【正文】 ，但 3本身是質(zhì)數(shù)，可以稱做 18 的質(zhì)因數(shù)，而 6是合數(shù)，則不能稱做 18 的質(zhì)因數(shù)。 （ 3）互質(zhì)數(shù)：兩個或幾個自然數(shù)，當(dāng)它們的最大公約數(shù)是 1的時候，這兩個或幾個數(shù)，就叫做互質(zhì)數(shù)（也叫互素數(shù)）。 例如： 5和 7， 4 和 11， 8 和 9， 11和 15， 1 20 和 35??。 上述這幾組數(shù)，它們的最大公約數(shù)都是 1，因此，它們都是互質(zhì)數(shù)。在以上兩個互質(zhì)數(shù)中，如 11和 15這三個數(shù)， 7和 11是互質(zhì)數(shù)， 11和 15是互質(zhì)數(shù)， 7和 15也是互質(zhì)數(shù)。這類情況，我們就叫做這三個數(shù)“兩兩互質(zhì)”。但 1 20 和 35 這組數(shù)中，雖然它們也是互質(zhì)數(shù)，但不是兩兩互質(zhì)，因為 12和 35 是互質(zhì)數(shù)，至于 12 和 20 和 35都不是互質(zhì)數(shù)。 需要注意的是：不管兩個數(shù)互質(zhì)或者兩個的數(shù)以上互質(zhì)，這些數(shù)本身卻不一定是質(zhì)數(shù)，如 5和 7是互質(zhì)數(shù)，它們本身都是質(zhì)數(shù)； 4和 11 是互質(zhì)數(shù)，其中 4并不是質(zhì)數(shù)； 8 和 9 是互質(zhì)數(shù)，但 8和 9本身都不是質(zhì)數(shù)。 總之，質(zhì)數(shù)是指一個數(shù)。譬如說：“ 2是質(zhì)數(shù)， 11 是質(zhì)數(shù)”等等。質(zhì)因數(shù)雖然也是指一個數(shù)，但是它是針對另一個數(shù)而說的。譬如說：“ 5是35 的質(zhì)因數(shù)?！比绻x開 35，孤立地說：“ 5是質(zhì)因數(shù)?！眲t是 不妥當(dāng)?shù)?。因此，質(zhì)因數(shù)具有雙重身份：第一必須是個質(zhì)數(shù)；第二必須是另一個數(shù)的因數(shù)。 互質(zhì)數(shù)同質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)都不同，它不是指一個數(shù)，而是指除了 1 以外，再沒有其他公約數(shù)的兩個或兩個以上的數(shù)。 由此可見：掌握質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)和互質(zhì)數(shù)這幾個術(shù)語的概念，其中質(zhì)數(shù)是基礎(chǔ)，這三者之間既有聯(lián)系，又有區(qū)別，要透徹理解和正確區(qū)分，才能防止混淆。 ？ 正確而迅速地判斷一個自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，在數(shù)的整除性這部分知識中，是一項重要的基本技能。 由于大于 2的質(zhì)數(shù)一定是奇數(shù)（奇數(shù)又不一定都是質(zhì)數(shù)）， 所以，在判斷一個自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)時，首先要看它是奇數(shù)還是偶數(shù)。如果是大于 2的偶數(shù)，這個數(shù)肯定不是質(zhì)數(shù)，而是合數(shù)；如果是奇數(shù)，那就有可能是質(zhì)數(shù)。在這種情況下，一般使用以下兩種方法： （ 1）查表法： 主要是指查“質(zhì)數(shù)表”。編制質(zhì)數(shù)表的過程是：按照自然數(shù)列，第一個數(shù) 1不是質(zhì)數(shù)，因此要除外，然后按順序?qū)懗?2至 500 的所有自然數(shù)，這些數(shù)中 2是質(zhì)數(shù)，把它留下，把 2后面所有 2 的倍數(shù)劃去， 2后面的 3是質(zhì)數(shù)，接著再把3后面所有 3 的倍數(shù)劃去，如此繼續(xù)下去，剩下的便是 500以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)。 最早使用上述方法來尋求質(zhì)數(shù) 的人，是古代希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼，由于他在開始時，先把自然數(shù)寫在一塊蠟板上，把不是質(zhì)數(shù)的數(shù)（合數(shù)）分別刺上一個孔，這樣，在蠟板上就被刺上了許多象篩子一樣的孔，后來，大家就把這種尋求質(zhì)數(shù)的方法叫做“篩法”。 