【文章內容簡介】 tTrnasform)通過一種可伸縮和平 移小波對信號作變換達到了時頻局部化分析的目的。小波分析是一種在時域對信號進行離散變換，在頻域進行譜分析的方法。它具有高分辨率的特點，而且在時、頻兩域都具有表征信號局部特征的能力。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在 3 高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，所以被譽為分析信號的顯微鏡和望遠鏡。但是，小波分析中所用到的小波函數(shù)是不唯一的，小波變換本質上是一種窗口可調的 Fourier 變換，其小波窗內的信號必須是平穩(wěn)的，因而沒有擺脫 Fourier 變換 的局限。目前，最廣泛應用的 Morlet 小波是基于 Fourier 分析得到的，它只能對線性信號做出有效物理解釋。它能解決頻率漸進波間的頻率調制問題而不能解決波內頻率調制問題。而且小波基的有限長會造成信號能量的泄漏，使信號的能量一頻率一時間分布很難定量給出。另外，小波變換是非適應性的，小波基一旦選定，在整個信號分析過程中就只能使用一個小波基。有時小波變換的解釋也不直觀，例如，用小波變換時，為了確定某一信號的局部變化，即使這一局部變換只是發(fā)生在低頻范圍內，也必須從高頻范圍內開始去尋找這一結果，因為頻率越高，小波變換 局部化特性越好 [3][4][5]。 1998 年，美籍華人 Norden 等提出了 HilbertHuang 變換（ HHT：HilbertHuang Transform）。 它是一種分析非線性、非穩(wěn)定信號的新方法。該方法分析信號的思想不同于 Fourier 變換分析信號的思想，從根本上克服了Foureir 變換的局限性。而且能描繪出信號的時頻圖、時頻譜和幅值譜，是一種更具適應性的時頻局部化分析方法。 HilbertHuang 變換雖然是近幾年才提出的一種新的時間序列信號分析方法，但已經引起了人們的廣泛關注 ，己成為信號分析領域的熱門話題。已有眾多學者和科研機構都投入到 HilbertHuang 變換研究中來，如 NASA，青島海洋大學也己建立了相關的實驗室。 目前，國內外學者的研究主要集中在兩個方面 :一是 HilbertHuang 變換方法的改進和完善，包括如何選取固有模態(tài)函數(shù)分離的終止標準，如何選取包絡線的構造中的插值方法，以及如何降低端點飛翼現(xiàn)象 (End swing 4 pheonmena，端點出現(xiàn)過大或甚小振幅的現(xiàn)象，稱之為端點飛翼現(xiàn)象 )的影響[6][7][8][9]等幾個方面 。一是把 Hilbert－ Huang變 換推廣應用于其他領域的非平穩(wěn)信號分析，進一步驗證了 Hilbert－ Huang 變換在處理非平穩(wěn)信號時的優(yōu)越性。目前 Hilbert－ Huang 變換己被應用于生物工程 [10]，海洋 (洶涌，亂流 )[11]，金融 [12]，系統(tǒng)健康檢測以及系統(tǒng)辨識 [13]等方面的非平穩(wěn)信號分析。 Hilbert－ Huang 變換發(fā)展史 Hilbert－ Huang 變換是由 Huang 變換和 Hilbert 譜分析兩部分組成。 Huang 變 換 的 核 心 是 經 驗 模 態(tài) 分 解 (EMD ： Empirieal Mode Deeoniposition)，把復 雜的信號分解成從高頻到低頻的若干個固有模態(tài)函數(shù)(IMF:Intrinsie Mode Function)。 IMF 需具有以下兩個特點 ： (a)其極值點 (極大值和極小值 )數(shù)目與跨零點數(shù)目相等或最多相差一個 ； (b)由其局部極大值構成的上包絡和由其局部極小值構成的下包絡的平均值為 0。 