【正文】 一個(gè) IMF 時(shí)要反復(fù)篩選。 在討論 Hilbert－ Huang 變換具體算法之前，本文必須澄清瞬時(shí)頻率和固有模態(tài)函數(shù)等基本概念。在數(shù)學(xué)上，對(duì)任何數(shù)據(jù) x(t)，時(shí)間尺度定義如 下，即對(duì) 0)( ?tx () 定義了所有 t 時(shí)刻函數(shù)過(guò)零點(diǎn)的時(shí)間位置。 因?yàn)橛行┹p微的振蕩可能在局部產(chǎn)生變化，但并不產(chǎn)生局部極值點(diǎn)，這種現(xiàn)象是隱含的尺度。 固有模態(tài)函數(shù) 雖然 ，瞬時(shí)頻率的 DPAS 定義到目前為止被公認(rèn)為是相對(duì)最合理的定義。于是參數(shù) V 被定義為 2202220422021 11 Vmm mmmNN ?? ???? () 上式給出了帶寬的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量方法。結(jié)果，由于帶寬的限制，通過(guò) DPAS定義獲得瞬時(shí) 頻率的方法沒(méi)有被嚴(yán)格建立起來(lái)。按這一定義純粹的率和幅值調(diào)制函數(shù)都可以是 IMF，即使按傳統(tǒng)定義它 們有一定的帶寬。根據(jù)特征尺度的概念， EMD 采用 “篩 ”選的方法從原始信號(hào)中將固有模態(tài)函數(shù)分離出來(lái) [18]。 IMF 的上述兩個(gè)特征，也即 EMD 分解結(jié)束的收斂準(zhǔn)則。 圖 21 為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｌ胤纸饨Y(jié)果的一個(gè)完整例子，其中， s 為原信號(hào)， c1c5為固有模態(tài)， res 為殘余分量。 同時(shí)， EMD 的正交性也可以由后驗(yàn)數(shù)值計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)。這樣，就打破了固定幅度與固定頻率的 Fourier 變換的限 制，得到了一個(gè)可變幅度與可變頻率的信號(hào)描述方法。于是，在 )(?h 中某一頻率僅代表有這樣的頻率振動(dòng)存在的可能性，發(fā)生的時(shí)間由 ),( tH? 精確給出。如果采用直接擬合均值曲 線的方法可以降低過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象，但有時(shí)后果仍然很嚴(yán)重。 因此，在邊界處擬合包絡(luò)線或均值曲線時(shí) 需用到邊界外的極值點(diǎn)或信號(hào)，這些極值點(diǎn)或信號(hào)需要經(jīng)過(guò)分析人為給定，以確定邊界處信號(hào)的局部均值，這就是 HHT 中的邊界處理問(wèn)題。 HHT 的經(jīng)驗(yàn)篩法按照特征時(shí)間尺度對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的分解，一般情況下，隨著 IMF 階次的增大，相應(yīng)的分解分量 IMF 的特征尺度也將變大，從而得時(shí)間尺度從小到大的 IMF 信號(hào)，表現(xiàn)在頻譜上為依次從高頻向低頻對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。 (3)原始信號(hào) s(n)的 IMF 分量為 2/))()(()( nznznz ?? ?? 。 本 章小結(jié) Hilbert－ Huang 變換是近幾年剛剛興起的一種非線性 、 非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法。 )(tf 的一階和二階導(dǎo)數(shù)為 )s in ()s in ()( 22221111 ?????? ????? tAtAtf (2) 對(duì)于所有極值點(diǎn)，滿足 0)s i n ()s i n ( 22221111 ????? ?????? tAtA (3) 一般情況下，這個(gè)方程是一個(gè)非 線性方程，沒(méi)有解析解，也就沒(méi)有辦法通過(guò)解析解求出的包絡(luò)方程。