【正文】 殘余分量為 )c o s ()( 111 ?? ???? tAmtfr （ 16） 即為相當(dāng)?shù)母哳l分量。式（ 3）平方可以得到 )(s in)(s in 22222221122121 ?????? ??? tAtA 32 既 )(c o s)(c o s 2222222222221211122121 ???????? ????? tAAAtA （ 4） 如果兩個(gè)正弦波的參數(shù)滿足 2211 ?? AA ? （ 5） 由式（ 4）可以得到 )c o s ()c o s ( 2122211111 ?????? ??? tAtA （ 6） 又根據(jù) 21 ??? ，所以 )c o s ()c o s ( 212222111211 ?????? ??? tAtA （ 7） 另一方面， t1是 )(tf 的任意一個(gè)極大值點(diǎn)，因此這一點(diǎn)的二階函數(shù)滿足 0)c o s ()c o s ()( 2122221112111 ???????? ?????? tAtAtf （ 8） 結(jié)合式（ 7）和式（ 8）可以得到 0)c o s ( 111211 ????? tA （ 9） 否則如果 0)c o s ( 111211 ????? tA （ 10） 那么 0)c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()(2122221112112122221112112122221112111??????????????????????????????????tAtAtAtAtAtAtf （ 11） 與式（ 8）矛盾，因此必然有式（ 9）成立。 )(tf 的一階和二階導(dǎo)數(shù)為 )s in ()s in ()( 22221111 ?????? ????? tAtAtf (2) 對(duì)于所有極值點(diǎn)，滿足 0)s i n ()s i n ( 22221111 ????? ?????? tAtA (3) 一般情況下，這個(gè)方程是一個(gè)非 線性方程，沒有解析解，也就沒有辦法通過解析解求出的包絡(luò)方程。 多頻信號(hào)分解的理論模型及仿真 考慮兩個(gè)正弦信號(hào)的疊加 )c o s ()c o s ()( 222111 ???? ???? tAtAtf (1) 式中 A1,A2分別是兩個(gè)正弦波的幅值， 01?A ， 02?A 。本章將引用 與 對(duì)EMD 方法的數(shù)值分析成果 [7]來重點(diǎn)討論它在分解信號(hào)上的局限性，并針對(duì)其模態(tài)混疊和易產(chǎn)生虛假分量的缺陷引入了 01hede S 的最大重疊離散小波包分解方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)的窄帶預(yù)分解，同時(shí)參考了 等人的歸一化相關(guān)性甄別方法對(duì)低頻窄帶信號(hào)分解出的 IMF 進(jìn)行篩選，形成了基于最大重疊離散小波包預(yù)分解的綜合改進(jìn)方法。最 30 后總結(jié)了當(dāng)前 Hilbert－ Huang 變換中存在的主要問題和改進(jìn)方法。 本 章小結(jié) Hilbert－ Huang 變換是近幾年剛剛興起的一種非線性 、 非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法。目前篩選的終止條件只是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值，而沒有可靠的理論依據(jù)。 分量的終止條件對(duì)算法的性能影響很大，它直接關(guān)系到 IMF 分量的物理意義和真實(shí)性。 分解終止條件可以是以下兩個(gè)之一 ： 當(dāng)最后一個(gè)分量或剩余分量氣 rn(t)幅值變成小到比預(yù)定值小時(shí)便停止 ； 或當(dāng)剩余分量 rn(t)變成單調(diào)函數(shù)，從而不能從中再篩選出 IMF 為止。 (3)原始信號(hào) s(n)的 IMF 分量為 2/))()(()( nznznz ?? ?? 。 Deering R 等人提出了一種采用掩模信號(hào) (Masking Signal)解決 模態(tài)混疊問題的方法 [28]。同時(shí)，由于模態(tài)混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)影響了它的工程應(yīng)用。 很明顯，這是由于時(shí)間尺度特征在某段時(shí)間顯著變化引起的。 