函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的幾個(gè)判別法_數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-資料下載頁(yè)
2025-08-19 23:49本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).充要判別法；加逼收斂判別法等,并對(duì)每種新方法給予嚴(yán)格證明.例1設(shè)u1=x,un=xn－xn-1(n=2,3,……時(shí),ｘ變,Ｎ也變,且當(dāng)ｘ??不論n多么大,總有離1很近的x,使得Sn離S很遠(yuǎn).由上面的兩個(gè)例子可以看出,并非所有的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于給定的0??個(gè)公用的N*,使得???????|)()(|,*,xSxSExNnn恒成立.由此,我們引出一致收斂的
【正文】 |)(/)(|lim xvxunnn ??=k 且 ????k0 ,若級(jí)數(shù) ???1 )(n n xv在區(qū)間 I絕對(duì)一致收斂 ,則函數(shù)級(jí)數(shù)???1 )(n n xu 在區(qū)間 I也絕對(duì)一致收斂 . 證明 由 |)(/)(|lim xvxunnn ??=k 且 ????k0 即 IxNnNN ?????? ,00 當(dāng)? 有0||)(/)(|| ???kxvxu nn ,使 Ckxvxu nn ??? 0|)(/)(| ?且 C=k+0 0. 即 |( x )v|C|( x )u| nn ???? 有及 IxNn .又級(jí)數(shù) ???1 )(n n xv在區(qū)間 I 絕對(duì)一致收斂 ,由比較判別法的定理 1知級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu在區(qū)間 I也絕對(duì)一致收斂 . 例 9 證明函數(shù)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xa與 ???1 )(n n xc在區(qū)間 I 一致收斂 ,則級(jí)數(shù)))()((1 xaxc nn n ???? 在區(qū)間 I 一致收斂 ,又 IxNn ??? , 有 )(xan ≤ )(xbn ≤ )(x ,故 0≤)(xbn — )(xan ≤ )(x )(xan 且級(jí)數(shù) ))()((1 xaxc nn n ????在區(qū)間 I絕對(duì)一致收斂 ,由比較判別法定理 2 知級(jí)數(shù) ))()((1 xaxb nn n ????在區(qū)間 I 一致收斂 ,從而級(jí)數(shù)???1 )(n n xb = )]())()([(1 xaxaxb nnn n ????? = ?? ???? ?? 11 )())()(( n nnn n xaxaxb 在區(qū)間 I上也一致收斂 . 3 正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的幾個(gè)新的判別法及證明 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020屆畢業(yè)論文 13 定理 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ? )(xun,? )(xvn都是定義在數(shù)集 D上正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) , )()( )( xrxv xunn ? , Dxn ??? , .設(shè) .)}({s u p,)}({in f 21 rxrrxr DxDx ?? ?? （ 1）當(dāng) 1 r 0, ???2r 時(shí) ,? )(xun與 ? )(xvn在數(shù)集 D上同時(shí)一致收斂或同時(shí)不一致收斂 . （ 2）當(dāng) 1r =0, ???2r 時(shí) ,若 ? )(xvn在 D 上一致收斂 ,則 ? )(xun在 D上也一致收斂 .（ 3）當(dāng) 1r 0, ???2r 時(shí) ,若 ? )(xun在 D上不一致收斂 ,則 ? )(xvn在 D 上也不一致收斂 . 證明 由 )()( )( xrxv xunn ?, Dxn ??? , 則取 ,0 00 N??? 當(dāng) nN 時(shí) ,對(duì)一切 Dx? 有0|)()(/)(| ??? xrxvxu nn 01 )()(/)()( ??? ????????? xrxvxuxrr nn)()()()()( 0201 xvrxuxvr nnn ?? ????? 定理 設(shè) ? )(xun是定義在數(shù)集 D 上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) , )(xun 在 D 上有界（ n=1,2,...） ,若 )()( )(1 xrxu xu nn ??, Dxn ??? , ,設(shè) )}({sup xrrDx??,則 （ 1） r1 時(shí) ,? )(xun在 D 上一致收斂； （ 2） r1 時(shí) ,? )(xun在 D 上不一致收斂 . 