【正文】 jTmjjjj ??? ???， 其中 )(P 是一個分式規(guī)劃，使用查尼斯 庫珀變換，可以轉化為一個等價的線性規(guī)劃問題。為此，令 ,10tUtVXVt T ??? ??則有 ??????????????????.0,0,1,2,1,10000??????XnjXYXVYUYXVYUTjTjTjTjTTTT?)(P0m a x YV Tp ??)(P???????????.0,0,1,2,1,0..0 ?????XnjYXtsTjTjT ?因此分式規(guī)劃 變?yōu)? 定理 1 分式規(guī)劃 和線性規(guī)劃 在下述意義下等價： ⑴ 若 為 的最優(yōu)解，則 為 的最優(yōu)解，并且最優(yōu)值相等，其中 )(P )(P00,UV )(P 000000 , UtVt ?? ?? )(P.1000XVt T?00,?? )(P 00,UV )(P⑵ 若 為 的最優(yōu)解，則 也為 的最優(yōu)解，并且最優(yōu)值相等。 定義 1 若線性規(guī)劃 的最優(yōu)解 滿足 則稱決策單元 為弱 DEA有效。 定義 2 若線性規(guī)劃 的最優(yōu)解中存在 滿足 則稱決策單元 為 DEA有效。 由上面的定義知，若決策單元 為 DEA有效，則必若 DEA有效。 顯然線性規(guī)劃 的對偶規(guī)劃為 )(P 00 ,?? ,100 ?? YV Tp ?0j)(P 0,0 00 ?? ??,100 ?? YV Tp ? 0j0j)(P,m in ??pV? ?D???????????????????????????.,0,0,2,1,0..1001無約束?????SSnjYSYXSXtsjnjjjnjjj? ???????????????????.,2,1,0..1001無約束?????njYYXXtsjnjjjnjjj?,m in ??pV? ?D定理 2 線性規(guī)劃 及其對偶線性規(guī)劃 都存在最優(yōu)解且最優(yōu)值 ? 定理 3 對于對偶線性規(guī)劃 有 ? ⑴ 若 的最優(yōu)值 ，則決策單元 為弱 DEA有效；反之亦然。 ? ⑵ 若 的最優(yōu)值 ，并且它的最優(yōu)解 都有 則決策單元 為 DEA有效；反之亦然。 )(P ? ?D.1?? PD VV? ?D? ?D 1?DV 0j? ?D 1?DV , 0000 ?? ?? SS,0,0 00 ?? ?? SS0j 例 題 已知甲、乙、丙三個同行企業(yè)，為評價其相對生產率，取投入要素為固定資產 （億元）和職工人數 （千人），產出項目為凈產值 （億元），有關數據如下表。試比較它們的有效性。 K LYKL1v2vY 1u 部門 指標 權數 甲 乙 丙 輸 入 1 3 4 3 7 輸 出 5 4 8 ,m in ??DV)(D??????????????????????????????.0,0,0,3,2,1,058454734..321332123211321sssjssstsj????????????解 ⑴ 甲企業(yè)對應的 DEA模型為： 的最優(yōu)解為 由于 所以甲企業(yè)不是 DEA有效。 ⑵ 乙企業(yè)對應的 DEA模型為 的最優(yōu)解為 可知，乙企業(yè)是DEA有效。 )(D ? ? .0,0,0 03020220 ????? ??? sssT ??,10 ??,m in ??DV)(D??????????????????????????????.0,0,0,3,2,1,048453734..321332123211321sssjssstsj????????????)(D ? ? .0,1,0,1,0 03020220 ????? ??? sssT ?? ⑶ 丙企業(yè)對應的 DEA模型為 的最優(yōu)解為 由于 所以，丙企業(yè)不是 DEA有效。 上述計算結果表明，乙企業(yè)的相對生產率最高，丙企業(yè)的相對生產率最低。 ,m in ??DV)(D??????????????????????????????.0,0,0,3,2,1,088457734..321332123211321sssjssstsj????????????)(D ? ? .0,0,2,0 03020220 ????? ??? sssT ??,10 ?? 生產率比較問題 例題 以 1997年全部獨立核算企業(yè)為對象，對安徽、江西、湖南和湖北四省進行生產水平的比較。投入要素取固定資產凈值年平均余額（億元），流動資金年平均余額（億元）及從業(yè)人員（萬人）；產出要素取總產值（億元）和利稅總額（億元）。 樣本數據和計算結果見下表（樣本數引自 1997年中國統計年鑒）。 安徽 江西 湖南 湖北 固定資產 流動資金 從業(yè)人數 利稅總額 總產值 全要素相 對生產率 生產率序號 1 3 2 1 以評價湖南省的全要素相對生產率為例，其 DEA模型為 ,m in ??DV?????????????????????????????????????????????????.2,1,0,3,2,1,0,4,3,2,1,0..2432114321343212432114321rsisjssssstsrij????????????????????????,0,8 0 4 ,9 2 8 4321 ????? ?????.,0,0, 21321 ????? ????? sssss 其解為 課設設計： 1， 7， 13， 19， 25， 31 汽車類上市公司 2， 8， 14， 20， 26， 32 3， 9， 15， 21， 27 4， 10， 16， 22， 28 5， 11， 17， 23， 29 6， 12， 18， 24， 30