經(jīng)濟數(shù)學微積分求導法則與基本初等函數(shù)求導公式-資料下載頁
2025-08-21 12:38本頁面
【導讀】即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).的單調(diào)性可知由)(xfy?例7.arcsin的導數(shù)求函數(shù)xy?解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導在?????證,)(0可導在點由uufy?
【正文】 ),則稱多項式方程： ?(z)= (1?1z ?2z2… ?pzp)=0 為 AR(p)的 特征方程 (characteristic equation)。 可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于 1），則 AR(p)模型是平穩(wěn)的。 例 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件 。 對 1階自回歸模型 AR(1) ttt XX ?? ?? ? 1方程兩邊平方再求數(shù)學期望 ， 得到 Xt的方差： )(2)()()( 122 122 ttttt XEEXEXE ??? ?? ??? 由于 Xt僅與 ?t相關 ， 因此 ， E(Xt1?t)=0。 如果該模型穩(wěn)定 ， 則有 E(Xt2)=E(Xt12)， 從而上式可變換為： 2220 1 ???? ???? X在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負的常數(shù)，從而有 |?|1。 而 AR(1)的特征方程： 01)( ???? zz ?的根為： z=1/? AR(1)穩(wěn)定，即 |?| 1，意味著特征根大于 1。 例 AR(2)模型的平穩(wěn)性。 對 AR(2)模型： tttt XXX ??? ??? ?? 2211方程兩邊同乘以 Xt，再取期望得： )(22110 ttXE ?????? ???又由于： 222211 )()()()( ???????? ???? ?? ttttttt EXEXEXE于是 ： 222110 ??????? ???同樣地 ， 由原式還可得到 ： 0211212020??????????????于是方差為 ： )1)(1)(1()1(21212220 ???????? ???????? 由平穩(wěn)性的定義 ， 該方差必須是一不變的正數(shù) ， 于是有 ?1+?21, ?2?11, |?2|1 這就是 AR(2)的平穩(wěn)性條件 ，或稱為 平穩(wěn)域 。它是一頂點分別為（ 2,1），（ 2,1），（ 0,1）的三角形 。 2? ( 0 , 1 ) 1? ( 2 , 1 ) ( 2 , 1) 圖 9 . 2 . 1 AR ( 2 ) 模型的平穩(wěn)域 對應的特征方程 1?1z?2z2=0 的兩個根 zz2滿足： z1z2=1/?2 , z1+z2 =?1/?2 tttt XXX ??? ??? ?? 2211AR(2)模型 ： 解出 ?1， ?2： 2121zz???21211 zzzz ???由 AR(2)的平穩(wěn)性 ， |?2|=1/|z1||z2|1 ， 則至少有一個根的模大于 1， 不妨設 |z1|1， 有： 1)11)(11(112121212121 ?????????zzzzzzzz??0)11)(11(21??? zz于是 | z2 |1。 由 ?2 ?1 1可推出同樣的結果 。 對高階自回模型 AR(p)來說 ， 多數(shù)情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根，但有 一些有用的規(guī)則可用來檢驗高階自回歸模型的穩(wěn)定性 ： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是 ： ?1+?2+? +?p1 (2)由于 ?i(i=1,2,? p)可正可負 ， AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |?1|+|?2|+? +|?p|1 對于移動平均模型 MR(q)： Xt=?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 其中 ?t是一個白噪聲，于是： MA(q)模型的平穩(wěn)性 0)()()()( 11 ????? ? qqttt EEEXE ????? ?? ?22111121322111122210),c o v ()(),c o v ()(),c o v ()1(v a r?????????????????????????qqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX?????????????????????????????? 當滯后期大于 q時， Xt的自協(xié)方差系數(shù)為 0。 因此 :有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的 。 由于 ARMA (p,q)模型是 AR(p)模型與 MA(q)模型的組合： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性 而 MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此 ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于 AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當 AR(p)部分平穩(wěn)時，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 總結 （ 1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型； （ 2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型。 因此， 如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個 自回歸單整移動平均（ autoregressive integrated moving average）時間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 例如， 一個 ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 當然， 一個 ARIMA(p,0,0)過程表示了一個純AR(p)平穩(wěn)過程；一個 ARIMA(0,0,q)表示一個純 MA(q)平穩(wěn)過程。
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