【正文】 到有意義瞬時(shí)頻率， Huang 等人提出了固有模態(tài)函數(shù)的概念，如 18 節(jié)所示 。按這一定義純粹的率和幅值調(diào)制函數(shù)都可以是 IMF，即使按傳統(tǒng)定義它 們有一定的帶寬。 Huang 等人認(rèn)為，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)局部均值涉及到局部時(shí)間尺度，這是不可能定義的，因此用信號(hào)極大值和極小值確定的包絡(luò)線的均值逼近信號(hào)的均值，并認(rèn)為這種逼近效果即使在最壞的情況下，用 DPAS 定義算出的瞬時(shí)頻率也與物理意義一致。固有模態(tài)或固有模態(tài)函數(shù) (Intrinsic Mode Function， IMF)是滿足以下兩個(gè)條件的信號(hào) [17]： (1)整個(gè)信號(hào)中，零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相等或至多相差 1； (2)信號(hào)上任意一點(diǎn)，由局部極大值點(diǎn)確定的包絡(luò)線和由局部極小 值點(diǎn)確定的包絡(luò)線的均值均為零，即信號(hào)關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱。為此， 17 必須把這些基于信號(hào)全局性的限定條件修改為局部的限定條件。結(jié)果，由于帶寬的限制，通過(guò) DPAS定義獲得瞬時(shí) 頻率的方法沒(méi)有被嚴(yán)格建立起來(lái)。對(duì)于窄帶信號(hào)，帶寬值 v2很小，這就導(dǎo)致式 ()中的武 ? (t)和a(t)必須是漸變函數(shù)。根據(jù)這個(gè)表達(dá)式， Cohen(1995)認(rèn)為 )(t?? 就是瞬時(shí)頻率。 16 另一個(gè)關(guān)于帶寬的更一般的定義也是基于譜矩的。于是參數(shù) V 被定義為 2202220422021 11 Vmm mmmNN ?? ???? () 上式給出了帶寬的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量方法。 關(guān)于帶寬有兩種定義。問(wèn)題是并沒(méi)有明確的定義來(lái)區(qū)分一個(gè)信號(hào)是否是單分量信號(hào)。 針對(duì)這些 “悖論 ”， Cohen 在 1995 年提出用單分量信號(hào)和多分量信號(hào)進(jìn)行解釋的觀點(diǎn)引入單分量信號(hào) (mono－ ponent signal)和多分量信號(hào) (multi ponent signal)概念，單調(diào)分量信號(hào)是指信號(hào)在任何時(shí)刻只有一個(gè)頻率值，只有單調(diào)分量信號(hào)才有瞬時(shí)頻率。 固有模態(tài)函數(shù) 雖然 ，瞬時(shí)頻率的 DPAS 定義到目前為止被公認(rèn)為是相對(duì)最合理的定義。極點(diǎn)和曲率尺度則可計(jì)算所有波形，而不受非零均值數(shù)據(jù)的影響，因?yàn)槲覀冎缽?fù)雜情況下在二個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間可能有很多極點(diǎn)。 同傳統(tǒng)的傅里葉分析定義的全局時(shí)間尺度不同，以上三種測(cè)量時(shí)間尺度的方法能夠局部描繪信號(hào)的變化。 在數(shù)學(xué)上也與尋找極值點(diǎn)的方法相當(dāng)，即求出 0))(1( )( 3/2 ?? tx tx??? () 其中 )(tx? 表示一階導(dǎo)數(shù)， )(tx? 表示二階導(dǎo)數(shù)。 因?yàn)橛行┹p微的振蕩可能在局部產(chǎn)生變化，但并不產(chǎn)生局部極值點(diǎn)，這種現(xiàn)象是隱含的尺度。當(dāng)然它也與我們對(duì)數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的直覺(jué)相一致。 EMD 方法使用的時(shí)間尺度是極值點(diǎn)間隔，它當(dāng)然提供了一個(gè)很好的對(duì)時(shí)間尺度測(cè)量的方法。同理， 0)( ?tx? () 14 定義了所有 t 時(shí)刻函數(shù)極值點(diǎn)的時(shí)間 位置，其中 )(tx? 表示一階導(dǎo)數(shù)。在數(shù)學(xué)上，對(duì)任何數(shù)據(jù) x(t)，時(shí)間尺度定義如 下，即對(duì) 0)( ?tx () 定義了所有 t 時(shí)刻函數(shù)過(guò)零點(diǎn)的時(shí)間位置。 Rice 曾用統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)時(shí)間尺度進(jìn)行定義。