【導(dǎo)讀】集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：。若a＞c，則集合P為橢圓；若a＝c，則集合P為線段；大距離和最小距離，且最大距離為a＋c，最小距離為a－c.16＝1上的點，若F1、F2是橢圓的兩個焦點，解析依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.由ca＝45即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝k－5，5．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，P為橢圓C上的一點，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面積為9，則b＝________.解析由題意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5、3，

　　

【正文】 形． 4． P(x0， y0)與圓 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2(r＞ 0)的位置關(guān)系 (1)若 (x0－ a)2＋ (y0－ b)2＞ r2，則點 P 在圓外； (2)若 (x0－ a)2＋ (y0－ b)2＝ r2，則點 P 在圓上； (3)若 (x0－ a)2＋ (y0－ b)2＜ r2，則點 P 在圓內(nèi)． 一種方法 確定圓的 方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： (1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)于 a， b， r或 D、 E、 F的方程組； (3)解出 a、 b、 r或 D、 E、 F代入標準方程或一般方程． 兩個防范 (1)求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論設(shè)哪一種圓的方程都要列出關(guān)于系數(shù)的三個獨立方程． (2)過圓外一定點求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況． 三個性質(zhì) 確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì) (1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上； (2)圓心在任一弦的中垂線上 ； (3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )圓心為點 (0,1)，半徑為 2 的圓的標準方程為 ( )． A． (x－ 1)2＋ y2＝ 4 B． x2＋ (y－ 1)2＝ 2 C． x2＋ (y－ 1)2＝ 4 D． (x－ 1)2＋ y2＝ 2 答案 C 2． (2020四川 )圓 x2＋ y2－ 4x＋ 6y＝ 0 的圓心坐標是 ( )． A． (2,3) B． (－ 2,3) C． (－ 2，－ 3) D． (2，－ 3) 解析 由 x2＋ y2－ 4x＋ 6y＝ 0 得 (x－ 2)2＋ (y＋ 3)2＝ 為 (2，－ 3)． 答案 D 3．若點 (1,1)在圓 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 的內(nèi)部，則實數(shù) a 的取值范圍是 ( )． A．－ 1＜ a＜ 1 B． 0＜ a＜ 1 C． a＞ 1 或 a＜－ 1 D． a＝ 177。1 解析 因為點 (1,1)在圓的內(nèi)部， ∴ (1－ a)2＋ (1＋ a)2＜ 4， ∴ － 1＜ a＜ 1. 答案 A 4． (2020重慶 )在圓 x2＋ y2－ 2x－ 6y＝ 0 內(nèi)，過點 E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC 和 BD，則四邊形 ABCD 的面積為 ( )． A． 5 2 B． 10 2 C． 15 2 D． 20 2 解析 由題意可知，圓的圓心坐標是 (1,3)、半徑是 10，且點 E(0,1)位于該圓內(nèi)，故過點 E(0,1)的最短弦長 |BD|＝ 2 10－ ?12＋ 22?＝ 2 5(注：過圓內(nèi)一定點的最短弦是以該點為中點的弦 )，過點 E(0,1)的最長弦長等于該圓的直徑，即 |AC|＝ 2 10，且 AC⊥ BD，因此四邊形 ABCD 的面積等于 12|AC| |BD|＝ 12 2 10 2 5＝ 10 2，選 B. 答案 B 5． (2020長春模擬 )圓心在原點且與直線 x＋ y－ 2＝ 0 相切的圓的方程為________． 解析 設(shè)圓的方程為 x2＋ y2＝ r＝ |－ 2|2 ＝ 2. ∴ 圓的方程為： x2＋ y2＝ 2. 答案 x2＋ y2＝ 2 考向一 求圓的方程 【例 1】 ?