【導(dǎo)讀】所求平面方程為,0)4()12(14??????例2求過點(diǎn))1,1,1(，且垂直于平面7???BA平面平行于坐標(biāo)面；xoy. CB類似地可討論情形.例3設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn))2,3,6(?將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得?標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.兩平面相交，夾角。外一點(diǎn)，求0P到平面的距離.

　　

【正文】 較大的相同的兩個子樣本 ， 每個子樣樣本容量均為 (nc)/2； ③ 對每個子樣分別進(jìn)行 OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和； ④ 在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足 F分布的統(tǒng)計(jì)量 )12,12(~)12(~)12(~2122???????????????kkFkekeFii ⑤ 給定顯著性水平 ?，確定臨界值 F?(v1,v2)， 若 F F?(v1,v2)， 則拒絕同方差性假設(shè)，表明 存在異方差 。 當(dāng)然，還可根據(jù)兩個殘差平方和對應(yīng)的子樣的順序判斷是 遞增型異方差 還是 遞減異型方差 。 4. 懷特（ White）檢驗(yàn) 懷特檢驗(yàn)不需要排序，且適合任何形式的異方差。 懷特檢驗(yàn)的基本思想與步驟 （以二元為例）： iiii XXY ???? ???? 22110然后做如下輔助回歸 iiiiiiii XXXXXXe ??????? ??????? 215224213221102~ 可以證明，在同方差假設(shè)下： (*) R2為 (*)的可決系數(shù)， h為 (*)式解釋變量的個數(shù)， 表示漸近服從某分布。 注意： 輔助回歸仍是檢驗(yàn)與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。 如果存在異方差性 ， 則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性 ， 這時往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的 t檢驗(yàn)值較大 。 當(dāng)然 ， 在多元回歸中 ， 由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量 ， 從而使自由度減少 ， 有時可去掉交叉項(xiàng) 。 六、異方差的修正 模型檢驗(yàn)出存在異方差性，可用 加權(quán)最小二乘法 （ Weighted Least Squares, WLS） 進(jìn)行估計(jì)。 ? 加權(quán)最小二乘法的基本思想： 加權(quán)最小二乘法 是對原模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用 OLS估計(jì)其參數(shù)。 21102 )]???([? ? ?????kkiiii XXYWeW ??? ?? 例如 ， 如果對一多元模型 ， 經(jīng)檢驗(yàn)知： 222 )()()( ???? jiiii XfEV a r ??? 在采用 OLS方法時 : 對較小的殘差平方 ei2賦予較大的權(quán)數(shù)； 對較大的殘差平方 ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。 新模型中，存在 222 )()(1))(1())(1( ???? ???ijiijiijiEXfXfEXfVa r即滿足同方差性 ，可用 OLS法估計(jì)。 ?????ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1??? ijikijikXfXXf??)(1)(1?? ? 一般情況下 : 對于模型 Y=X?+? 存在 ： Wμμμμ2)()(0)(?????EC o vEW ?????????????www n12? 即存在 異方差性 。 W是一對稱正定矩陣 ， 存在一可逆矩陣 D使得 W=DD’ 用 D1左乘 Y=X?+? 兩邊，得到一個新的模型： μDX βDYD 111 ??? ??*** μβXY ??該模型具有同方差性。因?yàn)? 1211211111 )()()(????????????????????DDDDDΩDDμμDDμμDμμ **??EEEI2??**1*** )(? YXXXβ ??? ?YWXXWXYDDXXDDX11111111)()(???????????????? 這就是原模型 Y=X?+?的 加權(quán)最小二乘估計(jì)量 ，是無偏、有效的估計(jì)量。 這里權(quán)矩陣為 D1，它來自于 原模型殘差項(xiàng)?的方差 協(xié)方差矩陣 ?2W 。 ? 如何得到 ?2W ？ 從前面的推導(dǎo)過程看，它來自于原模型殘差項(xiàng) ?的方差 — 協(xié)方差矩陣。