【導(dǎo)讀】“數(shù)的整除性”這部分知識？“數(shù)的整除性”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識。握求最小公倍數(shù)的方法，也無法進(jìn)行正確、迅速的通分。從這個(gè)意義上講，學(xué)習(xí)。分知識，這些問題就不難解決了?？梢酝ㄟ^下面兩道題的計(jì)算過程，來加以說明。這兩道題相同的地方是都沒有余數(shù)，都可以說成是“除盡”。按原題可以說成是896能被16整除。盡”，而不能稱作“整除”。成36能被8整除?！罢迸c“除盡”是兩個(gè)不同的概念。“整除”是指在除法中只有被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)的。情況下，才可以說是“整除”。右邊集合圖來表示。65不能被7整除，33也不能被7整除，由于兩個(gè)余數(shù)的和，或差都不能被11整除。39能被13整除，39的4倍也能被13整除。84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除?；ú嫉拈L度是8米的4“倍”，

　　

【正文】 倍數(shù)的方法去解答，用其他解應(yīng)用題的方法將無濟(jì)于事。 例 1：將一塊長 24厘米，寬 18 厘米，厚 12 厘米的長方體木料，鋸成盡可能大的同樣大小的正方體木塊，可以鋸成多少塊？ 由于同樣大小的正方體木塊，棱長都必須相等，這個(gè)棱長的厘米數(shù)，應(yīng) 該是長方體木料長、寬、厚厘米數(shù)的公約數(shù)，因?yàn)橐笳襟w的木塊盡可能大，也就是要求正方體木塊的棱長盡可能長，所以求的棱長厘米數(shù)必然是長方體木料長、寬、厚的最大公約數(shù)。 2 18 和 12的最大公約數(shù)是 2 3=6。 既然正方體木塊的棱長最大長度是 6厘米，再分別求出長方體木料的長、寬、 厚各有幾個(gè) 6厘米，最后就可以求出鋸出正方體木塊的塊數(shù)。 24247。 6=4 18247。 6＝ 3 12247。 6=2 因此，鋸成的塊數(shù)是 4 3 2=24（塊） 檢驗(yàn)： 長方體木料體積： 24 18 12=5184（立方厘米） 正方體木塊體積： 6 6 6=216（立方厘米） 可以鋸成的塊數(shù)： 5184247。 216=24（塊） 答：可以鋸成 24 塊。 例 2：在公共汽車站有三條汽車線，一路車每隔 5分鐘開出一輛，六路車每隔 10 分鐘開出一輛，八路車每隔 8分鐘開出一輛。這三路汽車在同一時(shí)刻發(fā)車后，至少再過多少分鐘， 又在同一時(shí)刻發(fā)車？ 這一、六、八路車在同地同時(shí)發(fā)車后，由于每路車發(fā)車時(shí)間的間隔不同，再次同時(shí)發(fā)車經(jīng)過的時(shí)間，必然是 8 分鐘的公倍數(shù)，根據(jù)題意要求，至少再過多少分鐘，說明所求的就是 8分鐘的最小公倍數(shù)。 10的最小公倍數(shù)是 2 5 1 4 1=40 答：至 少再過 40 分鐘，又在同一時(shí)刻發(fā)車。 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)應(yīng)用題，在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛。例如，人數(shù)不同的教學(xué)班，分成人數(shù)相等的小組；行星運(yùn)轉(zhuǎn)軌道不同，在同一直線上開始運(yùn)轉(zhuǎn)，再次同時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)所需天數(shù)等問題，都需要用上述兩種方法來解答。 “公倍數(shù)法”解“孫子問題”？ 我國古代的《孫子算經(jīng)》里，曾提出了這樣一個(gè)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？” 翻譯成現(xiàn)代語言就是：“現(xiàn)在有許多物品不知道是多少，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)余三個(gè)，七個(gè)七個(gè)地 數(shù)余二個(gè)，問這些物品有多少個(gè)？”這個(gè)問題通常叫做“孫子定理”或“孫子問題”，它的解法很早就流傳到國外，被稱為“中國剩余定理”。 用公倍數(shù)法解這道題的思路是這樣的：先考慮第一個(gè)條件，并使其余數(shù)為 1，從第二、三個(gè)條件入手， 5 和 7 的公倍數(shù)是 35，但 35247。 3的余數(shù)為 2，不是 1，而 35 2= 70， 70247。 3 的余數(shù)正好是 1，也就是說：能被 7整除，而被 3除余 1 的數(shù)是 70。 再考慮第二個(gè)條件，也使其余數(shù)為 1，從第一、三條件入手， 3 和 7的公倍數(shù)是 21， 21247。 