文中 證明了 IMF 的完備性和正交性，并給出了 EMD 的步驟如 u0(t)和下包絡 v0(t)。記上、下包絡的均值曲線為 m0(t)，即 m0(t)= 2 )()( 00 tvtu ? . () 記 下 ： 對任意信號 s(t)，首先求出 (s)t 的上包絡 h1(t)=s(t)m0(t), () 判斷 h1(t)是否滿足條件 (a)和 (b)，若滿足，則得到第一個 IMF， c1=h1(t)； 否則令 s(t)=h(t)，重復上述運算。第 k 步 ， sk(t)=hk(t) () 5 記 mk(t)= 2 )()( tvtu kk ? ,uk(t)和 vk(t)分別為 sk(t)的上下包絡 ， 令 hk+1(t)=sk(t)mk(t). () 重復以上操作 ， 直到 hk+1(t)滿足條件 (a)和 (b)時得到一個 IMF， 記為 c1(t)=hk+1(t)。作計算 r(t)=s(t)c1(t)，對 r(t)重復以上過程，依次得到第二個 IMFc2(t)，第三個IMFc3(t)， …… ，直到 r(t)為一單調信號或其值小于預先給定的值時， EMD 分解結束。由此得 s(t)的分解 式 s(t)=?? ?ni ii trtc1 )()( () 對每個 ci(t)作 Hilbert 變換，得 1~c =?1 ??? dtci????? ?)(. () 由于解析信號 ci(t) +j ic~ (t)可化為 ai(t) )(tije? 的形式，故 s(t)=Re???nitji ieta1)()( =Re???nidttwji jeta1)()( , () 其中 j= 1? ,這里省略了 r(t),Re 表示取實部。展開（ ）為 Hilbert 譜，記為 H（ t,? ） =???nidttji ieta1)()( ? ( ) 由 Hilbert－ Hunag 變換的具體過程可以看出， Hilbert－ Hunag 變換對于信號具有多分辨特性，是一種更具自適應性質的時 頻局部化特性的分析方法。Hilbert－ Hunag 變換自推出以來己經成功地應用在湍流、地震等許多非線性研究領域?？梢灶A測，在不遠的將來該方法必將在更多的研究領域中發(fā)揮巨大作用。 6 基礎知識 在非平穩(wěn)信號的分析與處理中，實際信號往往是實的，但卻需要把它轉換成復信號后進行數(shù)學表示與分析。特別是，某些重要的瞬時物理量和時頻表示就直接使用待分析實信號的復信號形式作定義。那么，為什么需要這樣的轉換呢 ? 當信號 s(t)為實信號時，其頻譜 dtetsfS ftj????? ?? ?2)()( （ ） 具有共軛對稱性，因為 ).()()( 2* fSdtetsfS fti ??? ????? ? （ ） 從有效信息的利用角度看問題，實信號的負頻率頻譜部分完全是冗余的，因為它可以從正頻率的頻譜獲得。將實信號的負頻率頻譜部分去掉，只保留正頻率頻譜部分，信號占有的頻帶減少一半，有利于無線通信 (稱為單邊帶通信 )等。只保留正頻率頻譜部分的信號，其頻譜不再存在共扼對稱性，所對應的時域信號應為復信號。 解析信號 表示復信號 z(t)的最簡單方法是用給定的實信號 s(t)作其實部，并另外構造虛部 )(~ts ,既 )(~)()( tsjtstz ?? () 構造虛部雙 )(~ts 的最簡單的方法是用原實信號是 s(t)去激勵一濾波器，用輸出作虛部。不妨令濾波器的沖激響 應為 h(t)，則 ,)()()()()(~ ??? dhtsthtsts ????? ???? () 7 既復信號可表示為 ),()()()( thtjststz ??? （ ） 式中 ? 表示函數(shù)的卷積。對上式兩邊作 Fourier 變換，則得頻譜表達式為 )].