式（ 3）平方可以得到 )(s in)(s in 22222221122121 ?????? ??? tAtA 32 既 )(c o s)(c o s 2222222222221211122121 ???????? ????? tAAAtA （ 4） 如果兩個(gè)正弦波的參數(shù)滿足 2211 ?? AA ? （ 5） 由式（ 4）可以得到 )c o s ()c o s ( 2122211111 ?????? ??? tAtA （ 6） 又根據(jù) 21 ??? ，所以 )c o s ()c o s ( 212222111211 ?????? ??? tAtA （ 7） 另一方面， t1是 )(tf 的任意一個(gè)極大值點(diǎn)，因此這一點(diǎn)的二階函數(shù)滿足 0)c o s ()c o s ()( 2122221112111 ???????? ?????? tAtAtf （ 8） 結(jié)合式（ 7）和式（ 8）可以得到 0)c o s ( 111211 ????? tA （ 9） 否則如果 0)c o s ( 111211 ????? tA （ 10） 那么 0)c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()(2122221112112122221112112122221112111??????????????????????????????????tAtAtAtAtAtAtf （ 11） 與式（ 8）矛盾，因此必然有式（ 9）成立。最 30 后總結(jié)了當(dāng)前 Hilbert－ Huang 變換中存在的主要問(wèn)題和改進(jìn)方法。 分解終止條件可以是以下兩個(gè)之一 ： 當(dāng)最后一個(gè)分量或剩余分量氣 rn(t)幅值變成小到比預(yù)定值小時(shí)便停止 ； 或當(dāng)剩余分量 rn(t)變成單調(diào)函數(shù)，從而不能從中再篩選出 IMF 為止。 很明顯，這是由于時(shí)間尺度特征在某段時(shí)間顯著變化引起的。經(jīng)驗(yàn)篩法的邊界處理問(wèn)題相對(duì)復(fù)雜和困難，因?yàn)樗枰_定邊界處的局部均值，這是簡(jiǎn)單的加窗或延拓信號(hào)不能解決的。關(guān)于 Hilbert 變換中的端點(diǎn)問(wèn)題不作討論，本文主要討論包絡(luò)曲線引起的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題。 EMD 方法的本質(zhì)是對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，其結(jié)果是將信號(hào)中不同尺度的波動(dòng)或趨勢(shì)逐級(jí)分離開(kāi)來(lái)，產(chǎn)生一系列具有不同尺度的數(shù)據(jù)信號(hào)。 ),( tH? 精確地描述了信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率段上隨時(shí)間和頻率的變化規(guī)律，而 )(?h 反映了信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率段上隨頻率的變化情況。對(duì)式 ()兩邊取平方 ? ?? ? ????? ?? ni n ij jinj j tctctctx 1 1 111 22 )()(2)()( () 如果分解是正交的，則式 ()右邊第二部分的交叉項(xiàng)應(yīng)該是零，這樣我們得到一個(gè)整體正交 性系數(shù) IO，定義為 ?? ?????????????????????ToninijjitxtctcIo02111)()()( () 正交性也可定義到任意兩個(gè) IMF 分量，如 cf(t)和 cg(t)，其正交性測(cè)量為 ?? ?? Ti gf gffg tctc tctcI 0 22 )()( )()(0 () 應(yīng)當(dāng)注意這里的正交性都是局部意義上的正交，對(duì)于某些特殊數(shù)據(jù)，相鄰的分量可能在不同的時(shí)間段上均有相近的頻率成分，因此從全局上并不正交。 21 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100086420246 圖 21 signal 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000864202468 圖 22 imf 1 22 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 4 0 3 0 2 0 1 0010203040 圖 23 imf 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 8 圖 24 imf 3 23 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 4 圖 25 殘余 分量 上圖為 EMD 分解的過(guò)程圖。