這種定義僅僅給出了時(shí)間和能量尺度的全局均值。定義局部能量密度并不困難，但至今為止，還沒(méi)有給出明確的局部時(shí)間尺度的定義。 在討論 Hilbert－ Huang 變換具體算法之前，本文必須澄清瞬時(shí)頻率和固有模態(tài)函數(shù)等基本概念。 Hilbert－ Huang 變換主要的創(chuàng)新是基于信號(hào)局部特征的分解方法的引入。通過(guò)基于固有模態(tài)函數(shù)的信號(hào)展開(kāi)，幅度與頻率調(diào)制也被清楚地分開(kāi)。 EMD 分解在每一時(shí)刻首先分解出尺度最小的 IMF，然后分解出尺度較大的 IMF，然后再分解出尺度更大的 IMF。它的基本內(nèi)容是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方 法 EMD 將信號(hào)分解成有限數(shù)目的 IMF函數(shù)，分解每一個(gè) IMF 時(shí)要反復(fù)篩選。美國(guó)國(guó)家航空航天局 (national aer onautics and space administration， NASA)將這種形式的 Hilbert 變換稱為 Hilbert－ Huang變換，簡(jiǎn)稱為 HHT。而經(jīng) EMD 分解得到的各 IMF 分量都是平穩(wěn)的，因此基于這些 IMF 分量進(jìn)行 Hilbert 變換后得到 的結(jié)果能夠反映真實(shí)的物理過(guò)程。 12 第 2 章 Hilbert 一 Huang 變換的基本理論 概述 Hilbert－ Huang 變換 (Hilbert－ Huang Transform， HHT)是 1998 年 Huang等人提出的一種新的信號(hào)分析理論，其提出了固有模態(tài)函數(shù) (Intrinsic Mode Function， IMF)并引入了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法 (Empircal Mode Deposition ，EMD)，特別適用于分析現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的大量頻率隨時(shí)間變化的非線性、非平穩(wěn)信號(hào) []。我們希望當(dāng)分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，不僅能獲知信號(hào)的頻率內(nèi)容，還能獲知其頻率內(nèi)容隨時(shí)間的變化規(guī)律。換言之，這些信號(hào)處理方法不能滿足非平穩(wěn)信號(hào)分析的特殊要求。非平穩(wěn)信號(hào)的分析是目前信號(hào)分析領(lǐng)域中的一個(gè)熱門課題。雖然一般信號(hào)并不具有線性相位特性，但某一頻率附 11 近很窄的頻帶內(nèi)的相位特性仍然可以近似看成是線性的，所以用其相位特性的斜率作這些分量的群延遲是合理的。 和瞬時(shí)頻率一樣，群延遲也有自己的物理解釋。 群延遲表示頻譜 Z(f)中頻率為 f 的各個(gè)分量的延遲 ,定義為 ： )],(ar g [21)( fZdfdfg ?? ?? () 式中 argZ[(f)] 為 信 號(hào) z(t) 的 相 位 譜 。此時(shí)，便可以使用概率論中的矩的概念來(lái)量化描述信號(hào)的性能，使用一階矩定義信號(hào)譜的平均頻率 ： ??????????????? ?? dffZdffZfdffZfEf 22)()()(1 2 () 和瞬時(shí)頻率的時(shí)間平均 .)( )()()()(1 222??????????????? ?? dttzdttztfdftztfEf () 文獻(xiàn) [l7]中， Ville 證明了 :信號(hào)譜的平均頻率等于瞬時(shí)頻率的時(shí)間平均，即iff? 。 Vine 進(jìn)一步注意到 :由于瞬時(shí)頻率是時(shí)變的 ， 所以應(yīng)該存在有與瞬時(shí)頻率相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)譜，并且該瞬時(shí)譜的平均頻率即為瞬時(shí)頻率。即是說(shuō)瞬時(shí)頻率定義為解析信號(hào) z(t)的相位的導(dǎo)數(shù)。瞬時(shí)頻率最早是由 carosn 與 Fry[15]和Gabor[16]分別定義的，而且兩種定義不同。單分量信號(hào)在任意時(shí)刻只有一 個(gè)頻率，該頻率稱為信號(hào)的瞬時(shí)頻率。 因此，我們需要使用另一個(gè)頻率概念，它就是瞬時(shí)頻率。然而，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)而言， Fourier 頻率不再是合適的物理量。 “頻率 ”是我們?cè)诠こ毯臀锢韺W(xué)中最常用的技術(shù)術(shù)語(yǔ)之一。時(shí)寬 T 在時(shí)域的作用和帶寬B 在頻域的作用相同。在這些頻率處的信號(hào)相對(duì)幅度 ； ?所有頻率發(fā)生的時(shí)間 ； ?信號(hào)的持續(xù)時(shí)間 T，簡(jiǎn)稱時(shí)寬。 性質(zhì) 2 )].(~[)( tsHts ?? 性質(zhì) 3 若 x(t)， x1(t)， x2(t)的 Hilbert 變換分別為牙 ),(~),(~),(~ 21 txtxtx 且 x(t)=xl(t)? x2(t)，則 ).(~)()()()(~)(~ 21121 txtxtxtxtxtx ????? 性質(zhì) 4 )]}([{)]([)],([)( 22 tsHHtsHtsHts ??? 其中. 瞬時(shí)頻率與群延遲 信號(hào)的重要特性包括 : ?帶寬 。 如果已知 Hlibert 變換 )(~ts ， 則也可由它恢復(fù)原實(shí)信號(hào) ： .)(~1)(~1)( ????? dtststts ????? ?????? （ ） 定義 (解析信號(hào) )[1]與實(shí)信號(hào) s(t)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào) (analysis signal)sA(t)定義為 sA(t)=s(t)+jH[s(t)]，且了 )(~rs =H[s(t)]是 s(t)的 Hilbert 變換。這意味著復(fù)信號(hào) (z)t的頻譜應(yīng)該具有下列形式 ： ?????????0,00),(0),(2)(fffSffSfZ （ ） 比較式 ()和式 ()容易看出，只要選擇濾波器的傳遞函數(shù)滿足下式即可 ： ??????????0,0,00,)(fjffjfH （ ） =j? sgn(f) 式中 ???????????0,10,00,1)s g n (ffff （ ） 為符號(hào)函數(shù)。不妨令濾波器的沖激響 應(yīng)為 h(t)，則 ,)()()()()(~ ??? dhtsthtsts ????? ???? () 7 既復(fù)信號(hào)可表示為 ),()()()( thtjststz ??? （ ） 式中 ? 表示函數(shù)的卷積。只保留正頻率頻譜部分的信號(hào)，其頻譜不再存在共扼對(duì)稱性，所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)應(yīng)為復(fù)信號(hào)。那么，為什么需要這樣的轉(zhuǎn)換呢 ? 當(dāng)信號(hào) s(t)為實(shí)信號(hào)時(shí)，其頻譜 dtetsfS ftj????? ?? ?2)()( （ ） 具有共軛對(duì)稱性，因?yàn)? ).()()( 2* fSdtetsfS fti ??? ????? ? （ ） 從有效信息的利用角度看問(wèn)題，實(shí)信號(hào)的負(fù)頻率頻譜部分完全是冗余的，因?yàn)樗梢詮恼l率的頻譜獲得。 6 基礎(chǔ)知識(shí) 在非平穩(wěn)信號(hào)的分析與處理中，實(shí)際信號(hào)往往是實(shí)的，但卻需要把它轉(zhuǎn)換成復(fù)信號(hào)后進(jìn)行數(shù)學(xué)表示與分析。Hilbert－ Hunag 變換自推出以來(lái)己經(jīng)成功地應(yīng)用在湍流、地震等許多非線性研究領(lǐng)域。由此得 s(t)的分解 式 s(t)=?? ?ni ii trtc1 )()( () 對(duì)每個(gè) ci(t)作 Hilbert 變換，得 1~c =?1 ??? dtci????? ?)(. () 由于解析信號(hào) ci(t) +j ic~ (t)可化為 ai(t) )(tije? 的形式，故 s(t)=Re???nitji ieta1)()( =Re???nidttwji jeta1)()( , () 其中 j= 1? ,這里省略了 r(t),Re 表示取實(shí)部。第 k 步 ， sk(t)=hk(t) () 5 記 mk(t)= 2 )()( tvtu kk ? ,uk(t)和 vk(t)分別為 sk(t)的上下包絡(luò) ， 令 hk+1(t)=sk(t)mk(t). () 重復(fù)以上操作 ， 直到 hk+1(t)滿足條件 (a)和 (b)時(shí)得到一個(gè) IMF， 記為 c1(t)=hk+1(t)。 文中 證明了 IMF 的完備性和正交性，并給出了 EMD 的步驟如 u0(t)和下包絡(luò) v0(t)。 Huang 變 換 的 核 心 是 經(jīng) 驗(yàn) 模 態(tài) 分 解 (EMD ： Empirieal Mode Deeoniposition)，把復(fù) 雜的信號(hào)分解成從高頻到低頻的若干個(gè)固有模態(tài)函數(shù)(IMF:Intrinsie Mode Function)。目前 Hilbert－ H