5的余數(shù)正好是 1，這說明：能被 3和 7整除，而被5 除余 1的數(shù)是 21。 然后考慮第三個(gè)條件，從第一、二條件入手，使其余數(shù)也是 1， 3和 5的公倍數(shù)是 15， 15247。 7的余數(shù)也恰是 1，這說明：能被 3和 5整除，而被 7 除余 1的數(shù)是 15。 因此，被 5 和 7 整除，而被 3 除余 2的數(shù)是 70 2=140；被 3和 7整除，而被 5 除余 3的數(shù)是： 21 3=63；被 3和 5整除，而被 7除余 2的數(shù)是 15 2=30。把滿足三個(gè)條件的數(shù)加起來，所得的和必然是具備被 3除余 2，被 5除余 3，被 7除余 2的特點(diǎn)。 140＋ 63＋ 30=233，這個(gè)結(jié)果是正確的，但不是唯一的，因?yàn)槌龜?shù) 7的最小公倍數(shù)是 105， 233 加上或減去若干個(gè) 105，所得的結(jié)果仍然能滿足題目中的全部條件。但減 105 時(shí)，在正整數(shù)范圍內(nèi)，差小于 105就可以了。 如果原題最后一問加上“最少”兩個(gè)字，即：“最少為幾何？”則：233105105=23。這個(gè) 23 是滿足題目條件的最小的一個(gè)數(shù)。 這個(gè)問題的解法，在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》里，有如下歌訣： 三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝， 七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。 這個(gè)歌訣所說的計(jì)算步驟，與前面敘述過程一樣，列出算式為： 2 70+3 21+2 15=233 233105105=23 檢驗(yàn)： 23247。 3=7?? 2 23247。 5=4?? 3 23247。 7=3?? 2w “九宮填數(shù)”問題？ “九宮填數(shù)“也叫“九方數(shù)”，古代稱為“九宮算”。九宮填數(shù)是將九個(gè)有效數(shù)字填在九個(gè)方位格子里，要使每行、每列和每條對角線上的和都相等，即：橫的三個(gè)數(shù)之和、豎的三個(gè)數(shù)之和與斜的三個(gè)數(shù)之和，都相等。在解這個(gè)題之前，先把九宮的方位問題明確了，以便講行具體的闡述。 這個(gè)方位的確定與看地圖的方位是一致的。由于要把 1— 9這九個(gè)數(shù)填在適當(dāng)?shù)母褡永?，這九個(gè)數(shù)之和是 45，無論是橫、豎、斜都是三個(gè)數(shù)，把 45平均分成三行，每行三個(gè)數(shù)的和都是 15（包括橫、豎、斜）。每三個(gè)數(shù)的情況：橫有 3種，豎有 3種，斜有 2 種，共 8 種。 這 8 種情況（將 15 分解成的）有： （ 1） 1， 5， 9； （ 2） 1， 6， 8； （ 3） 2， 4， 9； （ 4） 2， 5， 8； （ 5） 2， 6， 7； （ 6） 3， 4， 8； （ 7） 3， 5， 7； （ 8） 4， 5， 6。 在填數(shù)時(shí)，其順序是先把“中數(shù)”確定，因?yàn)闄M、豎、斜這 8種情況中，有4種情況都包含“中數(shù)”，上面 8種組合中，只有“ 5”在 4 種中都出現(xiàn)了，因此這個(gè)中數(shù)是 5無疑。 然后再確定四個(gè)角上的“角數(shù)”。由于每個(gè)“角數(shù)”向橫、豎、斜發(fā)展，都會(huì)組成一組數(shù)，共三組，因此，每個(gè)“角數(shù)”必然是上面 8組數(shù)中三組包含的同一個(gè)數(shù)。從 8 組數(shù)中觀察，這樣的數(shù)共有四個(gè)偶數(shù)，即： 2， 4， 6， 8。這四個(gè)偶數(shù)還不能隨 意填，因?yàn)樾敝娜齻€(gè)數(shù)的和必須是 15，這樣，兩個(gè)對角數(shù)的和也應(yīng)該是 10，有了這種條件限制，斜線上的三個(gè)數(shù)是 2， 5， 8 或 4， 5， 6。但排列形式上，由于每個(gè)角數(shù)變換方位，會(huì)出現(xiàn)以下 8種情況： “中數(shù)”和“角數(shù)”確定之后，只剩下“邊數(shù)”的四個(gè)奇數(shù)了，由于橫、豎三個(gè)數(shù)的和是 15，現(xiàn)在已有了其中兩個(gè)數(shù)，剩下的這個(gè)數(shù)就不難求出了。 上述填數(shù)的規(guī)律確定之后，如果任意指定填上九個(gè)連續(xù)自然數(shù)，那么上述的規(guī)律也同樣適用。即：先確定“中數(shù)”，后確定“角數(shù)”和“邊數(shù)”。