【正文】 //平面 ACF，求 BFBE的值 17．（本小題滿分 14 分） 如圖 ， 在 平面直 角 坐標(biāo) 系 xOy中， 橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(a＞ b＞ 0)的離心率為32 ，以原點為圓心，橢圓 C的短半軸長為半徑的圓與直線 x－ y＋ 2＝ 0相切． （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2） 已知點 P(0， 1)， Q(0， 2)．設(shè) M， N是橢圓 C上關(guān)于 y軸對稱的不同 兩點， 直線 PM與 QN相 交于點 T， 求證： 點 T在 橢圓 C上 ． 18．（本小題滿分 16 分） 某單位設(shè)計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個對角線在 l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為 充分 利用現(xiàn)有材料，邊 BC， CD用一根 5米長的材料彎折而成，邊 BA， AD用一根 9米長的材料彎折而成，要求∠ A和∠ C互補，且 AB＝ BC． （ 1）設(shè) AB＝ x米， cosA＝ f(x)，求 f(x)的解析式，并指出 x的取 值范圍； （ 2）求四邊形 ABCD面積的最大值． A B C D E F (第 16 題圖） 用心 愛心 專心 3 19．（本小題滿分 16 分） 函數(shù) f(x)＝∣ ex－ bx∣，其中 e為自然對數(shù)的底 ． （ 1）當(dāng) b＝ 1時， 求曲線 y＝ f(x)在 x＝ 1處的切線方程 ； （ 2）若函數(shù) y＝ f(x)有且只有一個零點，求實數(shù) b的取值范圍； （ 3）當(dāng) b＞ 0時，判斷函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 (0， 2)上是否存在極大值．若存在，求出極大值及相應(yīng)實數(shù) b的取值范圍． 20．（本小題滿分 16 分） 已知數(shù)列 {an}滿足： a1＋ a2λ ＋ a3λ 2＋?＋ anλ n－ 1＝ n2＋ 2n（其中常數(shù) λ ＞ 0， n∈ N*）． （ 1）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ 2）當(dāng) λ ＝ 4 時，是否存在互不相同的正整數(shù) r， s， t， 使得 ar， as， at成等比數(shù)列？若存在，給出 r， s， t滿足的條件；若不存在，說明理由； （ 3）設(shè) Sn為數(shù)列 {an}的前 n項和．若對任意 n∈ N*，都有 (1－ λ )Sn＋ λa n≥ 2λ n恒成立，求實數(shù) λ 的取值范圍． 21在 平面直 角 坐標(biāo) 系 xOy中，判斷曲線 C： ???x＝ 2cos?，y＝ sin? (?為參數(shù)）與直線 l： ???x＝ 1＋ 2t，y＝ 1－ t(t為參數(shù) )是否有公共點，并證明你的結(jié)論． 21 D．選修 4— 5： 不等式選講 已知 a＞ 0， b＞ 0， a＋ b＝ 1，求證： 12a＋ 1＋ 42b＋ 1≥ 94 ． 22．甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加青奧知識競賽，每人回答一個問題，答對得 10分，答錯得 0分 ． 假設(shè)甲班三名同學(xué)答對的概率都是 23 ，乙班三名同學(xué)答對的概率分別是 23 ， 23 ， 12 ，且這六個同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響 ． （ 1）用 X表示甲班總得分，求隨機變量 X的概率分布和數(shù)學(xué)期望； （ 2）記“兩班得分之和是 30 分”為事件 A，“甲班得分大于乙班得分”為事件 B，求事件 A， B同時發(fā)生的概率 ． 23． 記 (1＋ x2)(1＋ x22)? (1＋ x2n)的展開式中， x的系數(shù)為 an， x2的系數(shù)為 bn，其中 n∈ N*． （ 1) 求 an； （ 2） 是否存在常數(shù) p， q(p＜ q) ， 使 bn＝ 13(1＋ p2n)(1＋ q2n) 對 n∈ N*， n≥ 2 恒成立？ 