即 ： )()()( 11)1(1 thtmth kkk ??? () 把它定義為： h1k(t)=c1(t) () c1(t)是 從原始數(shù)據(jù)中處理得到的第一個(gè) IMF 分量。同理，可以得到信號(hào) x(t)的下包絡(luò)曲線 emin(t)。 為了得到有意義瞬時(shí)頻率， Huang 等人提出了固有模態(tài)函數(shù)的概念，如 18 節(jié)所示 。為此， 17 必須把這些基于信號(hào)全局性的限定條件修改為局部的限定條件。 16 另一個(gè)關(guān)于帶寬的更一般的定義也是基于譜矩的。 針對(duì)這些 “悖論 ”， Cohen 在 1995 年提出用單分量信號(hào)和多分量信號(hào)進(jìn)行解釋的觀點(diǎn)引入單分量信號(hào) (mono－ ponent signal)和多分量信號(hào) (multi ponent signal)概念，單調(diào)分量信號(hào)是指信號(hào)在任何時(shí)刻只有一個(gè)頻率值，只有單調(diào)分量信號(hào)才有瞬時(shí)頻率。 在數(shù)學(xué)上也與尋找極值點(diǎn)的方法相當(dāng)，即求出 0))(1( )( 3/2 ?? tx tx??? () 其中 )(tx? 表示一階導(dǎo)數(shù)， )(tx? 表示二階導(dǎo)數(shù)。同理， 0)( ?tx? () 14 定義了所有 t 時(shí)刻函數(shù)極值點(diǎn)的時(shí)間 位置，其中 )(tx? 表示一階導(dǎo)數(shù)。定義局部能量密度并不困難，但至今為止，還沒(méi)有給出明確的局部時(shí)間尺度的定義。 EMD 分解在每一時(shí)刻首先分解出尺度最小的 IMF，然后分解出尺度較大的 IMF，然后再分解出尺度更大的 IMF。 12 第 2 章 Hilbert 一 Huang 變換的基本理論 概述 Hilbert－ Huang 變換 (Hilbert－ Huang Transform， HHT)是 1998 年 Huang等人提出的一種新的信號(hào)分析理論，其提出了固有模態(tài)函數(shù) (Intrinsic Mode Function， IMF)并引入了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法 (Empircal Mode Deposition ，EMD)，特別適用于分析現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的大量頻率隨時(shí)間變化的非線性、非平穩(wěn)信號(hào) []。雖然一般信號(hào)并不具有線性相位特性，但某一頻率附 11 近很窄的頻帶內(nèi)的相位特性仍然可以近似看成是線性的，所以用其相位特性的斜率作這些分量的群延遲是合理的。 Vine 進(jìn)一步注意到 :由于瞬時(shí)頻率是時(shí)變的 ， 所以應(yīng)該存在有與瞬時(shí)頻率相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)譜，并且該瞬時(shí)譜的平均頻率即為瞬時(shí)頻率。 因此，我們需要使用另一個(gè)頻率概念，它就是瞬時(shí)頻率。在這些頻率處的信號(hào)相對(duì)幅度 ； ?所有頻率發(fā)生的時(shí)間 ； ?信號(hào)的持續(xù)時(shí)間 T，簡(jiǎn)稱時(shí)寬。不妨令濾波器的沖激響 應(yīng)為 h(t)，則 ,)()()()()(~ ??? dhtsthtsts ????? ???? () 7 既復(fù)信號(hào)可表示為 ),()()()( thtjststz ??? （ ） 式中 ? 表示函數(shù)的卷積。Hilbert－ Hunag 變換自推出以來(lái)己經(jīng)成功地應(yīng)用在湍流、地震等許多非線性研究領(lǐng)域。 Huang 變 換 的 核 心 是 經(jīng) 驗(yàn) 模 態(tài) 分 解 (EMD ： Empirieal Mode Deeoniposition)，把復(fù) 雜的信號(hào)分解成從高頻到低頻的若干個(gè)固有模態(tài)函數(shù)(IMF:Intrinsie Mode Function)。該方法分析信號(hào)的思想不同于 Fourier 變換分析信號(hào)的思想，從根本上克服了Foureir 變換的局限性。但是，小波分析中所用到的小波函數(shù)是不唯一的，小波變換本質(zhì)上是一種窗口可調(diào)的 Fourier 變換，其小波窗內(nèi)的信號(hào)必須是平穩(wěn)的，因而沒(méi)有擺脫 Fourier 變換 的局限。然而我們希望