這有兩種情況：如果“中數(shù)”是奇數(shù)，那么“角數(shù)”必然是偶數(shù)，“邊數(shù)”則是奇數(shù)；如果中數(shù)是偶數(shù)，那么“角數(shù)”必然是奇數(shù) ，邊數(shù)則是偶數(shù)。 例如：把下列各組數(shù)擺成“九宮數(shù)”： （ 1） 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13； （ 2） 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14。 （ 1）式中橫、豎、斜各三個(gè)數(shù)的和為 27； （ 2）式中橫、豎、斜各三個(gè)數(shù)的和為 30。 ？ 輾轉(zhuǎn)相除法是求最大公約數(shù)的另一種方法。具體做法是：用較小數(shù)除較大數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)（第一余數(shù)）去除除數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)（第二余數(shù)）去除第一余數(shù)，如此反復(fù)，直到最后余數(shù)是 0 為止。如果是求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，那么最后的除數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 例如：求 112 和 77 的最大公約數(shù)。 輾轉(zhuǎn)相除法的過程如下； 把 112 和 77并列用 77 去除 112，寫好，用三條豎線隔商 1（寫在左邊），余數(shù)開。 35。 當(dāng)最后余數(shù)是 0時(shí)，輾轉(zhuǎn)相除的過程已經(jīng)完成，最后的除數(shù) 7就是 112 和77的最大公約數(shù)。 輾轉(zhuǎn)相除法的算理是根據(jù)：在 a=bq+r，中，除數(shù) b 和余數(shù) r 能被同一個(gè) 數(shù)整除，那么被除數(shù) a也能被這個(gè)數(shù)整除?；蛘哒f，除數(shù)與余數(shù)的最大公約數(shù)，就是被除數(shù)與除數(shù)的最大公約數(shù)；如果反過來說，被除數(shù)與除數(shù)的最大公約數(shù)，就是除數(shù)與余數(shù)的最大公約數(shù)。 如果用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，最后的余數(shù)是 1，那么這兩個(gè)數(shù)就是互質(zhì)數(shù)，或者說，它們只有公約數(shù) 1。 ？ 1742 年，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)了這樣的事實(shí)；每一個(gè)大于或者等于 6 的偶數(shù)，都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。例如： 6=3＋ 3 8=3＋ 5 10=5＋ 5 12=5＋ 7 14=7＋ 7 16=3＋ 13 18=5+13 100=3+97 1002＝ 5+997 哥德巴赫對許多偶數(shù)進(jìn)行了檢驗(yàn)，都證明這個(gè)論斷是正確的，有人甚至一個(gè)一個(gè)的偶數(shù)進(jìn)行驗(yàn)算，一直驗(yàn)算到三億三千萬個(gè)之多，也證明這個(gè)論斷是正確的。然而自然數(shù)是無窮的，是不是對所有的自然數(shù)，這個(gè)論斷都正確呢？在數(shù)學(xué)中還需要從理論上加以證明。 由于哥德巴赫自己無法證明， 1742 年他寫信給當(dāng)時(shí)有名的數(shù)學(xué)家歐拉，請他幫助做出證明。后來歐拉回信，認(rèn)為哥德巴赫所提的問題是對的，不過他也無法證明。哥德巴赫所提的問題，直到現(xiàn)在還沒能證明，因此，不能成為一條 定律，只能是一個(gè)猜想。哥德巴赫所提的問題，就被稱為哥德巴赫猜想，而這一猜想也成為世界著名難題之一。 二百多年過去了，這一難題的研究雖然有些進(jìn)展，但迄今為止，還沒有完全得到解決。 1920 年挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了：每一個(gè)很大偶數(shù)（或叫大偶數(shù)）是九個(gè)素?cái)?shù)的積加上九個(gè)素?cái)?shù)的積，簡稱“ 9＋ 9”。 1924 年法國的拉德巴哈爾證明了：每一個(gè)大偶數(shù)是七個(gè)素?cái)?shù)的積加上七個(gè)素?cái)?shù)的積，簡稱“ 7＋ 7”。隨著研究的進(jìn)展，“ 6＋ 6”、“ 5＋ 5”??最終還沒有完全證明。 研究越前進(jìn)，困難也越大。 50 年代以來，我國數(shù)學(xué)家不斷在哥 德巴赫猜想這一世界難題研究中，取得了良好的成績。