(1)[()()()()( fHfSfHfjSfSfZ ???? （ ） 對于窄帶信號而言，常保留該信號頻譜的正頻率部分，而剔除負頻率部分 (為使信號總能量不變，需要將正頻率的頻譜幅值加倍 )。這意味著復信號 (z)t的頻譜應該具有下列形式 ： ?????????0,00),(0),(2)(fffSffSfZ （ ） 比較式 ()和式 ()容易看出，只要選擇濾波器的傳遞函數(shù)滿足下式即可 ： ??????????0,0,00,)(fjffjfH （ ） =j? sgn(f) 式中 ???????????0,10,00,1)s g n (ffff （ ） 為符號函數(shù)。 再進行 Fourier 反變換可獲得濾波器的沖激響應為 .12)()( tdffjefHth t ?? ?? ????? （ ） 8 將式 ()代入式 ()，又有 ttstsHts ?1)()]([)(~ ??? （ ） ???? dts????? ?? )(1 式中 r 為實的變量，而 H[s(t)]表示實信號 s(t)的 Hilbert 變換。 如果已知 Hlibert 變換 )(~ts ， 則也可由它恢復原實信號 ： .)(~1)(~1)( ????? dtststts ????? ?????? （ ） 定義 (解析信號 )[1]與實信號 s(t)對應的解析信號 (analysis signal)sA(t)定義為 sA(t)=s(t)+jH[s(t)]，且了 )(~rs =H[s(t)]是 s(t)的 Hilbert 變換。 Hilbert 變換具有以 下性質 性質 1 信號 (s)t 通過 Hilbert 變換后，信號頻譜的幅度不發(fā)生變化。 性質 2 )].(~[)( tsHts ?? 性質 3 若 x(t)， x1(t)， x2(t)的 Hilbert 變換分別為牙 ),(~),(~),(~ 21 txtxtx 且 x(t)=xl(t)? x2(t)，則 ).(~)()()()(~)(~ 21121 txtxtxtxtxtx ????? 性質 4 )]}([{)]([)],([)( 22 tsHHtsHtsHts ??? 其中. 瞬時頻率與群延遲 信號的重要特性包括 : ?帶寬 。m inm ax ffB ?? ?存在于帶寬 B 內的所有頻率 (從最低頻率 fmin 到最高頻率 fmax)。在這些頻率處的信號相對幅度 ； ?所有頻率發(fā)生的時間 ； ?信號的持續(xù)時間 T，簡稱時寬。 9 所有實際的信號都有一個起點和一個終點。時寬 T 在時域的作用和帶寬B 在頻域的作用相同。對于 0tT，我們希望知道信號的能量是如何分布的，這就是信號的所謂頻率特性。 “頻率 ”是我們在工程和物理學中最常用的技術術語之一。在平穩(wěn)信號的分析與處理中，當我們提到頻率時，指的是 Fuorier 變 換的參數(shù)一一圓頻率 f或角頻率 ? ，它們與時間無關。然而，對于非平穩(wěn)信號而言， Fourier 頻率不再是合適的物理量。這里有兩個原因 ： （ 1） 非平穩(wěn)信號不再簡單地用 Fourier 變換作分析工具 ； （ 2） 非平穩(wěn)信號的頻率是隨時間變化的。 因此，我們需要使用另一個頻率概念，它就是瞬時頻率。 從物理學的角度，信號可分為單分量和多分量信號兩大類。單分量信號在任意時刻只有一 個頻率，該頻率稱為信號的瞬時頻率。多分量信號則在某些時刻具有多個不同的瞬時頻率。瞬時頻率最早是由 carosn 與 Fry[15]和Gabor[16]分別定義的，而且兩種定義不同。后來， ville[17]統(tǒng)一了這兩種不同的定義，將信號 )](c o s [)()( ttats ?? 的瞬時頻率定義為 )]([ ar g21)( tzdtdtfi ?? , () 式中，下標 i 代表瞬時 (instantaneous)，而 z(t)是實信號 s(t)的解析信號。