已知圓 C 與直線 x－ y＝ 0 及 x－ y－ 4＝ 0 都相切，圓心在直線 x＋ y＝ 0上，則圓 C 的方程為 ( )． A． (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2 B． (x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2 C． (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2 D． (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2 [審題視點 ] 設(shè)圓心坐標，根據(jù)相切的條件列出等式求圓心及半徑；也可以利用圓的幾何特征求圓心及半徑． 解析 法一 設(shè)出圓心坐標，根據(jù)該圓與兩條直線都相切列方程即可． 設(shè)圓心坐標為 (a，－ a)，則 |a－ ?－ a?|2 ＝ |a－ ?－ a?－ 4|2 ， 即 |a|＝ |a－ 2|，解得 a＝ 1，故圓心坐標為 (1，－ 1)，半徑 r＝ 22＝ 2，故圓的方程為 (x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2. 法二 題目給出的圓的兩條切線是平行線，故圓的直徑就是這兩條平行線之間的距離 d＝ 42＝ 2 2；圓心是直線 x＋ y＝ 0 與這兩條平行線交點的中點，直線 x＋ y＝ 0 與直線 x－ y＝ 0 的交點坐標是 (0,0)、與直線 x－ y－ 4＝ 0 的交點坐標是 (2，－2)，故所求的圓的圓心坐標是 (1，－ 1)，所求的圓的方程是 (x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2. 法三 作為選擇題也可以驗證解答，圓心在 x＋ y＝ 0 上，排除選項 C、 D，再驗證選項 A、 B 中圓心到兩直線的距離等于半徑 2即可． 答案 B 求具備一定條件的圓的方程時，其關(guān)鍵是尋找確定圓的兩個幾何要素，即圓心和半徑，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法．在一些問題中借助圓的平面幾何中的知識可以簡化計算，如已知一個圓經(jīng)過兩個點時，其圓心一定在這兩點的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用． 【訓(xùn)練 1】 經(jīng)過 點 A(5,2)， B(3,2)，圓心在直線 2x－ y－ 3＝ 0 上的圓的方程為________． 解析 ∵ 圓經(jīng)過點 A(5,2)， B(3,2)， ∴ 圓心在 x＝ 4 上，又圓心在 2x－ y－ 3＝ 0 上， ∴ 圓心為 (4,5)，可設(shè)圓的方程為 (x－ 4)2＋ (y－ 5)2＝ r2， 又圓過 B(3,2)，即 (3－ 4)2＋ (2－ 5)2＝ r2， ∴ r2＝ 10， ∴ 圓的方程為 (x－ 4)2＋ (y－ 5)2＝ 10. 答案 (x－ 4)2＋ (y－ 5)2＝ 10 考向二 與圓有關(guān)的最值問題 【例 2】 ?(2020武漢模擬 )已知點 P(x， y)在圓 x2＋ (y－ 1)2＝ 1 上運動，則 y－ 1x－ 2的最大值與最小值分別為 ________． [審題視點 ] 找出 y－ 1x－ 2的幾何意義，運用幾何法求解． 解析 設(shè) y－ 1x－ 2＝ k，則 k 表示點 P(x， y)與點 (2,1)連線的斜率．當該直線與圓相切時， k 取得最大值與最小值． 由 |2k|k2＋ 1＝ 1，解得 k＝ 177。 33 . 答案 33 ；－ 33 與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型： ① 形如 μ＝ y－ bx－ a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題； ② 形如 t＝ax＋ by 形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題； ③ 形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題． 【訓(xùn)練 2】 圓 x2＋ y2－ 4x－ 4y－ 10＝ 0 上的點到直線 x＋ y－ 14＝ 0 的最大距離與最小距離的差是 ( )． A． 30 B． 18 C． 6 2 D． 5 2 解析 由圓 x2＋ y2－ 4x－ 4y－ 10＝ 0 知圓心坐標為 (2,2)，半徑為 3 到直線 x＋ y－ 14＝ 0 的最大距離為： |2＋ 2－ 14|2 ＋ 3 2＝ 5 2＋ 3 2，最小距離為：5 2－ 3 2，故最大距離與最小距離的差為 6 2. 答案 C 考向三 圓的綜合應(yīng)用 【例 3】 ?已知圓 x2＋ y2＋ x－ 6y＋ m＝ 0 和直線 x＋ 2y－ 3＝ 0 交 于 P， Q 兩點，且OP⊥ OQ(O 為坐標原點 )，求該圓的圓心坐標及半徑． [審題視點 ] (1)利用垂直列出坐標之間關(guān)系，再化為 m 的方程求解； (2)OP⊥ OQ得到 O點在以 PQ為直徑的圓上，再利用勾股定理求解． 解 法一 將 x＝ 3－ 2y， 代入方程 x2＋ y2＋ x－ 6y＋ m＝ 0， 得 5y2－ 20y＋ 12＋ m＝ 0. 設(shè) P(x1， y1)， Q(x2， y2)，則 y y2滿足條件： y1＋ y2＝ 4， y1y2＝ 12＋ m5 . ∵ OP⊥ OQ， ∴ x1x2＋ y1y2＝ x1＝ 3－ 2y1， x2＝ 3－ 2y2. ∵ x1x2＝ 9－ 6(y1＋ y2)＋ 4y1y2＝ － 27＋ 4m5 . 