特別是 1966 年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤宣布他已經(jīng)證明了：每一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)加上兩個(gè)素?cái)?shù)的積；即：所謂的（ 1+2）。 例如： 8=2+2 3 18=3+3 5 98=7＋ 13 7 1000=7+3 331 陳景潤的研究成果是研究哥德巴赫猜想的最好的結(jié)果，引起了國際數(shù)學(xué)界的高度重視，對于陳景潤的杰出貢獻(xiàn)，國外數(shù)學(xué)家把（ 1+2）這個(gè)證明命名為“陳氏定理”。 （ 1+2）的證明是 1973 年正式公布的。哥德巴赫猜想這道世界難題的最終解決，還 需要人們不斷地探索和證明。 ？ 棄九驗(yàn)算法又稱九余數(shù)法。它是依據(jù)九余數(shù)的特點(diǎn)，用來檢驗(yàn)加、減、乘、除四則運(yùn)算是否正確的一種驗(yàn)算方法。 所謂棄九數(shù)，就是指：把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加（如果相加的結(jié)果大于九要減去九），直到和是一位數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫做原來數(shù)的棄九數(shù)。棄九數(shù)也可以通過下列方法得到，即：把一個(gè)數(shù)中的數(shù)字 9或相加得 9的幾個(gè)數(shù)字都劃去，將剩下數(shù)字相加，得到一個(gè)小于 9的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是原來的棄九數(shù)。 例如：下列各數(shù)的最后數(shù)就是棄九數(shù)。 棄九驗(yàn)算法的實(shí)際應(yīng)用是： （ 1）檢驗(yàn)加法時(shí)，如果各個(gè)加數(shù)九余數(shù)之和（如超過 9再減去 9的倍數(shù)）等于和的九余數(shù)時(shí)，計(jì)算結(jié)果可能就是正確的。 （ 2）檢驗(yàn)減法時(shí)，如果被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)所得的差，等于差的九余數(shù)時(shí)，計(jì)算結(jié)果可能就是正確的。 （ 3）檢驗(yàn)乘法時(shí)，如果被乘數(shù)的九余數(shù)與乘數(shù)的九余數(shù)之積的九余數(shù)，等于積的九余數(shù)，計(jì)算結(jié)果可能就是正確的；反之則是錯(cuò)誤的。 由于等號兩邊的數(shù)字不一致，可以認(rèn)定結(jié)果是錯(cuò)誤的，正確結(jié)果應(yīng)該是： 3585437。 (4）檢驗(yàn)除法時(shí) ,可以用乘法逆運(yùn)算的辦法進(jìn)行。即：商除數(shù) =被除數(shù)。當(dāng)商的九余數(shù)和除數(shù)的九余數(shù)之積的九余數(shù)，等于被除數(shù)的九余數(shù)時(shí)，計(jì)算結(jié)果可能是正確的，反之則是錯(cuò)誤的。 這種棄九驗(yàn)算法的根據(jù)是：利用被 9整除數(shù)的 特征。一個(gè)數(shù)的棄九數(shù)就是這個(gè)數(shù)被 9 除后的余數(shù)（如果棄九數(shù)是 0，說明能被 9整除）。如果等號兩邊的余數(shù)相同，證明原來計(jì)算可能是正確的；等號兩邊的余數(shù)不相同，說明計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的。 棄九驗(yàn)算法是一種并不十分精確的驗(yàn)算方法，它的局限性是：在遇到下列情況時(shí)，往往檢驗(yàn)不出來計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤。 （ 1）如果在抄寫時(shí)，數(shù)字顛倒了位置，如： 837 誤抄成 873。 （ 2）在數(shù)字中出現(xiàn)丟 0或多 0時(shí)，如： 8406 誤寫成 846或 84006。 （ 3）這種驗(yàn)算方法也可以適用于小數(shù)四則的計(jì)算，驗(yàn)算時(shí)也按上述整數(shù)四則的方法進(jìn)行。但是，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)錯(cuò)了位置時(shí)，也檢驗(yàn)不出來錯(cuò)誤的所在。 盡管如此，棄九驗(yàn)算法由于具有簡便易行的特點(diǎn)，在一般情況下，較之用重復(fù)計(jì)算或逆運(yùn)算的方法進(jìn)行驗(yàn)算，可以省時(shí)省力，因此，這種驗(yàn)算方法還是有一定實(shí)用價(jià)值的。