即是說瞬時頻率定義為解析信號 z(t)的相位的導數(shù)。式 ()有很明確的物理意義 ： 解析信號 z(t)表示復平面的一向量，而瞬時頻率則表示該向量幅角的轉速(以單位時間轉動多少周計，如以弧度為單位，則應乘以 2? )。 Vine 進一步注意到 :由于瞬時頻率是時變的 ， 所以應該存在有與瞬時頻率相對應的瞬時譜，并且該瞬時譜的平均頻率即為瞬時頻率。 10 令 E 代表信號 z(t)的總能量，即 ?? ???????? ??? EdftZdttztz 222 )()()( () 因此，歸一化的函數(shù) Etz /)( 2 和 EtZ /)( 2 ，加即可分別定義成信號 ： z(t)在時域和頻率的能量密度函數(shù)。此時，便可以使用概率論中的矩的概念來量化描述信號的性能，使用一階矩定義信號譜的平均頻率 ： ??????????????? ?? dffZdffZfdffZfEf 22)()()(1 2 () 和瞬時頻率的時間平均 .)( )()()()(1 222??????????????? ?? dttzdttztfdftztfEf () 文獻 [l7]中， Ville 證明了 :信號譜的平均頻率等于瞬時頻率的時間平均，即iff? 。 與時域信號 z(t)對應的瞬時物理量為瞬時頻率，而與頻率信號 Z(f)對應的瞬時物理量稱為群延遲 )(fg? 。 群延遲表示頻譜 Z(f)中頻率為 f 的各個分量的延遲 ,定義為 ： )],(ar g [21)( fZdfdfg ?? ?? () 式中 argZ[(f)] 為 信 號 z(t) 的 相 位 譜 。 若 )()()( fjefAfZ ?? ，則)()](arg[ ffZ ?? 。 和瞬時頻率一樣，群延遲也有自己的物理解釋。如果信號 為線性相位，且其初始相位為零，則信號作不失真的延遲，其延遲時間為該線性相位特性的負斜率，即式 ()。雖然一般信號并不具有線性相位特性，但某一頻率附 11 近很窄的頻帶內的相位特性仍然可以近似看成是線性的，所以用其相位特性的斜率作這些分量的群延遲是合理的。 本 文的主要工作 本章主要講的是 HilberHuang 的發(fā)展史，以及和 Fourier 變換的關系，實際中遇到的信號往往都是非平穩(wěn)信號。非平穩(wěn)信號的分析是目前信號分析領域中的一個熱門課題。雖然 Kalmna 濾波、 RLS 算法等自適應濾波也適合于非平穩(wěn)信號 的處理，但只限于慢時變信號的跟蹤，并不能得到時變信號的統(tǒng)計量 (如功率譜等 )等結果。換言之，這些信號處理方法不能滿足非平穩(wěn)信號分析的特殊要求。因此，尋找一種能使信號在時域和頻域上同時局部化的時頻分析法一直是信號分析所期待的。我們希望當分析非線性、非平穩(wěn)信號時，不僅能獲知信號的頻率內容，還能獲知其頻率內容隨時間的變化規(guī)律。這便是時頻分析所要解決的問題。 12 第 2 章 Hilbert 一 Huang 變換的基本理論 概述 Hilbert－ Huang 變換 (Hilbert－ Huang Transform， HHT)是 1998 年 Huang等人提出的一種新的信號分析理論，其提出了固有模態(tài)函數(shù) (Intrinsic Mode Function， IMF)并引入了經驗模態(tài)分解方法 (Empircal Mode Deposition ，EMD)，特別適用于分析現(xiàn)實生活中普遍存在的大量頻率隨時間變化的非線性、非平穩(wěn)信號 []。對于一個非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)信號來講， Hilbert 變換得到的結果很大程度上失去了原有的物理意義。而經 EMD 分解得到的各 IMF 分量都是平穩(wěn)的，因此基于這些 IMF 分量