xiàn)象，因此其瞬時頻率是有意義。 對上