下面是用篩法尋找出的 500 以內(nèi)質(zhì)數(shù)表： 這類的質(zhì)數(shù)表還可以編制成數(shù)字范 圍更大一些的，如 1000 以內(nèi)質(zhì)數(shù)表等。判斷一個自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，如在表所規(guī)定的數(shù)字范圍內(nèi)，即可用查表的方法進行判斷。 （ 2）試除法： 在手頭上沒有質(zhì)數(shù)表的情況下，可以用試除法來判斷一個自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)。例如判斷 14 179 是不是質(zhì)數(shù)，就可以按從小到大的順序用 11??等質(zhì)數(shù)去試除。一般情況下用 20以內(nèi)的 1 1 1 19這 8 個質(zhì)數(shù)去除就可以了。如 143，這個數(shù)的個位是 3，排除了被 5整除的可能性，它各位數(shù)字的和是 1+4+3=8，也不可能被 3整除，通過口算也證明不 能被7整除，當(dāng)試除到 11時，商正好是 13，到此就可以斷定 143 不是質(zhì)數(shù)。 對 179 試除過程如下： 179247。 2=59?? 2 179247。 3=66?? 1 179247。 5=35?? 4 179247。 7=25?? 4 179247。 11=16?? 3 179247。 13=13?? 10 179247。 17=10?? 9 當(dāng) 179247。 17所得到的不完全商 10 比除數(shù) 17小時，就不需要繼續(xù)再試除，而斷定 179 是質(zhì)數(shù)。這是因為 1 1 17都不是 179 的質(zhì)因數(shù)，因此， 179 不會再有比 17 大的質(zhì)因數(shù)，或者說 179 不可能被小于 10 的數(shù)整除，所以， 179 必是質(zhì)數(shù)無疑。 綜上所述，用試除法判斷一個自然數(shù) a是不是質(zhì)數(shù)時，只要用各個質(zhì)數(shù)從小到大依次去除 a，如果到某一個質(zhì)數(shù)正好整除，這個 a就可以斷定不是質(zhì)數(shù)；如果不能整除，當(dāng)不完全商又小于這個質(zhì)數(shù)時，就不必再繼續(xù)試除，可以斷定 a必然是質(zhì)數(shù)。 ？ 分解質(zhì)因數(shù)在數(shù)的整除性這部分知識中，既是整除、約數(shù)、質(zhì)數(shù)等基礎(chǔ)知識的綜合運用，也是后面學(xué)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的前提和準(zhǔn)備，所以，在數(shù)的整除中 ,它具有承上啟下的作用。 把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)， 就是把這個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來?；蛘哒f，把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)的連乘積。譬如 36 是合數(shù)，把 36分解成因數(shù)相乘，會有以下幾種情況： （ 1） 36=1 36 （ 2） 36=2 18 （ 3） 36=4 9 （ 4） 36=3 12 （ 5） 36＝ 6 6 在上面五種分解中，只有（ 2）式的 2和（ 4）式的 3 是質(zhì)數(shù) ,其他都不是。要分解質(zhì)因數(shù)就要把不是質(zhì)數(shù)的數(shù)（ 1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，排除在外），再分解成質(zhì)數(shù)連乘的形式。如（ 3）式中的 4和 9都是合數(shù)， 4可以分解為： 2 2； 9可以分解為： 3 3。這樣，把 36 分解質(zhì)因數(shù)，36=2 2 3 3。事實上，除（ l）式外，（ 2）（ 4）（ 5）式繼續(xù)分解，其最后結(jié)果也是同樣的。 把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，具體過程可采用短除法。 例如：把 420 分解質(zhì)因數(shù)。（從最小的質(zhì)因數(shù)開始） 由短除式中可以看到， 420 有 7五個質(zhì)因數(shù)， 420 分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是： 420=2 2 5 3 7。 