證用心 愛心 專心 4 明你的結(jié)論． 數(shù)學(xué) 試卷解析 一 、填空題 ： 本大題共 14小題，每小題 5分，共 70分 1． 已知集合 ? ?RxxxxA ???? ,02| 2 ， ?? axxB ?? | ，若 BBA ?? ，則實數(shù) a 的取值范圍是 。 解析：將等式兩邊都乘 i ，得到 biia ??? 13 ，兩邊比較得結(jié)果為 4 3 某單位從 4 名應(yīng)聘者 A、 B、 C、 D中招聘 2人，如果這 4名應(yīng)聘者被錄用的機會均等，則A， B兩人中至少有 1人被錄用的 概率是 。 解析：由所有頻率之和為 1，可知道 a =，由頻 率公式可知道所求件數(shù)為 20。 解析：先求直線得 022 ??? yx 與坐標(biāo)軸的交點為 )2,0(),0,1( BA ? ，拋物線 xy 82? 的焦點為 )0,2(D ，可 把圓 C的方程設(shè)為一般形式，把點坐標(biāo)代入求得 x2＋ y2－ x－ y－ 2＝ 0 法 2。并求出半徑，再求。若3173?SS，則 ?76SS 。 解析：經(jīng)計算 A值是以 31,3,2? 為循環(huán)的，注意，當(dāng) i =11時仍循環(huán)， 12的時候 出來，所以有 12個 A值，結(jié)果為 13 1 一塊邊長為 10cm 的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點 P 為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器。 解析：由題意可知道，這個正四棱錐形容器的底面是以 6 為邊長的正方形，側(cè)高為 5，高為 4，所以所求容積為 48 1下列四個命題 ①“ ,Rx?? 112 ???xx ”的否定； ②“若 ,062 ???xx 則 2?x ”的否命題； ③在 ABC? 中，“ ”是?30?A “ 21sin ?A ”的充分不必要條件； ④“函數(shù) )tan()( ??? xxf 為奇函 數(shù)”的充要條件是“ )( zkk ?? ?? ”。（把真命題的序號都填上） 解析： “ ,Rx?? 112 ???xx ”的否定；即 ,Rx?? 112 ???xx ，是真命題； “若 ,062 ???xx 則 2?x ”的否命題；即 ,062 ???xx 2?x ，也是真倒是，其余兩個是假命題很顯然 1在面積為 2 的 ABC? 中， FE, 分別是 ACAB, 的中點，點 P 在直線 EF 上，則 2BCPBPC ?? 的最小值是 。 解析：先將方程化為 aaxax 2321)2(log 2222 ?????，由題意知有唯一解，即為“ =”兩邊的函數(shù)圖像只有一個交點。解得 a =1 15． （ 設(shè)向量 a＝ (2， sinθ )， b＝ (1， cosθ )， θ 為銳角． （ 1）若 a b＝ 2＋ sinθ cosθ ＝ 136 ，所以 sinθ cosθ ＝ 16． ???? ?? 2分 所以 (sinθ ＋ cosθ )2＝ 1＋ 2 sinθ cosθ ＝ 43． 又因為 θ 為銳角，所以 sinθ ＋ cosθ ＝ 2 33 ． ?????? 5分 （ 2） 解法一 因為 a∥ b，所以 tanθ ＝ 2． ???? ? ? 7分 所以 sin2θ ＝ 2 sinθ cosθ ＝ 2 sinθ cosθ sin2θ ＋ cos2θ ＝ 2 tanθ tan2θ ＋ 1＝ 45， cos2θ ＝ cos2θ － sin2θ ＝ cos2θ － sin2θ sin2θ ＋ cos2θ ＝1－ tan2θ tan2θ ＋ 1＝－35． ?????? 11分 所以 sin(2θ ＋ π3 )＝ 12sin2θ ＋ 32 cos2θ ＝ 12 45＋ 32 (－ 35 )＝ 4－ 3 310 ． ?????? 14分 解法二 因為 a∥ b，所以 tanθ ＝ 2． ???? ? ? 7分 所以 sinθ ＝ 2 55 ， cosθ ＝ 55 ． 因此 sin2θ ＝ 2 sinθ cosθ ＝ 45， cos2θ ＝ cos2θ － sin2θ ＝－ 35． ?????? 11分 所以 sin(2θ ＋ π3 )＝ 12sin2θ ＋ 32 cos2θ ＝ 12 45＋ 32 (－ 35 )＝ 4－ 3 310 ．