證明 （ 1） )()( )(1 xrxu xu nn ??, ,??n 取 ,1 0Nr ???? 當(dāng) n≥ 0N 時(shí) ,對(duì)一切 Dx? 有 01 |)()( )(| ???? xrxu xu nn? )()( )(1 xrxu xunn ?? + 0? r + 0? 1 ? )(1xun? (r+ 0? ) )(xun (r+ 0? )2)(1xun? … (r+ 0? ) 0Nn? )(0 xuN . 由 )(0 xuN 在 D上有界 ,即存在 M0,對(duì)一切 Dx? 有 || 0uN ≤ M, .)()()( 00 0 nNn rr Mxu ?? ??? 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020屆畢業(yè)論文 14 由 nr? ? )( 0? 收斂 ,得 nN rr M )()( 00 0 ?? ???收斂 ,由優(yōu)先級(jí)判別法知在 D上一致收斂 . （ 2） r1 時(shí) , Dx??0 使 ,1)(0 ?xr 即 0)(lim1)()( )(lim 00 01 ???? ????? xuxrxu xu nnnnn 因此 ? )(0xun不收斂 ,所以 ? )(xun在 D 上不收斂 . 注： )}({sup xrDx?=1時(shí) ,? )(xun在 D 上是否一致收斂無(wú)法判斷 . 定理 設(shè) ? )(xun是定義在數(shù)集 D 上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,若 ),()( xrxun n ? 設(shè)r= )}({sup xrDx?,則 （ 1） r1 時(shí) ,? )(xun在 D上一致收斂； （ 2） r1 時(shí) ,? )(xun在 D上不一致收斂 . 證明 （ 1） r1 時(shí) ,由 ),()( xrxun n ? 取 DxNnNr ????? 時(shí)，對(duì)一切當(dāng) 000 ,1? 有 | ??? 0|)()(| ?xrxun n )()( xrxun n ? 若 +0? nn rxu )()( 0???? . 由 r+ 0? 1,由優(yōu)先級(jí)判別法中知 ? )(xun在 D上一致收斂 . （ 2） r1時(shí) , 1)( 00 ??? xrDx 使 ,由??nlim )(lim1)()( 00 xuxrxu nnn n ?????,即 ? )(xun在D 上不一致連續(xù) . 定理 設(shè) ? )(xun是定義在數(shù)集 D上的正項(xiàng)級(jí)數(shù) , )(xun 在 D上有界（ n=1,2...） ,若 ) } ,({in f),(1)( )( 1 xrrxrxu xun Dxnn ?? ????????? 設(shè)則當(dāng) r1時(shí) ,? )(xun在 D上一致收斂 . 證明 由 r1, ),(1)( )(1 xrxu xun nn ???????? ?取 110 ,1 NnNr ????? 對(duì)一切 x D? 有數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020屆畢業(yè)論文 15 ??????????? 01|)(1)( )(| ?xrxu xunnn 1)(1)( )( 001??????????????? rxrxu xunnn . 取 1sr 0? , 22, NnN ?? ,有 1+ snnr ?????? ??? 110?取 N0=max(N1,N2),當(dāng) n≥ N0 時(shí) ,對(duì)一切Dx? 有 ????? nrxu xunn 01 1)()( ? nnn ss )1(11 ???????? ? . 因此 )()()()1()( 01 xuNxunxunxun nsnsnsns ???? ?由 )(0 xuN 在 D上有界 ,則存在 M0,使得對(duì)一切 Dx? ,有 sxn n MNxuMxuN 00 )(|)(| ???由 s1時(shí) ,?sxnMN0 收斂 ,由優(yōu)先級(jí)判別法知 ? )(xun 在 D上一致收斂 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020屆畢業(yè)論文 16 參考文獻(xiàn) [1]南京審計(jì)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)專題學(xué)習(xí)網(wǎng) [EB/OL] [2]深圳大學(xué)的高等數(shù)學(xué)專題學(xué)習(xí)網(wǎng) [EB/OL] [3]華東師范 大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].北京：高等教育出版社 ,2020： 26 [4]陳傳璋等 .數(shù)學(xué)分析 [M].高等教育出版社 ,1979:4548 [5]許忠勤 .數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容和方法 [M].貴陽(yáng)：貴州人民出版社 ,1983:6062
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