在進行分解質(zhì)因數(shù)時，最后的書寫格式要特別注意，一定要把所要分解的合數(shù)寫在等號的左邊，如： 24=2 2 2 3， 105=3 5 7 等，而不能寫在等號的右邊，如： 2 2 2 3= 24，這樣就與乘法算式相混淆，而不是分解質(zhì)因數(shù)了。 ？ 把一個合數(shù)所有的約數(shù)都找出來，對數(shù)目不大的合數(shù)，可以通過口算找出來，例如： 9 的約數(shù)有 9； 15 的約數(shù)有 15； 21的約數(shù)有 21等。對于數(shù)目較大的數(shù)，單純靠口算 ，就有可能會遺漏中間的約數(shù)。通?？梢韵劝堰@個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把各個質(zhì)因數(shù)依次搭配結(jié)合，就可以找出它的所有約數(shù)。 例如：找出 420 的所有約數(shù)。 先把 120 分解質(zhì)因數(shù) 420=2 2 3 5 7 （ 1）上面這些約數(shù)中有質(zhì)數(shù)： 7四個。 （ 2）由兩個質(zhì)數(shù)結(jié)合成的有： 2 2=4 2 3=6 2 5=10 2 7=l4 3 5=15 3 7＝ 21 5 7=35 有 1 1 2 35七個。 （ 3）由三個質(zhì)數(shù)結(jié)合成的有： 2 2 3=12 2 2 5＝ 20 2 2 7＝ 28 2 3 5＝ 30 2 3 7=42 2 5 7＝ 70 3 5 7＝ 105 有 1 2 4 70、 105 七個。 (4）由四個質(zhì)數(shù)結(jié)合成的有： 2 2 3 5=60 2 2 3 7=84 2 2 5 7=140 2 3 5 7=210 有 60、 8 1 210四個。 因此， 420 的約數(shù)有 4＋ 7＋ 7＋ 4=22（個），再加上 1和 420 本身，共 24個約數(shù)。 除上述方法外，還可以先把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后把每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)加 1，連乘起來，所得的積就是這個合數(shù)的所有約數(shù)的個數(shù)，并且包括了 1和它本身。 仍以 420 為例： ∴ 420 有 24個約數(shù)。 ∴ 360 也有 24 個約數(shù)。 ？ 求幾個數(shù)最大公約數(shù)的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數(shù)的約數(shù)找出來，然后再找出公約數(shù)，最后在公約數(shù)中找出最大公約數(shù)。 例如：求 12與 18 的最大公約數(shù)。 12 的約數(shù)有： 12。 18 的約數(shù)有： 18。 12 與 18 的公約數(shù)有： 6。 12 與 18 的最大公約數(shù)是 6。 這種方法對求兩個以上數(shù) 的最大公約數(shù)，特別是數(shù)目較大的數(shù)，顯然是不方便的。于是又采用了給每個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)的方法。 12=2 2 3 18=2 3 3 12 與 18 都可以分成幾種形式不同的乘積，但分成質(zhì)因數(shù)連乘積就只有以上一種，而且不能再分解了。所分出的質(zhì)因數(shù)無疑都能整除原數(shù)，因此這些質(zhì)因數(shù)也都是原數(shù)的約數(shù)。從分解的結(jié)果看， 12 與 18都有公約數(shù) 2和 3，而它們的乘積 2 3=6，就是 12 與 18 的最大公約數(shù)。 采用分解質(zhì)因數(shù)的方法，也是采用短除的形式，只不過是分別短除，然后再找公約數(shù)和最大公約數(shù)。如果把這兩個數(shù)合 在一起短除，則更容易找出公約數(shù)和最大公約數(shù)。 從短除中不難看出， 12 與 18 都有公約數(shù) 2和 3，它們的乘積 2 3=6 就是12與 18 的最大公約數(shù)。與前邊分別分解質(zhì)因數(shù)相比較，可以發(fā)現(xiàn)：不僅結(jié)果相同，而且短除法豎式左邊就是這兩個數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)，而兩個數(shù)的最大公約數(shù)，就是這兩個數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)的 連乘積。 ？ 最小公倍數(shù)的定義是：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。求幾個數(shù)最小公倍數(shù)的方法，可以用分別分解質(zhì)因數(shù)的方法，先找出幾個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，再找出各自獨有的質(zhì)因數(shù)，把這些質(zhì)因數(shù)連乘起來，最后得出的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 例如：求 12和 20 的最小公倍數(shù)。 12 和 20 的最小公倍數(shù)是 2 2 3 5=60 把分別分解合在一起，就是短除法。這樣做，不僅結(jié)果一樣，還減少了中間計算的層次，通常采用的就是這種方法。 仍如上例： 短除豎式左邊是這兩個數(shù)的公有 質(zhì)因數(shù)，豎式下邊是這兩個數(shù)各自獨有的質(zhì)因數(shù)。根據(jù)兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一定能被這兩個數(shù)整除，所以，最小公倍數(shù)必須包含這兩個數(shù)里的所有質(zhì)因數(shù)。豎式左邊的公有質(zhì)因數(shù)與豎式下邊各自獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積，才是最小公倍數(shù)的道理，就在于此。 在求三個數(shù)的最小公倍數(shù)時，兩個數(shù)中共同的質(zhì)因數(shù)要篩去，如果不篩去，所求出來的雖然也是這三個數(shù)的公倍數(shù)，但不是最小公倍數(shù)。所以，只要有兩個數(shù)能被同一質(zhì)數(shù)整除，就應(yīng)該繼續(xù)除下去，直到除到豎式下邊的三個數(shù)兩兩互質(zhì)為止。 例如：求 1 30和 50 的最小公倍數(shù)。 ∴ 1 30 和 50的最小公倍數(shù)是 5 2 3 5=150。 ？ 兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)是兩個完全不同的概念，但它們之間又存在著一定的規(guī)律。以 12 和 20的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)為例： 12 和 20 的最大公約數(shù)是 2 2=4； 12 和 20 的最小公倍數(shù)是 2 2 3 5=60。 12 與 20 的積是 12 20=240，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積是 4 60=240。兩個積正好一樣，這并非巧合，而是一種規(guī)律，即：兩個自然數(shù)的積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。通過原來算式的因數(shù)交換可以得到證明： 再如： 45 與 105 的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)為： 45 與 105 的最大公約數(shù)是 3 5=15； 45 與 105 的最小公倍數(shù)是 3 5 3 7=315。 45 與 105 的乘積是 45 105=4725，再看最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積也是 15 315=4725。由此可證明，兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系是通過以上規(guī)律來體現(xiàn)的，這個規(guī)律如果用字母公式表示為： 一般地， a b=（ a， b） [a， b] 依據(jù)這個規(guī)律，在求兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時，可以推導(dǎo)出新的公式。即：已知 12 與 20的最大公約數(shù)是 4，求它們的最小公倍數(shù)是多少？ 最小公倍數(shù) =兩數(shù)的乘積 /最大 公藥數(shù) =12 20/4=60 如果已知 12與 20 的最小公倍數(shù)是 60，求它們的最大公約數(shù)是多少？ 最大公約數(shù) =兩數(shù)的乘積 /最小公倍數(shù) =12 20/60=4 ？ 在實際生活中，有些應(yīng)用題需要用求最大公約數(shù)和最小公