安徽省蚌埠二中20xx屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬測試(一)_文_新人教a版【會員獨(dú)享】-資料下載頁
2024-08-23 17:06本頁面
【導(dǎo)讀】,，i為虛數(shù)單位，則??A，B兩人中至少有1人被錄用的概率是。yax的一條漸近線方程為02??yx，則該雙曲線的離心率?7已知圓C的經(jīng)過直線022???yx與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，又經(jīng)過拋物線xy82?8設(shè)nS是等差數(shù)列??時(shí)，該容器的容積為3cm。①“,Rx??112???xx”的否定；②“若,062???xx則2?x”的否命題；其中真命題的序號是。中，F(xiàn)E,分別是ACAB,的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則。axax有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為。若a·b＝136，求sinθ＋cosθ的值；若函數(shù)y＝f有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由；設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若對任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，得0分．假設(shè)甲班三名同學(xué)答對的概率都是23，乙班三名同學(xué)答對的概率分別是23，23，12，13，兩邊比較得結(jié)果為4
【正文】 斷曲線 C： ???x＝ 2cos?，y＝ sin? (?為參數(shù)）與直線 l： ???x＝ 1＋ 2t，y＝ 1－ t(t為參數(shù) )是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論． 解 法一 ： 直線 l的普通方程為 x＋ 2y－ 3＝ 0． ?????? 3分 用心 愛心 專心 13 曲線 C的普通方程為 2244xy??． ???????? 3分 由方程組222 3 044xyxy? ? ??? ???得 28 12 5 0yy? ? ? 因?yàn)?16 0??? ? 無解，所以 曲線 C與直線 l沒有公共點(diǎn)． ????? 4分 （注： 16 0??? ? 計(jì)算出錯，但位置關(guān)系正確，得 2分） 解 法二 ： 直線 l的普通方程為 x＋ 2y－ 3＝ 0． ????????? 3分 把曲線 C的參數(shù)方程代入 l的方程 x＋ 2y－ 3＝ 0， 得 2cos?＋ 2sin?－ 3＝ 0，即 2sin(?＋ ?4)＝ 32． ???????? 3分 因?yàn)?2sin(?＋ ?4)∈ [－ 2， 2]，而 32∈∕ [－ 2， 2]， 所以方程 2sin(?＋ ?4)＝ 32無 解 ．即 曲線 C與直線 l沒有公共點(diǎn)．????? 4分 （或 2sin(?＋ ?4)＝ 32 2? ，所以 sin(?＋ ?4) 1? 無 解 ．即 曲線 C 與直線 l沒有公共點(diǎn)． 4分 ） 21D．選修 4— 5： 不等式選講 已知 a＞ 0， b＞ 0， a＋ b＝ 1，求證： 12a＋ 1＋ 42b＋ 1≥ 94 ． 證 法一：因?yàn)?a＞ 0， b＞ 0， a＋ b＝ 1， 所以 ( 12a＋ 1＋ 42b＋ 1 )[(2a＋ 1)＋ (2b＋ 1)] ＝ 1＋ 4＋ 2b＋ 12a＋ 1＋ 4(2a＋ 1)2b＋ 1 ???????? 5分 ≥5 ＋ 2 2b＋ 12a＋ 1 4(2a＋ 1)2b＋ 1 ＝ 9． ??? ????? 3分 而 (2a＋ 1)＋ (2b＋ 1)＝ 4， 所以 12a＋ 1＋ 42b＋ 1≥ 94 ． ???????? 2分 證法二：因?yàn)?a＞ 0， b＞ 0，由柯西不等式得 ( 12a＋ 1＋ 42b＋ 1 )[(2a＋ 1)＋ (2b＋ 1)] ???????? 5分 ≥ ( 12a＋ 1 2a＋ 1 ＋ 42b＋ 1 2b＋ 1 )2 ＝ (1＋ 2)2＝ 9． ???????? 3分 由 a＋ b＝ 1， 得 (2a＋ 1)＋ (2b＋ 1)＝ 4， 用心 愛心 專心 14 所以 12a＋ 1＋ 42b＋ 1≥ 94 ． ???????? 2分 證法三：設(shè) 2 1 , 2 1a x b y? ? ? ?，則 1, 1,xy??且 2 1 2 1 4x y a b? ? ? ? ? ??? 2分 只需證明 1 4 94xy??即可． ????? 2分 因?yàn)?14( )( )xyxy?? 45 5 2 4 9yxxy? ? ? ? ? ?． ???? 2分 且 4xy??，所以 1 4 94xy??． 故 12a＋ 1＋ 42b＋ 1≥ 94 ?????? 2分 22．甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加青奧知識競賽，每人回答一個(gè)問題，答對得 10分，答錯得 0分 ． 假設(shè)甲班三名同學(xué)答對的概率都是 23 ，乙班三名同學(xué)答對的概率分別是 23 ， 23 ， 12 ，且這六個(gè)同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響 ． （ 1）用 X表示甲班總得分，求隨機(jī)變量 X的概率分布和數(shù)學(xué)期望； （ 2）記“兩班得分之和是 30 分”為事件 A，“甲班得分大于乙班得分”為事件 B，求事件 A， B同時(shí)發(fā)生的概率 ． 解 ： （ 1）隨機(jī)變量 X的可能取值是 0， 10， 20， 30，且 P(X＝ 0)＝ C03 (1－ 23 )3＝ 127 ， P(X＝ 10)＝ C13 23 (1－ 23 )2＝ 29 ， P(X＝ 20)＝ C23 (23 )2(1－ 23 )＝ 49 ， P(X＝ 30)＝ C33 (23 )3＝ 827 ． 所以， X的概率分布為 X 0 10 20 30 P 127 29 49 827 ?? ???????? 3分 隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望 E(X)＝ 0 127 ＋ 10 29 ＋ 20 49 ＋ 30 827 ＝ 20． ??? 5分 （ 2）甲班得 20分，且乙班得 10分的概率是： C23 (23)2(1－ 23)[ 23(1 － 23)(1 － 12)＋ (1－ 23) 23(1 － 12)＋ (1－ 23)(1 － 23) 12]＝1034 ； 用心 愛心 專心 15 甲班得 30分，且乙得班 0分的概率是： C33(23)3 (1 － 23)(1 － 23)(1 － 12)＝ 435 ． 所以事件 A， B同時(shí)發(fā)生的概率為 1034＋ 435＝ 34243． ???????? 10分 23． 記 (1＋ x2)(1＋ x22)? (1＋ x2n)的展開式中， x的系數(shù)為 an， x2的系數(shù)為 bn，其中 n∈ N*． （ 1) 求 an； （ 2） 是否存在常數(shù) p， q(p＜ q) ， 使 bn＝ 13(1＋ p2n)(1＋ q2n) 對 n∈ N*， n≥ 2 恒成立？ 證明你的結(jié)論． 解： （ 1） 根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得 an＝ 12＋ 122+?＋ 12n＝ 1－ 12n． ?? ???????? 3分 （ 2）解法一 計(jì)算得 b2＝ 18， b3＝ 732． 代入 bn＝ 13(1＋ p2n)(1＋ q2n)，解得 p＝－ 2， q＝－ 1． ? ??? ? ?? ?? 6分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 bn＝ 13(1－ 12n1)(1－ 12n)＝ 13－ 12n＋ 23 14n (n≥ 2)： ① 當(dāng) n＝ 2時(shí)， b2＝ 18， 結(jié)論 成立 ． ② 設(shè) n＝ k時(shí)成立，即 bk＝ 13－ 12k＋ 23 14k． 則當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)， bk+1＝ bk＋ ak2k+1＝ 13－ 12k＋ 23 14k＋ 12k+1－ 122k+1 ＝ 13－ 12k+1＋ 23 14k+1． 由 ①② 可得 結(jié)論 成立 ． ?? ???????? 10分 解法二 根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得 bn+1=bn+an2n+1． ? ??? ? ?? ?? 6分 所以 bn－ bn－ 1＝ an－ 12n ＝ 12n－ 122n－ 1＝ 12n－ 24n (n≥ 3)． 所以 bn＝ 123+124+?? +12n－ 2(143+144+?? +14n)+b2 ＝ 13－ 12n＋ 23 14n (n≥ 3) ． 又 b2＝ 18也滿足上式．所以 bn＝ 13－ 12n＋ 23 14n＝ 13(1－ 12n1) (1－ 12n) (n≥ 2)． 所以存在 p＝－ 2， q＝－ 1符合題意． ?? ???????? 10分 用心 愛心 專心 16 解法三 根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得 bn＝ 12[(12＋ 122＋?＋ 12n)2－ (122＋ 124＋?＋ 14n)] ?? ???????? 7分 ＝ 12[(1－ 12n)2－14(1－14n)1－ 14]＝ 13－ 12n＋ 23 14n＝ 13(1－ 12n1)(1－ 12n)． 所以存在 p＝－ 2， q＝－ 1符合題意． ?? ???????? 10分
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