第五節(jié)二階常系數(shù)線性齊次微分方程-資料下載頁
2025-08-23 08:38本頁面
【導(dǎo)讀】的方程，稱為二階線性微分方程.當(dāng)時，稱為二階線性非齊次微分方程.的解，其中C1,C2是任意常數(shù).的左端，得代入方程將)3()()(2211xyCxyCy??由例1分析可知，如果方程的兩個特解y1，如果存在不為零的常數(shù)k(或存在不全為零的常數(shù)k1,成立，則稱函數(shù)y1與y2在該區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，，是線性無關(guān)的兩個特解與xxxyxy221e)(????特征方程的根為.2422,1qppr????是兩相等實根與時，當(dāng)
【正文】 ??? ? )8( .s i nc o se 21 xCxCy x ??? ??即 線性無關(guān)，故得微分方程 (3)的通解為 21 yy與其中 C1, C2為任意常數(shù) . 求 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 (3)的 通解 步驟： ，并求出特征方程的兩個根； 2 .根據(jù)兩個特征根的不同情況，按照公式 (6)、 (7)或(8)寫出微分方程的通解 .可使用下表 : 0??? qypy39。y 39。39。02 ??? qprr兩個不相等的實根 21 rr ?特征方程 : 微分方程 : 兩個相等的實根 21 rr ?一對共軛復(fù)根 )0(, 21 ??? ??? irxrxr CCy 21 ee 21 ??xrxCCy 1e)( 21 ??) s i n c o s(e21xCxCy x?????的兩個根 r1,r2 的通解 例 3 求微分方程 . 032 的通解??? yy39。y39。39。，有不相等的實根 3 ,1 21 ??? rr.ee 321 xx CCy ??? ?通解為，0322 ??? rr 解 其特征方程為 即 (r+1)(r–3)=0, .2dd 1| 0dd4dd4 0022的特解，滿足初值條件求微分方程???????tttssststs，有兩個相同實根 21 21 ?? rr例 4 ，特征方程為，原方程化為041 041 2??????rrss39。s 39。39。解 .e)( 221ttCCs ??故通解為，求導(dǎo)，得將上式對 2222 ee)1(21dd ttCCtst ???，故，代入通解，得將2210e)1( 11tttCsCs?????.e321 2tts ?????? ??故所求特解為，代入上式得再將 232dd 20???Ctst.032 的通解求微分方程 ??? yy39。y 39。39。，有一對共軛復(fù)根 i 21 2,1 ???r).2s i n2c o s(e 21 xCxCy x ??? ?通解為例 5 ，特征方程為 032 2 ??? rr解
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