HHT 的經(jīng)驗(yàn)篩法按照特征時(shí)間尺度對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的分解，一般情況下，隨著 IMF 階次的增大，相應(yīng)的分解分量 IMF 的特征尺度也將變大，從而得時(shí)間尺度從小到大的 IMF 信號(hào)，表現(xiàn)在頻譜上為依次從高頻向低頻對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。雖然 Huang 等人和譚善文先后獨(dú)立提出了解決措施，但都還沒有對(duì)形成這種現(xiàn)象的原因作更進(jìn)一步地分析。 對(duì)于端點(diǎn)延拓問題，目前己提出了一些抑制解決方法，如采用支持向量回歸機(jī)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓 [21]、采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓 [22]、采用 AR 型對(duì)數(shù)據(jù)延長 [23]、邊界波形匹配預(yù)測(cè)法 [24]、采用包絡(luò)的鏡像閉合延拓方法 [25]、采用最小二乘法的近似標(biāo)準(zhǔn)對(duì)信號(hào)兩端的數(shù)據(jù)多項(xiàng)式擬合延拓方法 [26]、極值點(diǎn) 28 延拓法 [27]及在端點(diǎn)處按照端點(diǎn)數(shù)據(jù)變化的 “平衡位置 ”附加兩條平行線段的方法 [28]等等。經(jīng)驗(yàn)篩法的邊界處理問題相對(duì)復(fù)雜和困難，因?yàn)樗枰_定邊界處的局部均值，這是簡單的加窗或延拓信號(hào)不能解決的。 因此，在邊界處擬合包絡(luò)線或均值曲線時(shí) 需用到邊界外的極值點(diǎn)或信號(hào)，這些極值點(diǎn)或信號(hào)需要經(jīng)過分析人為給定，以確定邊界處信號(hào)的局部均值，這就是 HHT 中的邊界處理問題。對(duì)于一個(gè)較長的數(shù)據(jù)信號(hào)來講，可以根據(jù)極值點(diǎn)的情況不斷拋棄兩端的數(shù)據(jù)來保證所得到的包絡(luò)的失真度最小。由于信號(hào)兩端不可能同時(shí)處于極大值和極小值，因此上、 下包絡(luò)在數(shù)據(jù)信號(hào)的兩端不可避免地會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。關(guān)于 Hilbert 變換中的端點(diǎn)問題不作討論，本文主要討論包絡(luò)曲線引起的端點(diǎn)效應(yīng)問題。如果采用直接擬合均值曲 線的方法可以降低過沖和欠沖現(xiàn)象，但有時(shí)后果仍然很嚴(yán)重。但對(duì)非均勻插值點(diǎn)，三次樣條插值容易造成過沖和欠沖現(xiàn)象。樣條插值是一種既能克服高次多項(xiàng)式插值的缺陷，又能保證一定光滑性的插值。 EMD 方法的本質(zhì)是對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，其結(jié)果是將信號(hào)中不同尺度的波動(dòng)或趨勢(shì)逐級(jí)分離開來，產(chǎn)生一系列具有不同尺度的數(shù)據(jù)信號(hào)。于是，在 )(?h 中某一頻率僅代表有這樣的頻率振動(dòng)存在的可能性，發(fā)生的時(shí)間由 ),( tH? 精確給出。處的能量存在，僅代表在數(shù)據(jù)的整個(gè)時(shí)間長度上，很可能有這樣一個(gè)頻率的振動(dòng) 26 波在局部出現(xiàn)過 [19]。在 Fourier 表達(dá)中，在某一頻率必處能量存在，代表了一個(gè)正弦或余弦波在整個(gè)時(shí)間長度上存在。 ),( tH? 精確地描述了信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率段上隨時(shí)間和頻率的變化規(guī)律，而 )(?h 反映了信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率段上隨頻率的變化情況。這樣，就打破了固定幅度與固定頻率的 Fourier 變換的限 制，得到了一個(gè)可變幅度與可變頻率的信號(hào)描述方法。這里不考慮剩余分量 rn(t)，因?yàn)樗且粋€(gè)平均趨勢(shì)或者是一個(gè)常量式 ()給出的 各分量的幅度和頻率都是時(shí)間 t 的函數(shù)相同的數(shù)據(jù)如果用 Fourier 形式展開是帶有 ai和 i? 的常量 ： ??? ni tji ieaREtx 1)( ? () 可見， Fourier 變換是 Hilbert 變換的特殊形式。 Hilbert時(shí)頻譜及邊際譜 得到了內(nèi)在模式函數(shù)分量后，對(duì)各分量進(jìn)行 Hilbert 變換計(jì)算瞬時(shí)頻率是有意義的。