因此仍對原模型進(jìn)行 OLS估計(jì)，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量 ěi，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計(jì)量，即 ???????????2212~~?nee?W?這時可直接以 |}~|/1,|,~|/1|,~|/1{ 211 neeedi ag ???D作為權(quán)矩陣。 ? 注意： 在實(shí)際操作中 人們通常采用如下的經(jīng)驗(yàn)方法： 不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時。 如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了； 如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價于普通最小二乘法。 七、案例 —— 中國農(nóng)村居民人均消費(fèi)函數(shù) 例 中國農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出主要由人均純收入來決定。 農(nóng)村人均純收入包括： (1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入；(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營性收入 (3)工資性收入； (4)財(cái)產(chǎn)收入； (4)轉(zhuǎn)移支付收入。 考察 從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入 (X1)和 其他收入(X2)對中國 農(nóng)村居民消費(fèi)支出 (Y)增長的影響 : ???? ???? 22110 lnlnln XXY表 4 . 1 . 1 中國 2020 年各地區(qū)農(nóng)村居民家庭人 均純收入與消費(fèi)支 出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：元） 地區(qū) 人均消費(fèi) 支出 Y 從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營 的收入 1X 其他收入 2X 地區(qū) 人均消費(fèi) 支出 Y 從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營 的收入 1X 其他收入 2X 北 京 3 5 5 2 . 1 4 4 4 6 . 4 湖 北 2 7 0 3 . 3 6 2 5 2 6 . 9 天 津 2 0 5 0 . 9 2 6 3 3 . 1 湖 南 1 5 5 0 . 6 2 河 北 1 4 2 9 . 8 1 6 7 4 . 8 廣 東 1 3 5 7 . 4 3 山 西 1 2 2 1 . 6 1 3 4 6 . 2 廣 西 1 4 7 5 . 1 6 1 0 8 8 . 0 內(nèi)蒙古 1 5 5 4 . 6 海 南 1 4 9 7 . 5 2 1 0 6 7 . 7 遼 寧 1 7 8 6 . 3 1 3 0 3 . 6 重 慶 1 0 9 8 . 3 9 吉 林 1 6 6 1 . 7 四 川 1 3 3 6 . 2 5 黑龍江 1 6 0 4 . 5 貴 州 1123. 7 1 上 海 4 7 5 3 . 2 5 2 1 8 . 4 云 南 1 3 3 1 . 0 3 江 蘇 2 3 7 4 . 7 2 6 0 7 . 2 西 藏 1 1 2 7 . 3 7 浙 江 3 4 7 9 . 2 3 5 9 6 . 6 陜 西 1 3 3 0 . 4 5 安 徽 1 4 1 2 . 4 1 0 0 6 . 9 甘 肅 1 3 8 8 . 7 9 福 建 2 5 0 3 . 1 2 3 2 7 . 7 青 海 1 3 5 0 . 2 3 江 西 1 7 2 0 . 0 1 2 0 3 . 8 寧 夏 2 7 0 3 . 3 6 2 5 2 6 . 9 山 東 1 9 0 5 . 0 1 5 1 1 . 6 新 疆 1 5 5 0 . 6 2 河 南 1 3 7 5 . 6 1 0 1 4 . 1 普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果： 21 ln5 0 8 1 6 5 ?ln XXY ??? ( 1 . 8 7 ) ( 3 . 0 2) （ 1 0 . 0 4 ） 2R= 0 . 7 8 3 1 2R= 0 . 7676 D W = 1 . 89 F = 50 .5 3 R S S = 0 . 8232 異方差檢驗(yàn) 進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) (1)GQ檢驗(yàn) 將原始數(shù)據(jù)按 X2排成升序，去掉中間的 7個數(shù)據(jù)，得兩個容量為 12的子樣本。 對兩個子樣本分別作 OLS回歸，求各自的殘差平方和 RSS1和 RSS2： 子樣本 1： 21 ln1 1 4 6 XXY ??? () () () R2=， RSS1= 子樣本 2： 21 ln7 7 3 9 XXY ??? () () () R2=， RSS2=