故 － 27＋ 4m5 ＋ 12＋ m5 ＝ 0，解得 m＝ 3， 此時 Δ＞ 0，圓心坐標為 ??? ???－ 12， 3 ，半徑 r＝ 52. 法二 如圖所示，設(shè)弦 PQ 中點為 M， 設(shè) M(x0， y0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 由法一知， y1＋ y2＝ 4， x1＋ x2＝－ 2， ∴ x0＝ x1＋ x22 ＝－ 1， y0＝ y1＋ y22 ＝ 2. 解得 M 的坐標為 (－ 1,2)． 則以 PQ 為直徑的圓可設(shè)為 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ r2. ∵ OP⊥ OQ， ∴ 點 O 在以 PQ 為直徑的圓上． ∴ (0＋ 1)2＋ (0－ 2)2＝ r2， 即 r2＝ 5， |MQ|2＝ r2. 在 Rt△ O1MQ中， |O1Q|2＝ |O1M|2＋ |MQ|2. ∴ 1＋ ?－ 6?2－ 4m4 ＝ ??????－ 12＋ 12＋ (3－ 2)2＋ 5. ∴ m＝ 3， ∴ 半徑為 52，圓心為 ??? ???－ 12， 3 . (1)在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運算． (2)本題中兩種解法都是用方程思想求 m值，即兩種解法圍繞 “ 列出 m的方程 ”求 m值． 【訓(xùn)練 3】 (2020廣州模擬 )在以 O 為原點的直角坐標系中，點 A(4，－ 3)為 △OAB 的直角頂點， 已知 |AB|＝ 2|OA|，且點 B 的縱坐標大于 0. (1)求 AB→ 的坐標； (2)求圓 x2－ 6x＋ y2＋ 2y＝ 0 關(guān)于直線 OB 對稱的圓的方程． 解 (1)設(shè) AB→ ＝ (x， y)，由 |AB|＝ 2|OA|， AB→ OA→ ＝ 0， 得 ??? x2＋ y2＝ 100，4x－ 3y＝ 0， 解得 ??? x＝ 6，y＝ 8 或 ??? x＝－ 6，y＝－ 8， 若 AB→ ＝ (－ 6，－ 8)，則 yB＝－ 11 與 yB＞ 0 矛盾， 所以 ??? x＝－ 6，y＝－ 8 舍去． 即 AB→ ＝ (6,8)． (2)圓 x2－ 6x＋ y2＋ 2y＝ 0，即 (x－ 3)2＋ (y＋ 1)2＝ ( 10)2， 其圓心為 C(3，－ 1)，半徑 r＝ 10， ∵ OB→ ＝ OA→ ＋ AB→ ＝ (4，－ 3)＋ (6,8)＝ (10,5)， ∴ 直線 OB 的方程為 y＝ 12x. 設(shè)圓心 C(3，－ 1)關(guān)于直線 y＝ 12x 的對稱點的坐標為 (a， b)， 則????? b＋ 1a－ 3＝－ 2，b－ 12 ＝12a＋ 32 ，解得 ??? a＝ 1，b＝ 3， 則所求的圓的方程為 (x－ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 10. 閱卷報告 13—— 選擇方程不當或計算失誤 【問題診斷】 由于圓的方程有兩種形式：標準方程和一般方程，所以在求圓的方程要合理選用，如果選擇不恰當，造成構(gòu)建的方程組過于復(fù)雜無法求解而失誤 . 【防范措施】 若已知條件容易求出圓心坐標和半徑或需利用圓心坐標列方程，通常選用圓 的標準方程；若已知條件為圓經(jīng)過三點，一般采用一般式，但已知點的坐標較復(fù)雜時，采用一般式計算過繁，可以采用標準式 . 【 示例 】 ?(2020全國新課標 )在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 y＝ x2－ 6x＋ 1 與坐標軸的交點都在圓 C 上． (1)求圓 C 的方程； (2)若圓 C 與直線 x－ y＋ a＝ 0 交于 A， B 兩點，且 OA⊥ OB，求 a 的值． 錯因 計算失誤． 實錄 (1)令 y＝ 0，則與 x 軸的交點為 (3＋ 2 2， 0)， (3－ 2 2，0)，令 x＝ 0，則與 y 軸的交點為 (0,1)，設(shè)圓的方程為： x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0， 則????? E＋ F＋ 1＝ 0，?3＋ 2 2?D＋ F＋ ?3＋ 2 2?2＝ 0，?3－ 2 2?D＋ F＋ ?3－ 2 2?2＝ 0， 解得： D＝ 6， E＝ 27＋ 12 2， F＝－ 28－ 12 2， ∴ x2＋ y2＋ 6x＋ (27＋ 12 2)y－ 28－ 12 2＝ 0. 正解 (1)曲線 y＝ x2－ 6x＋ 1 與 y 軸的交點為 (0,1)，與 x 軸的交點為 (3＋ 2 2， 0)，(3－ 2 2， 0)． 故可設(shè) C 的圓心為 (3， t)，則有 32＋ (t－ 1)2＝ (2 2)2＋ t2， 解得 t＝ C 的半徑為 32＋ ?t－ 1?2＝ 3. 所以圓 C 的方程為 (x－ 3)2＋ (y－ 1)2＝ 9. (2)設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)，其坐標滿足方程組： ??? x－ y＋ a＝ 0，?x－ 3?2＋ ?y－ 1?2＝ 9. 消去 y，得到方程 2x