對(duì)式 ()兩邊取平方 ? ?? ? ????? ?? ni n ij jinj j tctctctx 1 1 111 22 )()(2)()( () 如果分解是正交的，則式 ()右邊第二部分的交叉項(xiàng)應(yīng)該是零，這樣我們得到一個(gè)整體正交 性系數(shù) IO，定義為 ?? ?????????????????????ToninijjitxtctcIo02111)()()( () 正交性也可定義到任意兩個(gè) IMF 分量，如 cf(t)和 cg(t)，其正交性測(cè)量為 ?? ?? Ti gf gffg tctc tctcI 0 22 )()( )()(0 () 應(yīng)當(dāng)注意這里的正交性都是局部意義上的正交，對(duì)于某些特殊數(shù)據(jù)，相鄰的分量可能在不同的時(shí)間段上均有相近的頻率成分，因此從全局上并不正交。 同時(shí)， EMD 的正交性也可以由后驗(yàn)數(shù)值計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)。另外，每一個(gè) IMF 分量只是信號(hào)中的一部分。 正交性是在 理論上是不滿足的，但在實(shí)際物理意義上是滿足的。 21 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100086420246 圖 21 signal 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000864202468 圖 22 imf 1 22 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 4 0 3 0 2 0 1 0010203040 圖 23 imf 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 8 圖 24 imf 3 23 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 4 圖 25 殘余 分量 上圖為 EMD 分解的過程圖。 圖 21 為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｌ胤纸饨Y(jié)果的一個(gè)完整例子，其中， s 為原信號(hào)， c1c5為固有模態(tài)， res 為殘余分量。如果把分解后的各分量合并，就可以重構(gòu)原始信號(hào) x(t)： 20 ?? ?? ni ni trtctx 1 )()()( () 于是，通過 EMD 可以將原始數(shù)據(jù)分解成 n 個(gè)固有模態(tài)分量，及一個(gè)剩余分量 rn(t)，該分量或者代表信號(hào)的一個(gè)平均趨勢(shì)或 者是一個(gè)常量。將 c1(t)從原始信號(hào) x(t)中分離出，得到剩余分量 r1(t)： ? ? )()( 11 trtctx ?? () 把 r1(t)作為新的原信號(hào)重復(fù)以上過程，得到如下結(jié)果 ： )()()( 221 trtctr ?? () )()()(1 trtctr nnn ??? 依次提取第 2 個(gè)固有模態(tài)函數(shù) c2(t)，重復(fù) n 次，直至第 n 個(gè)固有模態(tài)函數(shù) (t)。即 ： )()()( 11)1(1 thtmth kkk ??? () 把它定義為： h1k(t)=c1(t) () c1(t)是 從原始數(shù)據(jù)中處理得到的第一個(gè) IMF 分量。 IMF 的上述兩個(gè)特征，也即 EMD 分解結(jié)束的收斂準(zhǔn)則。即使擬合過程做得非常好，信號(hào)斜坡上的一個(gè)微小凸點(diǎn)或凹點(diǎn)，也 會(huì)把局部零均值從直線變?yōu)榍€時(shí)被放大為新的局部極值點(diǎn)，這些新的極值點(diǎn)正是前一次篩選過程中遺漏的，因此需要反復(fù)篩選以恢復(fù)所有低幅值的疊加波。但由于在擬合過程中，過沖 (overshoot)和欠沖(undershoot)的影響，會(huì)導(dǎo)致新的極值點(diǎn)，或者平移和放大已有的極值點(diǎn)。同理，可以得到信號(hào) x(t)的下包絡(luò)曲線 emin(t)。根據(jù)特征尺度的概念， EMD 采用 “篩 ”選的方法從原始信號(hào)中將固有模態(tài)函數(shù)分離出來 [18]。這種方法的本質(zhì)是通過信號(hào)特征尺度來獲取固有模態(tài)函數(shù)。為了得到這樣的固有模態(tài)函數(shù)， Huang 等人提出經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法。 為了得